概率、统计的综合问题-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时概率、统计的综合问题

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

考点一以统计图表为载体的概率统计问题

［典例1］(2022•新高考n卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某

种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图.

频率/组距

0.023---------------------

0.020-------------------------------

0.017------------------------------------

0.012---------1-

0.006------------------------------------------

0.002

0.001~!一十一寸一1一十~--二______.

0102030405060708090年龄/岁

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口

占该地区总人口的16%,从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),

求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者

的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

［解］(1)该地区这种疾病患者的平均年龄元=(5*0.001+15X0.002+25X0.012

+35X0.017+45X0.023+55X0.020+65X0.017+75X0.006+85X0.002)X10

=47.9(岁).

⑵设2=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)｝,则尸⑷=1一尸(%)=1—(0.001

+0.002+0.006+0.002)X10=1-0.11=0.89.

(3)设5=｛任选一人年龄位于区间［40,50)｝,C=｛任选一人患这种疾病｝,则由

条件概率公式，得P(C⑻=需=0.1%*片10=000J4375心0.0014.

P\B)16%

名师点评该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考

查考生的直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计

的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率.

［跟进训练］

1.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情

况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分

布表：

天数[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]

人数4153331116

⑴由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布

其中〃近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且。=6.1,若全校有3000

名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；

（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［15,30］的学生中有30

名男生，天数在［0,15）的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小

时”活动不低于15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：

活动天数

性别合计

[0,15)[15,30]

男生

女生

合计

并依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”

称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.

参考数据：若X〜N",/），则尸口一心0.6827,

尸〃+2o■户0.9545,

尸（u—3<7WXW〃+3O）q0.9973.

附.？2=_____<ad-bcY__

叫(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

[解](1)由频数分布表知

1

/z=^X(4X2.5+15X7.5+33X12.5+31X17.5+11X22.5+6X27.5)=14.9,

则矛〜N(14.9,6.12),

:尸〃一oWXW〃+Q心0.6827,

.,.尸(X>21)=P(X>14.9+6.1)=^|^=0]5865,

A3000X0.15865=475.95=476,

・•.参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476.

（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在［0,15）的人数为4+15+33=52,

•.♦参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15）的学生中有20名男生，

，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15）的学生中女生人数为52-20=

32.

由频数分布表知，锻炼活动的天数在［15,30］的人数为31+11+6=48,

•.♦参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［15,30］的学生中有30名男生，

参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［15,30］的学生中女生人数为48-30

=18.

列联表如下:

活动天数

性别

[0,15)[15,30]合计

男生203050

女生321850

合计5248100

零假设为Ho：学生性别与获得“运动达人”称号无关,

2100x(30x32-20x18)2

^5.769>3.841,

50x50x52x48

依据a=0.05的独立性检验，我们推断//o不成立,

即可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关,

而且此推断犯错误的概率不大于0.05.

根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数不低于15天的频率分别为4

=0.6和0.36,可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动

达人”称号频率的当心1.67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认

为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得“运动达人”称号.

考点二概率'统计与数列的综合问题

［典例2］（2023•新高考I卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：

若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲

每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投

篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.求：

(1)第2次投篮的人是乙的概率.

(2)第z,次投篮的人是甲的概率.

(3)已知：若随机变量X服从两点分布，且尸(X=1)=1—P(X=0)=勿,i=1,2,…，

n,则£(9而)=Y，小记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为

Y,求E(Q.

［解］(1)记''第2次投篮的人是乙”为事件2,“第1次投篮的人是甲”为事件8,

则A=BA+BA,

所以P(Z)=P(及4+月4)=P(B4)+P(a2)=P(B)P(4|B)+P(R)P(4出)=0.5X(1

-0.6)+0.5X0.8=0.6.

(2)设第，次投篮的人是甲的概率为口，由题意可知，夕"1=2*0.6+(1—

21

㈤X(1—0.8),即口+1=0.电+0.2=/+丁

所以p，+i_；=(［»一；),

又pi—所以数列｛pt—；｝是以3为首项，|为公比的等比数列，

在、，i-1

所以P，一1,=1ZX(ZJ2\,

3O\3/

所以+.

(3)设第z次投篮时甲投篮的次数为X,则X的可能取值为0或1,当X,=0时，

表示第z,次投篮的人是乙，当X=1时，表示第z,次投篮的人是甲，所以P(X=1)

=Pi,P(Xi=0)=l—pi,所以£(X)=P"

后为+刘+为+…+的，

则E(Y)=E(X\+Xi+X^-\PX7)=pi+&+p3H\-pn,

由(2)知，A=|+1x(I),

所以E(y)=pi+pz+p3H----F/?„=^+1xi+1++,,,+(1)+1x

名师点评解答此类问题关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件

概率的公式等)建立尸〃+1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求

解.

［跟进训练］

2.(2024•山东青岛开学考试)某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，

甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传

球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.〃次传球后，记事件“乙、丙、

丁三人均接过传出来的球”发生的概率为尸".

⑴求尸3；

(2)当〃=3时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为X,求随机变量X

的分布列及数学期望；

(3)当时，证明：P“=3+|F“-I一+.

［解］(1)乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为《3次传球后，事件“乙、丙、

丁三人均接过传出来的球”发生的概率为尸3=禺x(1)3=|,

(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,

3

P(X=1)=3X(|)=1

P(X=3)=房xQ)3=1,

2

尸(X=2)=1~P(X=l)-P(X=3)=j,

X的分布列为

X123

122

p

939

1??IQ

£(^)=lX-+2X-+3X-=-

(3)证明：〃次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，

第一种：〃一1次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为P”

-1;

第二种：〃一1次传球后乙、丙、丁中只有两人接过他人传球，第〃次传球时将

球传给剩余一人，这种情况的概率为(1—Pn-l-3X+)x|.

所以，当〃》4时，Pn=Pn-i+(l—Pn_X—3X|=|+

所以=［+|尸„-l-

【教师备选资源】

(2019•全国I卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药

更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对

比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结

果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠

多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约

定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1

分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1

分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治

愈率分别记为a和川，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，口0=0,1,…，8)表示“甲药的累

计得分为z,时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po=O,小=1,Pi=aPi

」+奶+⑦+i(i=l,2,…，7),其中a=P(X=—1),b=P(X=0),c=P(X=l).假

设a=0.5,8=0.8.

(i)证明:3+i—口｝«=0,1,2,…，7)为等比数列;

(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

［解］(1)由题意可知X所有可能的取值为一1,0,1.

P(X=_l)=(l—a)四

尸(X=0)=3+(l—a)(l一份，

尸(X=l)=a(l一份.

则X的分布列为

X-101

P(1—a"a£+(l—a)(l一份a(l一份

(2)Va=0.5,夕=0.8,

.*.a=0.5X0.8=0.4,6=0.5X0.84-0.5X0.2=0.5,c=0.5X0.2=0.1.

⑴证明：,.,夕尸(2口-1+6.+。跖+1。=1,2,•••,7),

即口=0.42_1+0.5口+0.5+1«=1,2,…，7),

整理可得：5pi=4pi-i+pi+i(i=i,2,7),

：.pi+\—pi=A{pi-2,…，7),

又po=piWO,

・•・{Pi+i-Pi}«=0，1，2,…，7)是以“为首项,4为公比的等比数列•

(ii)由⑴知：pi+i~Pi=(pi—po)•4i=pi•4Z,

76

:.p8-pi=pi•4,PLP6=P1•4,(P1-p0)=pi•4°.

,CTr1—48A8_1Q

作和可得：ps-po=pi,(40+41+...+47)=^-^?1=-^-/?1=1,，pi=目，

：.p4=p4-p0=pi-(4°+41+42+43)=净1=9x6=*=击・

P4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,

乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为2=嗫七0.0039,此时得出错误

结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

-考点三概率、统计与函数的交汇问题《规范解答

［典例3］(12分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为:

X1230

a

Pa矶—p)a(l-p)2

P

其中a＞0,0＜夕＜1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为;且相互独立，

事件4表示一个家庭有i个孩子(i=0,1,2,3),事件8表示一个家庭的男孩比

女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多).

1

(1)若夕=5，求a及尸(8)；

(2)为了调控未来人口结构，其中参数?受到各种因素的影响(例如生育保险的增

加，教育、医疗福利的增加等).

①若希望尸(X=2)增大，如何调控p的值？

②是否存在夕的值使得£(&=常请说明理由.

［规范解答］(1)由题意得/a+a(—p)+a(l—2)2=1,2=也解得a=^•1分

区因为上圜'1三片©三;「

打理垃三磁(J土Cj(|)3=|.........................................................................4分

失分点：不会概率建模导致相应的概率求解错误

所以P(8)=\1>(1\]ll()=1x^+ix-^+ix^=|(z=l,2,3).・・5分

(2)①由已知§+。+研1一2)+。(1—p)2=1,

切入点：建立a与p的等量关系

变形整理得，工=p2—32+工+3.........................................................................6分

ap

1

可设一价)=。2—3。+；+3,0V。V1,

所以/'(。)=勿3要2r........................................................................................7分

故g。)在(0，D上单调递减，

因为g(o)=—i,所以gg)vo,所以13)vo,

关键点：视“p”为变量，建立函数/①)，g(p)

故/(/?)在(0,1)上单调递减，所以增加夕的取值，'会减小，a增大，即P(X=2)

增大•...............................................................9分

②假设存在P使E(X)=^+2a+3a(1—p)=|,又因为^=p2—32+；+3,

将上述两等式相乘，化简整理得：5?3—6夕2+2=0,

设h(p)=5p3~6p2+2,0<p<1,

即〃0)=1522—122=32(52一4).....................................................................11分

所以〃①)在(0,§上单调递减，在G，1)上单调递增，故〃①)min=M()=||>0.

所以不存在p,使得E(X)=^............................................................................12分

名师点评该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与

函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数

的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化.

［跟进训练］

3.(2021•新高考n卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一

个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2

代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1

个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知"o=O.4,0=0.3,P2=0.2,pj=0.1,求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程po

+夕1%+72%2+23了3=%的一个最小正实根，求证：当EQ0W1时，p=l,当E(X)>1

时，7?<1；

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

［解］(1)£(^)=OXO.4+1XO.3+2XO.2+3X0.1=1.

(2)法一(常规求导)：

77O+/?1X+/?2X2+J03X3-x=0,x>0,

令/(X)=^o+/?1X+/>2X2+/73X3—X,

/'(x)=pi+2pvc+3/?3X2-1,

令g(x)=f'(x),则g'(x)=2P2+6/?3X三0,

••./◎)在(0,+8)上单调递增，

当E(&=pi+2/2+323W1时，注意到XG(O,1］时，/(x)W/U)=pi+2必+3必

—1W0,

.../(X)在(0,1］上单调递减，注意到/(1)=0,：.x=l,即夕=1.

当£(%)=21+2必+3夕3>1时，注意到/'(0)="一1<0,

r(l)=pi+222+323—1>0,

存在唯一的祝©(0,1)使/(祝)=0,且当OVxVxo时，/'(x)V0,/(x)单调递减;

当XoVxVl时，f'(x)>0,/(x)单调递增,

注意到/(O)=po>O,/(1)=0,/./(xo)</(l)=O.

.,./(x)在(0,xo)上有一个零点XI,另一个零点为1,.".p=xi<l.

法二(巧妙因式分解)：

由题意知po+pi+22+23=1,E(X)=p1+2/?2+3J?3,

由/7O+/71X+/72X2+/?3X3=X=>7?O+/72X2+/?3X3-(1-/?1)X=O,

.,.；70+P2X1+/>3X3—(po+/72+/73)x=0=>7?o(1-X)+p?X(X—1)+T73X(X-l)(x+1)=0,

(X—1)［/73X2+(/72+p3)X-po］=0,

f(x)=P^+(/?2+/?3)X—7?0,/(x)的对称轴为X=—V~-<0,

2P3

注意到/(0)=-;?0<0,/(1)=2必+必一po=》+2必+3P3-l=£(X)T,

当E(X)W1时，/(1)WO,/(x)的正实根xoNl,原方程的最小正实根夕=1,

当E(X)>1时，/(1)>0,/(x)的正实根xoVl,原方程的最小正实根夕=xo〈l.

(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁

殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过

多代繁殖后还有继续繁殖的可能.

【教师备选资源】

踢健子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育

课上，甲、乙、丙、丁四人一起踢毯子.僚子在四人中传递，先从甲开始，甲传

给乙、丙、丁的概率均为热当乙接到僚子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为1

,；；当丙接到径子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为:，；，；；当丁接到径

子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为:，"假设建子一直没有掉地上，经过

36Z

〃次传健子后，健子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为斯，bn,Cn，dn,已知

Ql=0.

⑴记丁在前2次传僚子中，接到径子的次数为X,求X的分布列；

⑵证明｛册-｝为等比数列，并判断经过150次传犍子后甲接到僚子的概率与I

的大小.

［解］(1)X的所有可能取值为0,1,

P(X=l)=1-+2X-1x-1=A-,

所以X的分布列为

X01

54

p

99

⑵当〃三2且〃©N*时，

=

an-^bn-\

bn=^n-\+-zCn-\

金=石。〃-1+力〃_1+于/〃_1,

=

-\+cn-\~\~dn-\)an-\-\~2an,

因为Cln=-bn-\-\~-Cn-l~\~-dn-\,所以3斯+1=6〃+。“+&/,

3a力+i及—1,所以3a”I1,

因为41=0,«2=-,所以3。"+斯_1=1,

1

所以

an-l-7§

所以｛册一；｝是首项为一：，公比q=一；的等比数列,

11n—1

所以4

111

-十-

44

149

所匕乙以、,050=-黄1/-弓1\)+।；1=；1><

\3744'

故经过150次传谶子后甲接到趟子的概率大于2

4

课时分层作业(七十二)概率、统计的综合

问题

[A组在基础中考查学科功底]

1.为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的

用电量，发现每间宿舍的用电量都在50kW-h到350kW•h之间，将其分组为

[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350],得

到如图所示的频率分布直方图.

⑴为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200kW・h

时，按每度0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200kW・h时，超过部

分按每千瓦时1元收取费用.用/(单位：kW•h)表示某宿舍的月用电量，用y(单

位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与f之间的函数关系式；

(2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间［200,250)内的学生宿舍有多少

间？

［解］(1)根据题意，得当50W/W200时，月用电费用为>=0.5/;

当/>200时，月用电费用为y=200X0.5+。一200)X1=7—100.

,…人(0.51,50Wt<200,

综上，佰舍的月用电费用为

It-100,t>200.

(2)因为月用电量在［200,250)内的频率为50x=1-(0.0060+0.0036+0.0024+

0.0024+0.0012)X50=1-0.0156X50=0.22,所以月用电量在［200,250)内的

宿舍有100X0.22=22(间).

2.(2024•湖北武汉江汉区开学考试)某学校为了了解老师对“民法典”知识的

认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95

分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有机人，按年龄分成5组，其中第

一组：［20,25),第二组：［25,30),第三组：［30,35),第四组：［35,40),第

五组：［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这机人年龄的第75百分位数;

⑵现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣

传使者.

①若有甲（年龄23）,乙（年龄43）2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第

五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上

的概率；

②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1,第五组宣传使者的

年龄的平均数与方差分别为42和2,据此估计这他人中35〜45岁所有人的年龄

的方差.

［解］（1）不妨设第75百分位数为a,

此时5X（0.01+0.07+0.06）+（4—35）X0.04=0.75,

解得a=36.25.

（2）由条件可知，第一、二、三、四、五组应分别抽取2人，14人，12人，8人，

4人.

①第一•组应抽取2人，记为A,甲，

第五组抽取4人，记为B,C,D,乙，

此时对应的样本空间为。=｛（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,甲），（A,乙），（B,

C）,（B,D）,（B,甲），（B,乙），（C,甲），（C,乙），（C,D）,（D,甲），（D,乙），

（甲，乙）｝,共15个样本点，

记“甲、乙两人恰有一人被选上”为事件〃，

此时/=｛（A,甲），（A,乙），（B,甲），（B,乙），（C,甲），（C,乙），（D,甲），

（D,乙）｝,共8个样本点，

贝U甲、乙两人恰有一人被选上的概率尸须=言

②设第四组，第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为幻口方差分别为§2,52,

此时元=36,7=42,$2=1,s'2=2,

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为N,方差为sE

8x,4y8x36+4x42r。

此时Z=——F—=-----------=38,

121212'

"2_8（S2+（AZ）2）+4（S'2+（广力2）

S12

_8（1+（36-38户）+4（2+（42-38）2）_28

12-3'

故这机人中35—45岁所有人的年龄的方差为g.

3.(2024•黑龙江哈尔滨开学考试)某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生

中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和

不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表:

□男生

□女生

(1)根据条件完成下列2X2列联表:

接受挑战情况

性别合计

愿意不愿意

男生

女生

合计

(2)根据2X2列联表，依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析该校学生是否

愿意接受挑战与性别有关;

(3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战,

通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的

概率均为;，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为3且每轮每次挑战是否通

过相互独立.记甲通过的关数为X,求X的分布列和数学期望.

参考公式与数据:

9n(ad—bc)2...

X7777777V7,7T9〃〃十b十C十Cl.

人(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

［解］(1)根据条件得2X2列联表如表所示.

接受挑战情况

性别合计

愿意不愿意

男生154560

女生202040

合计3565100

⑵零假设为〃0：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，根据列联表的数据,

K-f'»耕,日右,[9100x(15x20—20x45)2/「

经计算得到%2=­；=6.593<6-635=xo.oi,

八35x65x60x40

依据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分理由证据推断为不成立，因此可

以认为M成立，即认为该校学生是否愿意接受挑战与性别无关.

(3)记甲第z,次通过第一关为4"=1,2),第z,次通过第二关为A(i=l,2),

由题意得，X的可能取值为0,1,2,

尸(X=0)=尸

尸(X=l)=尸(41B$2)+尸(&出8/2)=器xg+衿x|x„

尸(X=2)=尸(Zi8i)+P(Z1瓦82)+P(A[AiBx)+P(不加瓦82)

11,121,111,11215

=-X—十一X一X一十一X-X一十一X-X-X—=—

23233223223312’

故X的分布列为

X012

115

P

4312

11q7

所以£（工）=0><（+1></+2乂卷=£

4.(2023•广东茂名二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，

其过程具备“无记忆”的性质，即第〃+1次状态的概率分布只跟第〃次的状态

有关，与第〃一1,〃一2,〃一3,…次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙

两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒

子中各任取一个球交换，重复进行〃(〃©N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为

X”,甲盒中恰有1个黑球的概率为念，恰有2个黑球的概率为从.求：

(1闵的分布列；

(2)数列｛斯｝的通项公式；

(3间的期望.

[解](1)由题可知，Xi的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可

知：P(Xi=0)=|x|=|,P(Xi=l)=|xi+|x|=|,P(Xi=2)=|x|=|,

故Xi的分布列为

X1012

252

p

999

(2)由全概率公式可知:

尸(不+1=1)=0(乂=1)•尸(X，+i=1曷=1)+P(X,=2)•P(不+尸1|不=2)+P("产

0)・尸(不+1=1及=0)

=GX扛"|>(X=1)+(1X1)P(X=2)+(1X|)P(X=O)

q7?

=#(怎=1)+7(不=2)+丁(不=0),

q7?

即tz«+i=-^+-^+-(l—an—bn),

12

所以斯+i=--an+~,

所以1—春=—[(an-§,

532

又ai=P(Xi=l)=d，ai

yD

3'以一刍为首项，以一二为公比的等比数列,

459

匕匕、，(-广・(-犷

所以斯一三3=一石2

2?1\Tl

即an=~+--

(3)由全概率公式可得:

尸(不+I=2)=尸(的=1)•P(刘+尸2照=1)+P(%,=2)•P(刘+i=2照=2)+尸(X尸

0)-P(X+i=2|X=0)=(|x|)•P(羽=1)+Qx1)•P(X=2)+0XP(X,=0),

21

即儿+1=3即+/7,

__3,2(l\n

又许。+=x(一§)，

2

所以=；瓦+：+X

bn+1XE5-

2

又bi=P(X=2)=；,

11

所以从一三十三又

所以儿一'+'x(一3=0,

所以儿W，

所以£(苞)=斯+2为+0*(1—an—bn)=Cln+2bn=1.

[B组在综合中考查关键能力]

5.(2024•广东实验中学模拟)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行

动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小

白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,

绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其

中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互

独立.

(1)填写下面的2X2列联表，并根据列联表及a=0.05的独立性检验，判断能否

认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

指标值

抗体合计

小于60不小于60

有抗体

没有抗体

合计

(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40

只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.

①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；

②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种

试验，记〃个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X试验后统计数据

显示，当X=99时，P(㈤取最大值，求参加人体接种试验的人数〃.

参考公式.72=--------n(a"bc)2----苴中

,少么队.%(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八十"="丁。丁。丁々.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

［解］(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为:

在［0,20）内有0.0025X20X200=10（只）;

在［20,40）内有0.00625X20X200=25（只）；

在［40,60）内有0.00875X20X200=35（只）；

在［60,80）内有0.025X20X200=100（只），

在［80,100］内有0.0075X20X200=30（只）.

由题意，有抗体且指标值小于60的有50只,

而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只,

所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，

同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只,

故列联表如表所示.

指标值

抗体合计

小于60不小于60

有抗体50110160

没有抗体202040

合计70130200

零假设为面：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.

根据列联表中数据，得六笔黑蒜臀“945>3.841=x°g

根据a=0.05的独立性检验，推断为不成立，

即