6.2.3组合6.2.4组合数课件高二下学期数学人教A版选择性2

数学第六章计数原理§6.2.3组合与组合数一、知识回顾2.排列数3.排列数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个

数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号

表示.(m、n∈N*，m≤n)

规定：0!=1=n!=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

特别地，

全排列知识回顾

1.排列思考：这两个问题有何不同？

答案：甲乙、甲丙、乙丙，共有3种.问题2从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为：

从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组排列问题组合问题组合与元素顺序无关排列与元素顺序有关一、新知1－组合组合和排列的关系n个不同元素m个元素m个元素的全排列第一步组合第二步排列构造排列可以分成两步完成，先取后排；组合是排列

中的一个步骤.因此组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.思考

通过以上例子，你能归纳排列和组合之间的对应关系吗？甲乙甲乙，乙甲甲丙甲丙，丙甲乙丙乙丙，丙乙组合排列

排列组合

“组合”与“排列”的联系与区别排列组合相同点不同点完成这件事情共分几步从n个不同元素中取出m个元素元素的顺序有关元素的顺序无关第一步、取第二步、排仅一步、取AB和BA是不同的排列一、新知1－组合AB和BA是不同的排列例1

平面内有A，B，C，D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?分析:(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题.解分析:(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题.解(2)以A,B,C,D4个点中任意2个为端点的线段有：解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个.2.已知平面内A,B,C,D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.3.现有1,3,7,13这4个数.

(1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和?

(2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差?解：(1)不相等的和为4,8,14,10,16,20，共6个.(2)不相等的差为－2,2,－6,6,－12,12,－4,4,－10,10，共10个.组合数排列数

组合的第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足的条件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.一、新知2－组合数

例如:

从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为

.

从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为

.

①从3个不同元素a,b,c中取出2个元素组合ab排列acbcabbaaccabccb由此可得ab,ac,bc3个不同的组合组合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb由此可得②从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素

n个不同元素m个元素m个元素的全排列第一步组合第二步排列

根据分步计数原理，得到：

一、新知2－组合数解：

例1

计算：观察（1）和（2），（3）和（4）的结果你有什么发现？组合数性质：

直观解释：

该性质反映了组合数的对称性.其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).

因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样.即从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数，也就是.一、新知3－组合数的性质解：2.计算课本P25

直观解释：

该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.

如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有种取法.由分类加法计数原理，得.一、新知3－组合数的性质

例3

一个口袋内装有不同编号的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中含有黑球，有多少种取法？课本P25证明：例4

求证：

排列问题组合问题若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无