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人教版选修2-1第三章

空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算2008年5月12日，四川汶川发生特大地震.为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件.已知它的质量为5000kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.情境导入问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？1.空间向量的夹角新知导入2．空间向量的数量积λ(a·b)

b·aa·b＋a·ca·ba·b＝0|a|·|b|－|a|·|b|≤1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．小结[思路点拨]

根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．题型探究一.数量积的运算[一点通]

在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．跟踪训练答案：B二.用数量积求夹角[一点通]

利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：答案：C跟踪训练[例3]如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．三.利用数量积求两点间的距离[一点通]求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离．答案：C跟踪训练6．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，

将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D

间的距离．[例4]

已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.四.利用数量积证明垂直问题[一点通]

用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明．7．已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零

向量c在直线l上，则c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；

反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α.

答案：B跟踪训练8．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，

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