全国统考2025版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲三角恒等变换2备考试题文含解析

第四章三角函数、解三角形其次讲三角恒等变换1.[2024四省八校联考]若tan(θ-π4)=2,则sin2θ的值为()A.-35 B.-45 C.32.[2024江西红色七校第一次联考]若sin(α+π6)=13,则sin(2α+5π6)=(A.79 B.89 C.13.[2024河南省名校第一次联考]已知sin(α-π3)=-3cos(α-π6),则tan2α=(A.-43 B.-32 C.43 D.4.[2024石家庄二检]若cosα(1+3tan10°)=1,则α的一个可能值为()A.70° B.50° C.40° D.10°5.[条件创新]已知角α为第一象限角,sinα=23,角β的终边与角α的终边关于x轴对称,则cos(β-2α)=()A.73 B.-73 C.76.[2024晋南中学联考]已知α∈(π2,3π2),sinα=45,则tan(α+π7.[2024晋南中学联考]对随意两实数a,b,定义运算“*”:a*b=2a-2b,a≥b,2b8.[2024江苏,8,5分]已知sin2(π4+α)=23,则sin2α的值是9.[2024浙江杭州二中、学军中学等五校联考]已知2+5cos2α=cosα,cos(2α+β)=45,α∈(0,π2),β∈(3π2,2π),则cosβ的值为(A.-45 B.44125 C.-4410.若3sin2α-2sin2α=0,则cos(2α+π4)=()A.-7210 B.22C.-210或2211.[角度创新]已知平面直角坐标系中,点A(1,3),B(a,b),其中点B在第一象限.若∠AOB=α,且cos2α=2sin(α-π4),则ba的值为(A.2 B.1 C.12 D.12.[2024广东广州天河区一模]已知函数f(x)=sin(2x-π6),x∈(0,π),若方程f(x)=35的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1-x2)=(A.-45 B.-35 C.-213.[2024太原市模拟]已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),且sin2α(1+sinβ)=cosβ(1-cos2α),则下列结论正确的是(A.2α-β=π2 B.2α+β=C.α+β=π2 D.α-β=14.[2024黑龙江省六校联考]已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),则2α-β=15.[2024合肥模拟]已知函数f(x)=2cos(x+π4)cos(x-π4)+sinx,若对随意的实数x,恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),则cos(α1-α2)=16.[角度创新]若sin78°=m,则sin6°=()A.m+12 B.1-m17.[向量与三角函数综合]已知向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,0<α<π2,则α=答案第四章三角函数、解三角形其次讲三角恒等变换1.A∵tan(θ-π4)=tanθ-11+tanθ=2,∴tanθ=-3,∴sin2θ2.Asin(2α+5π6)=sin[2(α+π6)+π2]=cos[2(α+π6)]=1-2sin2(α+π6)=1-2×(133.A因为sin(α-π3)=-3cos(α-π6),所以12sinα-32cosα=-3×32cosα-3×12sinα,则2sinα=-3cosα,即tanα4.Ccosα(1+3tan10°)=cosα(1+3sin10°cos10°)=cosα·cos10°+3sin10°cos10°=cosα·2sin(10°+30°)cos10°=1,即2sin40°cosα5.C因为角α为第一象限角,sinα=23,所以cosα=1-sin2α=73,所以cos2α=2cos2α-1=59,sin2α=2sinαcosα=2149.又角β的终边与角α的终边关于x轴对称,所以角β为第四象限角,sinβ=-23,cosβ=73,由两角差的余弦公式可得cos(β-2α)=cosβ6.-17由题知,cosα=-1-sin2α=-35,∴tanα=sinαcos7.[0,22]由题知a*b=2|a-b|,则f(x)=sinx*cosx=2|sinx-cosx|=22|sin(x-π4)|∈[0,228.13因为sin2(π4+α)=23,所以1-cos(π9.B由2+5cos2α=cosα结合二倍角公式可得,10cos2α-cosα-3=0,解得cosα=35或cosα=-12,因为α∈(0,π2),所以cosα=35,sinα=45,所以cos2α=cosα-25=-725,sin2α=2sinαcosα=2425,所以π2<2α<π.因为β∈(3π2,2π),所以2α+β∈(2π,3π),又cos(2α+β)=45,所以2α+β∈(2π,5π2),所以sin(2α+β)=35,所以cosβ=cos[(2α+β)-210.B由题可得3sinαcosα-sin2α=0,即sinα(3cosα-sinα)=0,所以sinα=0或tanα=3.又cos(2α+π4)=cos2αcosπ4-sin2α·sinπ4=22(cos2α-sin2α),所以当sinα=0时,即α=kπ,k∈Z,则cos(2α+π4)=cosπ4=22.当tanα=3时,cos(211.C由cos2α=2sin(α-π4),得cos2α-sin2α=sinα-cosα,即(cosα+sinα+1)(sinα-cosα)=0.由于点B在第一象限,因而cosα+sinα+1≠0,故sinα-cosα=0,即tanα=1.如图D4-2-1,设∠AOx=β,则tanβ=3,所以ba=tan(β-α)=tan图D4-2-1【易错警示】本题的易错点是考生忽视已知条件“点B在第一象限”,从而不能确定cosα+sinα+1≠0,还有部分考生不能在平面直角坐标系中确定点B在点A的下方,导致考生可能会分两种状况求解ba的值12.A因为0<x<π,所以2x-π6∈(-π6,11π6).令2x-π6=π2+kπ(k∈Z),可得f(x)对称轴方程为x=π3+kπ2(k∈Z).因为方程f(x)=35的解为x1,x2(0<x1<x2<π),所以x1+x22=π3,所以x2=2π3-x1,所以sin(x1-x2)=sin(2x1-2π3)=-cos(2x1-π6).因为x1<x2,x2=2π3-x1,所以0<x1<π3,所以2x1-π13.A由题可知,2sinαcosα(1+sinβ)=cosβ·2sin2α,因为α,β∈(0,π2),所以sinα≠0,所以cosα(1+sinβ)=cosβsinα,即cosα=sin(α-β),因为cosα=sin(π2+α)=sin(π2-α),所以α-β=π2+α(舍)或α-β=π2-α14.-3π4易知tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β].因为tan(α-β)=12,所以tan2(α-β)=2tan(α-β)1-tan2(α-β)=43,故tan(2α-β)=tan2(α-β)+tanβ1-tan2(α-β)tanβ=1.由tan15.-14因为f(x)=2(22cosx-22sinx)(22cosx+22sinx)+sinx=2(12cos2x-12sin2x)+sinx=1-2sin2x+sinx=-2(sinx-14)2+98,且f(x)对随意实数x恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),所以sinα1