2024年高考数学考点题型归纳与方法总结【一轮复习讲义】第54讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第54讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）

题型目录一览

①离散型随机变量

②离散型随机变量的分布列

③离散型随机变量的分布列的性质

④离散型随机变量的分布列的均值

⑤离散型随机变量的分布列的方差

、知识点梳理

一、离散型随机变量的分布列

1.随机变量的定义

在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关

系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量

常用字母X,Y,〃，…表示.

注：①有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示.如掷一枚硬币，X=0表示反面向上，

X=1表示正面向上.

②随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aX+b,a,6是常数，则V也是随机变量.

2.离散型随机变量的定义

对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量.

注：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，

这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，

但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出.

3.离散型随机变量的分布列的表示

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为再，%,，玉，X取每一个值%（力=1,2,，⑶的概

率尸（X=善）=pt,以表格的形式表示如下：

X%尢2%

PPlPlPiPn

我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式

P(X=xj=R,z=l,2,，"表示X的分布列.

4.离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：

(1)/?；>0,i—1,2,,n;(2)R+0++〃“=].

注：①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数.

②随机变量占所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.

二'离散型随机变量的均值与方差

1.均值

若离散型随机变量X的分布列为

Xx2Xn

pPlPiPiPn

称E(X)7R+%p2++xiPi+为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取

值的平均水平.

2.均值的性质

(1)E(C)=C(C为常数).

(2)若y=aX+6,其中。，6为常数，则V也是随机变量，且E(aX+6)=aE(X)+》.

(3)E(X1+X2)=E(X1)+E,(X2).

(4)如果％,X2相互独立，则石区.X2)=E(X)•E(X2).

3.方差

若离散型随机变量X的分布列为

Xx2%Xn

pPlPiPiPn

则称。(X)=£(%-E(X))2R为随机变量X的方差，并称其算术平方根向而为随机变量X的标准差.

7=1

4.方差的性质

(1)^Y=aX+b,其中为常数，则y也是随机变量，且。(公+力=4£>(乂).

(2)方差公式的变形：r)(X)=E(X2)_[E(X)]2.

二、题型分类精讲

题型一离散型随机变量的概念

-策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤

离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系

①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；

②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结

果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出.

【典例1】(单选题)下列叙述中，是离散型随机变量的为()

A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和

B.某人早晨在车站等出租车的时间

C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数

D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性

【答案】C

【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和

为5,是常量，A错误；

对于B,等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；

对于C,连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，

C正确；

对于D,事件发生的可能性不是随机变量，D错误.

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.在下列表述中不是离散型随机变量的是()

①某机场候机室中一天的旅客数量X；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；

③某篮球下降过程中离地面的距离X；

④某立交桥一天经过的车辆数X.

A.①中的XB.②中的XC.③中的XD.④中的X

【答案】C

【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案.

【详解】①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型

随机变量；③中的X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.

故选：C

2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得。分，共下三局.用《表示甲的得分，贝1］归=3}

表示（）

A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局

C.甲、乙平局二次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

【答案】D

【分析】列举出4=3的所有可能的情况，即得.

【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，

故归=3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.

故选：D.

3.①某座大桥一天经过的车辆数为X；

②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；

③一天之内的温度为X；

④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得。分，用X表示射手在一次射击中的得分.

上述问题中的X是离散型随机变量的是（）

A.①②③B,①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可.

【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举，

②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举，

③一天之内的温度是连续型变量，

④一次射击中的得分是可一一列举，

由离散随机变量的定义知：①②④.

故选：B

4.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用自表示甲的得分，贝1］归=3｝

表示（）

A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局

C.甲、乙平局三次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

【答案】D

【分析】列举出『3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.

【详解】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，

所以｛4=3｝有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.

故选：D.

5.下面是离散型随机变量的是（）

A.电灯泡的使用寿命X

B.小明射击1次，击中目标的环数X

C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X

D.一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置x

【答案】B

【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可.

【详解】对于A,电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；

对于B,小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0」,2,…,10,故X为离散型随机变量，故

B符合题意；

对于C,测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X是变量，但无法一一列举出X的所有取

值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；

对于D,一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置x是变量，但无法一一列举出其所有取值，故

x不是离散型随机变量，故D不符题意.

故选：B.

题型二离散型随机变量的分布列

畲策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤

明确随机变量的可能取值有哪些，且每一

明取值

个取值所表示的意义

J萋菜蒲港施筑爰至西版簟亲国莉区而关

求概率7

公式求出变量所对应的概率

画表格一［按规范要录形杳写出分布列；

做检验|一：莉角芬希利前座渍越旅豆希利是君定“：

【典例1】（单选题）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后

记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则

P(X<2)=()

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】A

【分析】由题意，令X=Z表示前k个球为白球，第Z+1个球为红球，此时

尸(X<2)=尸(X=0)+P(X=1)+尸(X=2),再进行计算即可求解.

【详解】令X=%表示前k个球为白球，第k+1个球为红球，

214244321

此时P(X=O)=—=—,P(X=1)=—x—=——，P(X=2)=—x—x—=—,

6365156545

1414

贝！|P(X<2)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)=-+—+-=

故选：A.

【题型训练】

一、单选题

1.投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为X,则X的分布列为（）

A.

X12

11

P

22

B.

X01

P~2~2

C.

X012

]_]_

P

424

D.

X012

J_j_j_

P

~244

【答案】C

【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.

【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为且相互独立，X的取值可能为0,1,2.

p(X=0)=-x-=l,p(X=l)=2xlxl=l,p(X=2]=-x-=~,

所以X的分布列为：

故选：c.

2.一袋中装5个球，编号为1,2,3,4,5,从袋中同时取出3个，以1r表示取出的三个球中的最小号码,

则随机变量岑的分布列为（）

【答案】C

【分析】分别计算自为1,2,3时的概率即可得到答案.

【详解】随机变量g的可能值为1,2,3,

尸（『）爷=|，「（受）唱磊尸嗜）毛飞

故选：C

3.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X,

则X的分布列为（）

C.

【答案】D

【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.

【详解】易知X的可能取值为0,1,2,尸（X=0）=02x0.3=0.06,P（X=1）=0.8x0.3+0.2x0.7=0.38,

p（X=2）=0.8x0.7=0.56,

故X的分布列为

X012

P0.060.380.56

故选：D.

二、多选题

4.已知随机变量4的分布列为:

4-2-10123

111111

P

63661212

若尸（三＜x）=j则实数x的值可能是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】BCD

【分析】求出片的分布列，对各选项依次判断即可.

【详解】由随机变量。的分布列可知，随机变量二的可能取值为0,1,4,9,

F的分布列为:

产（产=0）=尸传=0）=：,

唯=1）=HD+P（4i）d，

产依2=4）=尸信=一2）+尸（5=2）=：+4=；,

尸（3=9）=P（J=3）=）,

用表格表示为

0149

£j_11

P

6~2412

,对于A,x=l时，尸（$<1）=尸（丁=0）=》|,故选项A错误；

对于B,x=2时，<2）=P（f=0）+P（^2=1）=1+1=|,故选项B正确；

对于C,x=3时，P（f<3）==0）+P（e=1）=1+1=|,故选项C正确;

2

对于D,x=4时，P（e<4）=P（e=0）+P（^=1）=1+1=|,故选项D正确.

故选：BCD.

5.已知随机变量。的分布列为：

-2-10123

134121

P

121212121212

若P（"<x）=《，则实数x的值可以是（）

A.5B.7

C.9D.10

【答案】ABC

【分析】根据随机变量q的分布列，求出随机变量充的分布列，再找出满足P（T<X）=*的x即可.

【详解】由随机变量4的分布列，知：

长的可能取值为0,1,4,9,

4

且尸(丁=0)=日,

44311

贝！)外片<4)=;+;+;=不，P(^2<9)=1.

X4_L4_L4_L4

若尸62。)=H，则实数x的取值范围是4<尤<9.

故选：ABC.

6.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之“，至今已有四千多年的历史.在某次

围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设

每局比赛甲胜乙的概率都为P(O<P<D,且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X,则()

A.乙连胜三场的概率是(l-p)3

B.尸(X=4)=3/(i-p)+3Ml-p)3

C.尸(X=5)=12p“l-p)2

D.尸(X=5)的最大值是!

O

【答案】BD

【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.

【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5,若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是(l-p)3；若比赛局

数为4时，乙连胜三场的概率是p(l-p)3；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是p“l-p)3；故选项A

错误；

由题意可知，决赛中的比赛局数X的可能取值为3,4,5,

贝!|P(X=3)="+(1一0)3=1一3p+3P°；尸(X=4)=3(1—p)p3+3p(l—p)3=12/_6P4_9p2+3p；故选项B

正确；

尸(X=5)=1-尸(X=3)-尸(X=4)=6p4T2P3+6p2；故选项c错误；

令/(p)=6p4-12p3+6p2,则f'(p)=24P3-36p2+12p=12p(2p-l)(p-l),

因为所以当OWp<g时，/(p)>0,当g<p<l时，/(必<0；

当函数/(P)在of上单调递增，在g,l)上单调递减，

IQa

则当P=：时，函数/(P)取最大值，所以尸(X=5)的最大值是I，故选项D正确;

2oO

故选：BD.

三、填空题

7.数字1,2,3,4任意排成一列，如果数字%恰好出现在第4个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个

数4的分布列__________________

【答案】

之0124

3]_£1

P

83424

【分析】。的可能取值是0、1、2、4,分别求出相应的概率，由此能求出J的分布歹U.

【详解】4的可能取值是0、1、2、4,

3x331

PC=O)=

83

,PC=4)=Af-24-

•常的分布列为:

40124

3J.£1

P

83424

故答案为:

40124

3]_£1

P

83424

8.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变

量X的概率分布列如下:

X012

pX1

则石,工2，%3的值分别为一

133

【答案】

10510

【分析】利用古典概型的概率公式与组合的定义即可得解.

【详解】依题意，得

尸"。)噌$，尸(X=1)=等I-小=2)毛磊,

33

所以玉=而，々M,工

310

33

故答案为：—；

510

^=j]=ak(k=l,2,3,4,5),则尸

9.设随机变量4的分布为尸

2

【答案】y

【分析】利用题意得到j的分布，然后利用概率之和为1得到。=3,即可求出答案

1234\

1

【详解】解：由题意知，4的分布为5555

a2a3a4a

所以〃+2〃+3〃+4〃+5〃=1,解得。=:'

所以尸£＜小£=,卜卜」”“

1741”3—_1__।-2--1--3-_2

1010551515155'

故答案为：!2

10.某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毯子、广场舞、投篮、射门等体育活动.在一次“定

点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中,

则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得1分；如果两人都没投中，则小组得。分.甲、乙两人组

成一组，甲每轮投中的概率为乙每轮投中的概率为且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结

果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为

【答案】I

【分析】首先写出X可能取值，再写出分布列，最后得到不低于3分的概率.

【详解】根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为X,则X可取的值为0、1、2、3、4、6,

在一轮活动中，该小组得3分的概率[2x]1=：1

该小组得1分的概率巴=：*[1-+=

该小组得0分的概率

则有尸(X=3)=C；X：X?=：,

639

P(X=6)=-xl=-,

339

则尸(XN3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=6)=:+；+g=^,

即该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为g,

故答案为：g.

四、解答题

11.将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大

号码.

⑴求X的分布列；

(2)求X>4的概率.

【答案】(1)分布列见解析

(2)?

【分析】(1)由已知判断随机变量X的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列；

(2)由(1)的分布列可得概率.

【详解】(1)由已知可得随机变量X的可能取值有：3,4,5,6,

所以P(X=3)E$，尸(X=4)=|吗,尸—5)小哈3clioj_

P（X=6）===

10屋202

所以分布列为

X3456

133

P

202010~2

（2）由⑴^P（X>4）=—+-=—=

、7102105

12.2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在

卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛，

体育生更是热爱观看世界杯，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计

人数如下表所示：

班级12345

喜欢观看世界杯的人数3935383836

班级678910

喜欢观看世界杯的人数3940374038

（1）该校计划从这1。个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜

欢观看世界杯的人数不全相同的概率；

（2）从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X,用上表中的频率估计概率，

求随机变量X的分布列与数学期望.

【答案】（哈

⑵分布列见解析，E（X）=38

【分析】（1）“不全相同”是指可以部分相同，三个班完全相同只有一种情况，就是抽取的三个班恰好是3,4,10

班；

（2）根据表格计算出人数为35,36,37,38,39,40人的频率，再按照数学期望计算公式计算.

【详解】（1）从10个班任取3个班有C；。=120种选法，人数完全相同只有1种选法，就是恰好抽取3,4,10

班，

119

3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率。=12G；

（2）根据表格知：任取1个班人数为35,36,37,38,39,40的概率为0.1,0.1,0.1,0.3,0.2,0.2,

分布列如下表：

人数353637383940

概率0.10.10.10.30.20.2

数学期望E(X)=35x0.1+36x0.1+37x0.1+38x0.3+39x0.2+40x0.2=38(人)；

综上，（1）3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率。=裾；（2）数学期望为38.

13.作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城

市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目.2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》

显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长17.4%,下面给出的是通州区

2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一.又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017

年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元,比上年增长12.2%.

图-2011-2016年全社会固定资产投资及增长率图二2011-2017年全社会固定资产投资及增长率

（亿元）

100025.0

■217939.9'

900'800.8

800:^X16.768^7■njM'20.0

700

600506.1.90.8.6.4.1%.4I15.0

500

40010.0

300

2005.0

100

00.0

i201i1i20122r0132i014i20152I016I

・全社会固定资产投资—增长率

⑴在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图;

（2）通过计算2011〜2017这7年的平均增长率约为17.2%,现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X

为“选取的2个年份中，增长率高于17.2%的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；

⑶设2011〜2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为%,平均数为无，比较和与与元的大小（只需

写出结论）.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

（3）x0<x

【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2%”补全折线

图

（2）根据题意写出X的取值并计算对应的概率，写出分布列即可

（3）根据题意分别计算天工，直接写出答案即可

【详解】(1)

(2)依题意，X的可能取值为0」,2

212

P(X=O)=WC，2；P(x=l)=c上'C争=4—；P(X=2)=CW，1

C；7C；7C；7

；.X的分布列为:

。亭1X3+2」=6

777

(3)x0<x

14.(1)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中随机的抽取出两个数字，记两个数字的和为X.

(i)求X的分布列;

(ii)求X的数学期望E(x).

(2)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中随机的抽取出三个数字，记三个数字的和为y.写出丫

的数学期望后(丫)(只需写出结果即可，不需写出推证过程).

27

【答案】(1)(i)分布列见解析；(ii)9；(2)y

【分析】(1)(i)直接利用古典概型求概率，列出分布列即可.(ii)利用分布列直接求解期望即可.

(2)列出分布列，直接求解期望即可.

【详解】(1)(i)X是一个离散型随机变量，C；。=45,

其可能的取值为1,2,3,4,5,13,14,15,16,17.

用表格表示X的分布列，如下图所示:

X1234567891011121314151617

11223344544332211

r

4545454545454545454545454545454545

171

(ii)E(X)=Z»P(X=Q=—x[36x(l+2+3+4)+9x5]=9.

k=\45

(2)y的可能取值为3,4,5,522,23,24,C：0=120,

贝!|尸(1=无)住=3,4,23,24)=击,

21

p(y=n(^=5,22)=——=—,

l八712060

31

尸(丫=左)(攵=6,21)=——二——，

v八712040

41

P(Y=k](k=7,20]=——二——，

'八712030

P(r=^)(^=8,19)=—,

v八712024

7

P(Y=k)(k=9,18)=—,

O1

P(Y=k)(k=10,17)=——=—,

v八712015

g3

P(Y=k)(k=11,16)=——二——，

l八712040

P(E)优=12,13,14,15)=^='

2427

E(Y)=XkP(Y=k)=—.

k=32

题型三离散型随机变量的分布列的性质

畲策略方法分布列性质的两个作用一

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.

⑵随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范

围内的概率.

【典例1】(单选题)若随机变量X的分布列为

且E（X）=1,则6的值为（）

112

A.-B.0C.gD.-

323

【答案】A

【分析】由随机变量X的分布列的性质和数学期望公式得出答案.

【详解】根据所给的分布列，可得（+。+6=1,

由E（X）=1,可得E（X）=0x1+lxa+2xB=l,解得a=b='.

33

故选:A.

【题型训练】

一、单选题

1.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数。的值是（）

X3459

a11

P----FCL2-

266

【答案】C

【分析】根据分布列的性质运算求解.

【详解】由题意可得：9+:+。+:+。=1,解得

26269

故选：C.

2.若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.10.30.10.2

则当尸（X<a）=0.7时，实数。的取值范围是（）

A.（一%2]B.[1,2]

C.（1,2]D.（1,2）

【答案】C

【分析】可由分布列的性质直接求解.

【详解】由随机变量X的分布列知：

P（X<-l）=0.1,P（X<0）=0.3,P（X<l）=0.4,P（X<2）=0.7,

则当P（X<a）=0.7时，实数。的取值范围是。,2].

其中26=a+c,则尸（周=1）等于（）

【答案】D

【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为1可求.

【详解】Q2b=a+c,且a+A+c=l,

解得b=；，

.•.尸（归]=1）=尸（j=_l）+尸（g=l）=a+c=2b=g.

故选：D.

4.若随机变量X的分布列为

且E（X）=1,则小的值为（）

112

A.-B.0C.：D.-

323

【答案】A

【分析】由随机变量X的分布列的性质和数学期望公式得出答案.

【详解】根据所给的分布列，可得;+。+8=1,

由E（X）=1,可得E（X）=0x1+lx〃+2xZ?=l,解得〃=b=L

33

故选:A.

5.设随机变量X的分布列为尸（X=i）=a[],7=1,2,3,则。的值为（）

【答案】A

【分析】由分布列中所有概率和为1求解.

111Q

【详解】由题意。（彳+：+三）=1，

2487

故选：A.

6.某银行有一自动取款机，在某时刻恰有左（左£N）个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p化），根

据统计得到。（左）=]DJ/（。'。"''一则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（）

0,k>5

,32「16-8-4

6331157

【答案】B

【分析】由概率和为1可求解。（0）,即为所求.

【详解】由题意知，。（0）+以1）+°（2）+M3）+0（4）=1,

则。⑼1+：+⑴+囚=》（0）=1,解得P（0）弋，

2JJJlo31

即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为

故选：B.

二、多选题

7.已知随机变量X的概率分布如下表（其中。为常数）:

X01234

P0.10.20.40.2a

则下列计算结果正确的是()

A.a=0.1B.P(XW2)=0.7

C.P(A>3)=0.4D.P(X<1)=0.3

【答案】ABD

【分析】由概率之和为1可判断A,根据分布列计算概率，可判断BCD.

【详解】因为0.1+0.2+0.4+0.2+a=l,解得。=0.1,故A正确；

由分布列知尸(XM2)=0.4+0.2+0.1=0.7,故B正确

P(X>3)=0.2+0.1=0.3,C错误.

P(X<l)=0.1+0.2=0.3,故D正确，

故选：ABD

8.已知离散型随机变量X的分布列为

A.m+Ti=0.7B,若根=0.3,则P(X>3)=0.5

C.若加=0.9,则〃=-0.2D.P(X=1)=2P(X=6)

【答案】ABD

【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由分布列的性质，可得0.2+〃z+〃+0.1=l,解得〃z+〃=0.7,所以A正确；

对于B中，若根=0.3,可得〃=0.4,则尸(X>3)=尸(X=4)+P(X=6)=0.5,故B正确；

对于C中，由概率的定义知"720,〃之0,所以C不正确；

对于D中，由P(X=l)=0.2,尸(X=6)=0.1,则尸(X=1)=2尸(X=6),所以D正确.

故选：ABD.

9.一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球,

每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量久则下列说法正确的是()

A.^=0)4B.尸©=1)=；

c.P4=l）=；D.PC=2）=g

【答案】CD

【分析】A选项，分析出4=。所包含的情况，从而得到尸C=0）=g,BC选项，分析出。=1所包含的情况,

求出P（J=l）=g,D选项，利用。的所有可能有0,1,2,利用对立事件的概率公式求出尸©=2）=；.

【详解】A选项，4=0,分为第一次即取到黑球，

或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，

或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，

故PC=0）=：1+汨71+洛71X1冷1，A错误；

BC选项，J=l,即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，

或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，

或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，

7199171911

故产（€=1）=丁4+2丐*丁§+3乂不乂下,><5=§,B错误，C正确；

D选项，J的所有可能有0,1,2,

故尸（。=2）=1—尸（。=0）—尸（。=1）=；,D正确.

故选：CD

三、填空题

10.已知随机变量X的分布列为

且E（x）=1.2,则=

【答案】0.3

【分析】先由条件分别计算出机力，从而可的结果.

0.1+m+n=1m=0.6

【详解】由题可得,解得

0x0.1+lxm+2xn=1.2n=0.3

所以m—n=0.3.

故答案为：0.3.

11.离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以尤，y代替，其概率分布如下:

X123456

P0.200.10X0.10y0.20

贝等于-

【答案】0.5

【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1利用对立事件来求尸<x<的概率.

【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1,

贝！］尸色<尤<gj=P(X=3)+尸(X=4)+尸(X=5)=l—0.2—0.1—0.2=0.5.

故答案为：0.5.

12.随机变量X的分布列如下，其中a,6,c成等差数列，则公差d的取值范围是.

【分析】根据等差中项可得6=；,可知。=g-d,c=g+d,结合分布列的性质运算求解.

【详解】因为a,b,c成等差数列，则a+c=2A,

又因为a+6+c=l,解得匕=§,贝!|a=§—d,c=耳+d,

0<--iZ<-

由题意可得；3；3，解得-谷11匕1，

0<-+J<-3⑶

133

所以公差d的取值范围是

故答案为：

13.离散型随机变量丫的概率分布规律为P(*=")=温可("=1,2,3,4),其中〃是常数，则

【答案】1

O

【分析】利用概率和为1可构造方程求得”的值，由尸&<"<鼻=尸"=1)+尸(乂=2)可求得结果.

尸5=")=品(12,3,4),aaaa5

【详解】—+—+一+一=1，解得:ci———

2612204

1551515

:.P—<n<—=P（X=l）+P（X=2）=—x—+—x—=—

2242466

故答案为："

o

题型四离散型随机变量的分布列的均值

多策略方法求离散型随机变量X的均值的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值.

(2)求X取每个值时的概率.

(3)写出X的分布列.

(4)由均值的定义求E(X).

【典例1】(单选题)一袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球，现从中随机取出2个球，用X表示取

出球的最大编号，则E(X)=()

A.2B.3C.—D.—

33

【答案】C

【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4,然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列,

再计算期望即可.

【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4.

11c11C11

且尸途=2）=式=噂=3）=中铲P（X=4）W=.

因此X的分布列为:

H0I]3

H013

贝！]E（X）=2x[+3xg+4x；吟

故选：c.

【典例2】（单选题）已知随机变量X的分布列为

XI2|3

且F=aX+3,若E（y）=—2,则。等于（）

A.-3B.-2C.-D.3

3

【答案】A

【分析】结合题意，先计算出E（X）,再表示E（y）=-2,建立等式，解出即可.

【详解】结合题意：E（X）=lx—+2x-+3x—

2