初中中考数学分类 二次函数的图像与性质（含解析版）（人教版）

专题03二次函数的图像与性质

比较大小问题

图像的平移问题

题型归纳

系数a,b,c与图像关系

二次函数与其它函数共存问题

比较大小

1.已知抛物线y=*+2x+c,若点（0,%）,（1,%）,（3,丫3）都在该抛物线上,则%、%、%的大小关系

是（）

A.B.，3<y2Vxc.D.当<%<必

2.已知二次函数y=2/—4法—50N—1）,当—3Vx41时，函数的最小值为-13,则6的值为（）

53

A.-B.2C.-D.1

22

3.若点A（-2,yJ,B（l,y2）,。（人为）在抛物线V=2/+4以+c上，且％<为<%，则〃?的取值

范围是（）

A.-3<m<-2B.-3〈相〈一2或0<〃2<1

C.机<一3或/〃>1D.一3<〃2<0或一2〈根<1

4.已知（-2,»）、（1,%）是二次函数y=gf+x+c图象上的三点，则%、%、%的大小

关系为（）

A.B.必<,<必c.y2<y3<D.%<%<%

5.二次函数y=o?+法的图象如图所示，当—ivxv机时，＞随x的增大而增大，则加的取值范围

是（）

A./n>1B.-\<m<\C.777>0D.-\<m<2

图像的平移问题

6.二次函数y=f+l的图象平移后经过点（2,0）,则下列平移方法正确的是（）

A.向左平移2个单位，向下平移2个单位B.向左平移1个单位，向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，向下平移2个单位D.向右平移2个单位，向上平移1个单位

7.将抛物线y=-2/向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.

8.将抛物线y=2/+4x7向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解

析式为.

系数a,b,c与图像的关系

9.二次函数》=以2+加+44x0）的图像如图所示，下列说法:

①2a+6=0；②当-15x43时，”0；③若（七,8）、（%,%）在函数图像上，当x1当时，M%;

A.4B.3C.2D.1

10.在平面直角坐标系中，已知二次函数y="2+桁+c（a/0）的图象如图所示，有下列5个结论:

①而c>0；②2a-6=0；③9a+36+c>0；@b2>4ac；⑤a+c<6.其中结论正确的是（填

序号）.

11.如图，已知抛物线广加+乐+4"0）的顶点坐标是（2,-2）,图像与x轴交于点8（加0）和点C,

且点B在点C的左侧，那么线段BC的长是.（请用含字母加的代数式表示）

12.已知二次函数丫=加+桁+。（4H0）的图像如图所示，有下列5个结论：

①成c>0；（2）b<a+c；③4a+»+c>（）；④2c<36；（5）a+b>m（am+b）（mwl的实数）.

其中正确的结论有（填序号）

14.二次函数ka/+b%+c的图象不经过第二象限，则白、b、c的取值范围是（）

A.a>0,b<0,c=0B.avO,bvO,c<0

C.a<0,Z?<0,c>0D.a<0,b>0,c<0

是常数，且awO）在同一平面直角坐标系的图像可能是（）

17.下列图象中，当彷＞0时，函数》)

18.无论机为任何实数，二次函数＞=/+（2-〃?卜+机的图像一定过的点是（）

A.(1,3)B.(1,0)C.(-1,3)D.(—1,0)

19.已知点E（X|，X）,£（*2，丫2）为抛物线）'=五-4ar+c（必0）上两点，且/C巧，则下列说法

正确的是（）

A.若一+々＜4,则y/V”B.若4+々>4,则y/<”

C.若a+巧-4)>0,贝Uy/>y2D.若a(^+%2-4)<0,则

20.如图是抛物线旷=〃2+以+'3二0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（l,3）,与x轴的一个交点

是8（4,0）,点尸在抛物线上，且在直线A3上方，则下列结论正确的是（）

A.abc＞0

B.方程o?+法+c=3有两个不相等的实数根

C.x（cix+b）＜a-vb

D.点尸到直线A8的最大距离逑

8

21.已知4（-3,-2）,3（1,-2）,抛物线丫=公2+"+以。＞0）顶点在线段43上运动，形状保持不变,

与x轴交于C、。两点（C在。的右侧），下列结论：①cN-2；②当x＞0,一定有y随x的增大

而增大；③点。横坐标的最小值为-5,则点C横坐标的最大值为3；④当四边形A8CD为平行四

边形时，“=；,其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

22.已知抛物线y=-V+4x和直线％=依，我们定义新函数M,若％＞必，则加=%;若其=%，

2

贝|JMM=%；若％＜必，贝I]M=丫2.下列结论：①无论k为何值,抛物线％=-X+4x与直线y2=kx

总有交点：②若&=1,则当X21时，M有最小值3：③若当xNO时，M的值随x的值增大而增大,

则ZN2；④当氏＜0时，方程〃=4有三个不等实根.其中正确的结论是.（填写序号）

专题03二次函数的图像与性质

1.已知抛物线y=-f+2x+c,若点(0,%),(1,%),(3,%)都在该抛物线上，则X、必、力的大小关系

是()

A.%>%>%B.C.%D.

【答案】D

【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小.

【详解】解：ry=-x2+2x+c=-(x-l)~+l+c,

，抛物线开口向下，对称轴为直线x=l，

•.•点(0,当),(1,%),(3,3)都在该抛物线上,1-1<1-0<3-1,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性.

2.已知二次函数y=2W—4法—502—1),当一34x〈l时，函数的最小值为一13,则匕的值为()

53

A.-B.2C.-D.1

22

【答案】A

【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线x=b,则离对称轴越近函数值越小，再分当

-14641时，当。>1时，两种情况根据二次函数的性质结合当-34x41时，函数的最小值为T3进

行求解即可.

【详解】解：.•・二次函数解析式为y=2d—4法-5(62—1),

・•・二次函数开口向上，对称轴为直线》=-三2=6,

2x2

离对称轴越近函数值越小，

当一14641时，

•.,当-3MX41时，函数的最小值为-13,

2b2-4/-5=-13,解得6=±2(舍去)；

当6>1时，则力一1<3-(-3)=〃+1,

・•・当-34x41时，函数的最小值为-13,

.,.当x=l时，y=2x2—4hx—5=-13,

2x12-40-5=73，

解得b=|;

综上所述，b=《,

2

故选A.

【点睛】主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键

3.若点A(-2,yJ,3(1,%),。(加,％)在抛物线y=2以2+4or+c上，且％<%<%，则机的取值

范围是()

A.-3<m<-2B.-3<帆<—2或0<，"<1

C.m<-3或m>1D.-3<加<0或一2<加<1

【答案】B

【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线》=-半=-1,根据％<%<%，

根据离对称轴越远，函数值越大，可得。>0,进而可得机的范围

【详解】解：.••抛物线y=2以2+4以+C,的对称轴为直线工二-4=-1,

4a

点A(-2,yJ,8(1,%)，C(m,%)在抛物线丫=2小+4奴+。匕且％<%<%

而-1-(-2)<1-(-1),J,<y2,a>0,

y<%<%，二1<:〃-(T)<2或1<一1一机<2

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

4.已知(-2,yJ、(g,%］、(1，丫3)是二次函数y=gx2+x+c图象上的三点，则%、％、%的大小

关系为()

A.%>%>%B.c.y2<y3<y,D.%<y2vM

【答案】A

【分析】根据函数关系式可得抛物线的开口方向和对称轴，根据点与对称轴的距离即可求解.

【详解】解：二次函数的关系式为+x+c,

抛物线开口向上，对称轴为直线尸-1,距离对称轴越近，函数值越小，

13

•;卜2-(-1)|=1,-1--=-,|-1-1|=-2,

卜1-1|<-1-1<|-2-(-1)|.-.y3>y2>yt,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，当抛物线开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小,

当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大.

5.二次函数丫=0?+版的图象如图所示，当-1<X<机时，y随X的增大而增大，则机的取值范围

A.m>\B.C.m>0D.-l<m<2

【答案】B

【分析】结合二次函数图象和性质进行判断即可.

【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为x=l,

.,.当尤41时・，y随x的增大而增大，

又•.•当T<X<小时，y随x的增大而增大，

故选：B.

【点睛】此题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合思想和性质是解题的关键.

题型02图像的平移问题

6.二次函数y=f+i的图象平移后经过点(2,0),则下列平移方法正确的是()

A.向左平移2个单位，向下平移2个单位B.向左平移1个单位，向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，向下平移2个单位D.向右平移2个单位，向上平移1个单位

【答案】C

【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可.

【详解】解：A、平移后的解析式为y=(x+2『+l-2=(x+2)J1,当x=2时，y=15,本选项不符

合题意；

B、平移后的解析式为y=(x+iy+l+2=(x+l)2+3,当x=2时，y=12,本选项不符合题意：

C、平移后的解析式为y=(x-l)2+l-2=(x-l)2-l,当x=2时，y=0,本选项符合题意;

D、平移后的解析式为y=(x-2)2+l+l=(x-2y+2,当x=2时，y=2,本选项不符合题意：

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

7.将抛物线y=-2/向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.

【答案】y=-2x2+3/y=3-2x2

【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，写出解析式即可.

【详解】解：将抛物线＞=-2/向上平移3个单位长度得y=_2x?+3

故答案为：＞-=-2X2+3.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利

用顶点的变化求解是解题的关键.

8.将抛物线y=2Y+4x-l向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解

析式为.

【答案】y=2x2

【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解.

【详解】解：J=2X2+4X-1=2(X+1)2-3

、=2—+4%-1向右平移1个单位长度，

再向上平移3个单位长度后，函数的表达式为：)，=2父+4工-1=2(X+1-1)2-3+3=2/.

故答案为：y=2x2.

【点睛】本题考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规

律：左加右减，上加下减.

[题型

03]系数a,b,c与图像的关系

9.二次函数丫=混+区+。("0)的图像如图所示，下列说法:

①2a+6=0；②当一14xM3时，y<0：③若(%,%)、(%为)在函数图像上，当王<“2时，X<%;

@9a+3b+c=0-©a=-^c,其中错误的个数有()个.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据抛物线的对称轴判断①，由图像判断②，根据抛物线的性质判断③，根据x=3时，

y=o判断④，根据已知条件可判断⑤，由此即可求解.

【详解】解：根据题意，了=5?+法+c(axO)的图像开口向上，与*轴的交点为占=-1,々=3,

与V轴的交点在V的负半轴上，

a>0,对称轴为x='+/=j_J.=1,c<0,

22

・・.①由图像可知，抛物线的对称轴是直线x=l,

，-2=1,即2a+b=0,①正确；

②由图像可知，当—l<x<3时，y<0,②错误；

③在对称轴左侧，当阳<々时，%>为；在对称轴右侧，当玉<今时，弘<%，③错误；

④当x=3时，y=0,

:.9a+3b+c=0,④正确；

2a+h=0,9a+3b+c=0,

/.3a+6a+3b+c=09即3a+c=0,

\tz=-⑤正确；

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，二次函数y=法+。系数符号由抛物线开口

方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与工轴交点的个数确定，掌握二次函数图像的性质是解

题的关键.

10.在平面直角坐标系中，已知二次函数>>=0¥2+笈+0（。*（））的图象如图所示，有下列5个结论:

@abc>0；②2a—力=0；③9a+38+c>0；④。：>4ac；（5）a+c<b.其中结论正确的是（填

序号）.

【答案】④⑤/⑤④

【分析】①山图象的开口方向，与y轴的截距，对称轴的正负，即可求解；②山-3=1,即可求

2a

解；③-1<占<0,,2<々<3,.•.当X=3时，即可求解；④图象与X轴有两个交点，即可求解；

⑤当户-1时，«-Z?+c<0,即可求解.

【详解】解：①由图象得：图象开口向下，，。<0，与y轴的截距在正半轴上，二。>。，-3>o,

2a

b>0,abc<0,故此项错误；

b

②-<=1,.\2a+Z?=0,故此项错误；

2a

如图，-1<玉<0,:.2<x2<3,.,.当x=3时、9a+3Z?+c<0,故止匕项错误；

④图象与％轴有两个交点，.•方—4改>0,，。2>4碇，故此项正确；

⑤由③得，当x=-l时，a-b+c<0,;.a+cvb,故此项正确；

故答案：④⑤.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象判断式子的符号，掌握判断方法是解题的关键.

11.如图，已知抛物线），=加+云+c（aw0）的顶点坐标是（2,-2）,图像与1轴交于点3（"?，。）和点。,

且点8在点C的左侧，那么线段8c的长是.（请用含字母机的代数式表示）

【分析】根据抛物线广加+笈+430）的顶点坐标是（2,-2）可得对称轴是直线x=2,根据点

和点C关于直线x=2对称可得C（4-//7,0）,进行计算即可得到线段BC的长.

【详解】解：•抛物线产奴2+云+4亦0）的顶点坐标是（2,-2）,

•.・抛物线的对称轴是直线工=2,

;点、B（m,O）和点C关于直线x=2对称，

・.・设点C的坐标为（〃，0）,

・"+m=2x2,

.\n=4-m,

C（4-m,0）,

，点8在点C的左侧，

BC=4-m-m=4-2m,

故答案为：4—2m.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解

题的关键.

12.已知二次函数丁=加+乐+44/0）的图像如图所示，有下列5个结论：

（Dabc>0；②b<a+c；③4a+2/7+c>0；④2c<3b；（5）a+b>m（am+b）（加工1的实数）.

其中正确的结论有（填序号）

【答案】③④⑤

【分析】由抛物线的开口方向可以得出。<0,由抛物线与y轴的交点可以判断c>o,由抛物线的对

称轴可以判断b>0,再根据抛物线与x轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案.

【详解】解：①二次函数了=52+法+。（“♦0）的图象开口方向向卜，与y轴交于正半轴，对称

轴为直线x=l,

6?<0>c>0,—-—>0,

b>0,

abc<0,故①错误，不符合题意；

②.•二次函数产加+反+。（"0）的图象与龙轴的交点在（-⑼的右边，图象开口方向向下，

，当工二一1时，”0,

:.a-b+c<0,

：.b>a+c,故②错误，不符合题意；

③二次函数丁=以2+灰+44工（））的图象与不轴的另一个交点在（2,0）的右边，图象开口方向向下，

・•・当X=2时，y>（）,

:.4a+2b+c>0.故③正确，符合题意；

④由①得：-《=1,

2

由②得：a-h+c<0,

—b—b+c<.0,

2

:.2c<3b,故④正确，符合题意；

⑤.：次函数丫=加+法+。（47。）的图象的对称轴为直线X=1,

・•・当x=l时，>取最大值，最大值为a+%+c.

...当X=时，am2+bm+c<a+b+c,

:.a+b>m(am+h)(m^\),故⑤正确,符合题意;

综上所述：正确的结论有：③④⑤，

故答案为：③④⑤.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的

符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键.

二次函数与其他函数共存问题

13,同一坐标系中，二次函数y=(x-a)2与一次函数y=。+如的图象可能是()

【答案】D

【分析】可先根据一次函数的图象判断“，〃的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正

误.

【详解】解：A、由一次函数了=。+依的图象可得：两个a的符号不一致，故错误；

B、由-一次函数V=a+依的图象可得：a<0,此时二次函数y=(x-a『的顶点(a,0),a>0,矛盾，

故错误；

C、由一次函数y=a+依的图象可得：a<0,由其与y轴的交点可知a>0,矛盾，故错误：

D、由一次函数y=a+"的图象可得：。>0,此时二次函数y=(x—a?的顶点(a,0),«>0,故正

确；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象

限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

14.二次函数产办2+法+。的图象不经过第二象限，则“、b、c的取值范围是()

A.6T>0,Z?<0,c=0B.avO,Z?<0,c<0

C.a<0,t<0,c>0D."0,b>0,c<0

【答案】D

【分析】根据二次函数的图象不经过第二象限可画出大致图象，图象开口决定。的符号,

与)，轴交点决定。的符号，对称轴所在位置决定h的符号.

【详解】解：.•・二次函数y=ax2+W+c的图象不经过第二象限，则大致图象为下图所示，

故选：D.

【点睛】本题考查了：次函数图象与系数的关系，根据:次函数)'=依2+反+。不过第二象限画出大致

图象是解题的关键.

【答案】C

【分析】先分别根据函数图像确定抛物线、直线的系数，然后看是否一致即可解答.

【详解】解：A.由抛物线可知aX),b<0,由直线可知a<0,b<0,故不一致，不合题意；

B.由抛物线可知a>0,b<0,由直线可知aX),bX),故不一致，不合题意；

C.由抛物线可知a>0,bX),由直线可知。X),bX),故一致，符合题意；

D.山抛物线可知。<0,b>0,由直线可知a>0,6X),故不一致，不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图像，掌握一次函数和二次函数图像的有关性质

是解答本题的关键.

【答案】D

【分析】分别根据四个选项中一次函数和二次函数的图象判断出。和〃的正负，然后通过比较求解

即可.

【详解】解：A、对于直线y=得a＞0,b＜0,与必＞0矛盾，所以A选项错误；

B、由抛物线y=〃2开口向上得到。＞0,而由直线丫=如：+6经过第二、四象限得到。＜0,所以B

选项错误；

C、由抛物线丫=以2开口向下得到。＜0,而由直线y=or+b经过第一、三象限得到。＞0,所以C

选项错误；

D、山抛物线），=以2开口向下得到。＜0,则直线y=or+b经过第二、四象限，由于而＞0,则6＜0,

所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质，掌握函数关系式的系数与图像的位

置之间的关系是解题的关键.

优选提升题

18.无论机为任何实数，二次函数y=x2+（2-〃z）x+m的图像一定过的点是（）

A.(1,3)B.(1,0)C.(-1,3)D.(-1,0)

【答案】A

【分析】无论"，为任何实数，二次函数），=x?+（2-+a的图像一定过的点，即该定点坐标与"，

的值无关，根据整理后式子中（1-司帆，该项中的l-x=O,求解定点坐标即可.

【详解】原式可化为y=f+2x+（l-司”，

•.无论加为任何实数，：次函数乎=^+（2-加卜+帆的图像一定过的点，即该定点坐标与m的值无

关，

1—x=0,

解得：x=-l,

此时y=1+2=3,

・•.图像一定过的点是（1,3）,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解定点坐标与机的值无关，即整理后式子中

该项中的1-x=0是解题的关键.

19.已知点勺（占,乂），鸟（々，丫2）为抛物线、=五一4"+c（4H0）上两点，且玉<演，则下列说法

正确的是（）

A.若毛+/<4,则y/<y2B.若4+々>4，贝!1丫/<”

C.若a（勺+々一4）>0,则y/>>2D.若a（^+jr2-4）<0,贝

【答案】D

【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下

时，离对称轴越近的点的纵坐标越大.

【详解】解：抛物线对称轴为直线》=-^=2,

2a

当为+/<4时，x2-2<2-Xj,

则当a>0时，芦>必；当。<0时，y<%；

当F+々>4时，x2-2>2-,

则当a>0时，必>X；当。<0时，%>>2；

故A、B选项都不正确：

若。（西+七一4）>0,则。与王+々-4同号，由上可知/<上，

故C不正确；

若。（公+々-4）<0,则。与芭+々-4异号，由上可知%>%，

故D正确；

故选D.

【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握当图象开口向上时，离对称轴越近的点

的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大.

20.如图是抛物线y=♦+法+c（a工0）的一部分，抛物线的顶点坐标是AQ,3）,与x轴的一个交点

是8（4,0）,点P在抛物线上，且在直线48上方，则下列结论正确的是（）

A.abc>0

B.方程w?+/?x+c=3有两个不相等的实数根

C.x{ax-\-b）<a+h

D.点P到直线A8的最大距离还

8

【答案】C

【分析】根据图象可知a<0,c>0,再由对称轴可知6=-2«>0,可判断①；根据抛物线的顶点

可知方程or2+fex+c=3有且只有一个实数根，可判断②；当x=l时函数有最大值a+8+c,由此可

判断③；求出函数的解析式和直线A8的解析式，当P/口的面积最大值时，P点到A8的距离最大,

过尸点作尸G〃y轴交A3『点G,用同一参数的代数式分别表示点P,G的坐标，表示出PG,运

用二次函数性质，可求得PG的最大值，当PG取最大值时，一加的面积最大，从而求得P点到A8

的距离最大值，由此判断④.

【详解】解：由图象可知开口向下，

a<0,

函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，

c>0,

V对称轴为直线x=l,

b=-2a>0,

abc<0,

故A不符合题意；

V抛物线的顶点坐标是41,3),

加+"+°=3时，方程的解为x=l，

・•・方程依2+法+c=3有两个相等的实数根，

故B不符合题意；

当％=1时,a+b+c=3f

ax2+bx+c<a+b+cB|Jax1+bx<a+b»

故C符合题意；

设直线A5的解析式为丁=米+加，

14%+机=0

出+加=3

k=-\

解得

"2=4

y=-x+4,

设抛物线y=0(1)2+3,将点8(4,0)代入,

9。+3=0，

过P点作PG〃y轴交AB于点G,

122

设尸点坐标为(f,--r2+-r+-),则GQ,-『+4),

/.PG=--t2+-r+乌-(-t+4)=--t2+-t--=--(r--)2+-,

333333324

553

・•・当r=g(1<：<4)时，PG有最大值7,此时

224

113331

一PG?(XRxj=-?一？

S.AtHirP=23PG2-PG=24为最大值,

由图，AB=/+(4-=3y/2，设点P到AB的距离为h,则

5.-AB?h1?3^2h-

ABP222

当SAAB/•最大时，力取最大值，

•,­|&/人值=（

解得，%大值=（

二点P到直线AB的最大距离为变.

24

故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息,

结合函数的性质，尤其是配方法求极值是解题的关键.

21.已知A（-3,-2）,B（l,-2）,抛物线丫=公2+法+c（a>0）顶点在线段A8上运动，形状保持不变,

与x轴交于c、c两点（C在。的右侧），下列结论：①cz-2；②当x>o,一定有y随x的增大

而增大；③点。横坐标的最小值为-5,则点C横坐标的最大值为3；④当四边形为平行四

边形时，a=~,其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据顶点在线段河上，抛物线与y轴的交点坐标为（O,c）,可以判断出c的取值范围，得

到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定x=l时，点。的横坐标取得最大值，

根据二次函数的对称性求出点C的坐标，即可判断③正确；令y=o,利用根与系数关系与顶点的

纵坐标求出CZ）的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得=然后列出方程求

得。的值，判断出④正确.

【详解】解：•点48的坐标分别为（一3,-2）和（1,-2）,

二线段AB与y轴的交点坐标为(0,-2),

又••抛物线的顶点在线段A8I二运动，抛物线与y轴的交点坐标为(O,C),

.•-c>-2,故①正确；

抛物线的顶点在线段48上运动，开口向上，

••・只有当x>l时，一定有y随X的增大而增大，故②错误；

若点£>的坐标最小值为-5,此时抛物线的对称轴直线为x=-3,

由抛物线的对称性可得此时点C的横坐标为-】，则。=-1-(-5)=4,

••,抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为x=l,此时C的横坐标为3,

C的横坐标的最大值为3,故③正确；

令y=o,则加+foc+c=o,设点的坐标分别为&,0卜(受，0),

bc

x+x=——,xx=—,

]2a]2"a

2*5