浙江省衢州市2024年6月高二年级教学质量检测数学试卷及答案

衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷

数学

考生须知：

1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.

2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.

3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

符合题目的要求.

1.复数（1+产=（）

A.2-2iB.2+2iC.-2iD.2i

2.设随机变量X〜则X的数学期望为（）

A.3B.6C.9D.12

3.已知直线加和平面贝i]“加＜Za”是“直线加与平面a无公共点”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A—nB.-C.D.A/2TI

•22

5.已知向量1=（-1,百），且+则B在％上的投影向量为（）

/I-、

A.1）B.--,-1C.（1,—D.fl_£\

2，-V

6.在448c中，5=|,。是48的中点，CD=也，则4B+28C的取值范围为（）

A.

7.若曲线y=（ax+l）lnx有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是（）

B.（0,e2）

31

8.已知曲线G：J=x2,曲线G：x2+y2+-x——y=0,两曲线在第二象限交于点尸，G，&在P处

的切线倾斜角分别为尸，则（）

A.a+/3=B.a+J3=^-C.a+J3=^-D.|tz-^|=-1-

二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列论述正确的是（）

A,样本相关系数尸=0时，表明成对样本数据间没有线性相关关系

B.由样本数据得到的经验回归直线多=<£必过中心点（只歹）

C.用决定系数A?比较两个回归模型的拟合效果时，R2越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差

D.研究某两个属性变量时，作出零假设名并得到2x2列联表，计算得力2之％05,则有95%的把握能推

断“0不成立

22

10.已知/是双曲线二—匕=1的右焦点，尸为其左支上一点，点4（0,-6）,贝！］（）

45

A.双曲线的焦距为6

B.点尸到渐近线的距离为2

C.|1训+|尸盟的最小值为3石+4

D.若归丹=8,则丛OPF的面积为3小

11.已知函数/（x）的定义域为R,若/（2x—1）+/（3—2x）=2,且/（X—2）为偶函数，/⑵=2,则

（）

A./（x+4）=/（x）B,42024）=0

25

c./（3）+/（9）=2D.£/（0=25

1=1

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.（2x-y）5的展开式中的系数是.（用数字作答）

13.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给

另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为（用数字作答）；4次传球后球在甲手

中的概率为.

14.如图，等腰直角三角形中，AC1BC,AB=4,。是边ZC上一动点（不包括端点）.将△45。

沿AD折起，使得二面角4-AD-C为直二面角，则三棱锥4-BCD的外接球体积的取值范围是

四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

15.已知数列｛4｝为等比数列，%,14,%成等差数列，且%=%%.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛"4｝的前〃项和5“.

16.如图，在棱长为1的正四面体/—BCD中，E是28的中点，F,G分别在棱ZD和上(不含端

点)，且EG//平面48c.

(2)若尸为2。中点，求平面EFG截该正四面体所得截面的面积；

7T

(3)当直线EG与平面BCD所成角为一时，求。G.

6

17.已知函数=

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x"0,求a方的最大值.

18.某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互

不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规

则为：

①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；

②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；

③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.

假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100

积分.

（1）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X为甲乙两方抽牌次数之和.

（i）求P（X=2）；

（ii）求P（X=2左）,左eN*；

（2）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.

19.已知椭圆C：鼻+二=l（a〉b〉0）的离心率为在，斜率为;的直线/与了轴交于点尸，/与。交于

ab2

Q

A,3两点，T是A关于x轴的对称点.当尸与原点。重合时，△48T面积为一.

9

（1）求。的方程；

（2）当尸异于。点时，记直线与x轴交于点。，求△OP。周长的最小值.

衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷

数学

考生须知：

L全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.

2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.

3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

符合题目的要求.

1.复数（1+产=（）

A.2-2iB.2+2iC.-2iD.2i

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数乘法计算.

【详解】（1+i）2=l+2i+i2=l+2i-l=2i.

故选：D

2.设随机变量X〜则X的数学期望为（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项分布的变量的期望公式，代入运算得解.

【详解】QX:《16,：],

3

:.E（X）=np=16x-=12.

故选：D.

3.已知直线加和平面贝!]“加＜Za”是“直线加与平面a无公共点”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断.

【详解】因为加aa包含m//a和直线m与平面a相交两种情况，因此若m<^a,则直线m可以与平面a

无公共点也可以与平面a有一个公共点，

因此“加atz”是“直线加与平面a无公共点”的必要不充分条件.

故选：B.

4.某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A.—7tB.-C.nD.舟

22

【答案】A

【解析】

【分析】先求出该圆锥的底面半径和母线长，再求圆锥的侧面积得解.

【详解】由题得底面圆的直径为，a+俨=收,

所以该圆锥的底面半径为也，母线长为1,

2

所以该圆锥的表面积为，x2x兀xY2xl=型兀.

222

故选：A.

5.已知向量Z=（—1,G）,且力口+B）,则B在£上的投影向量为（）

【答案】c

【解析】

【分析】先根据条件求出7B，再根据投影向量的概念计算B在Z上的投影向量•

【详解】由7=（-1,、阴，得：同=2.

又Q_L（Q+b）=>a・（Q+b）=O=>2.B=_五2__4.

所以加在z上的投影向量为：

同同

故选：C

6.在中，B=],。是Z8的中点，CD=6，则N3+28c的取值范围为（）

【分析】根据题意，由正弦定理可得BD=2sinZBCD,BC=2sinZBDC,即可得到

AB+2BC=473sinABCD+-,再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.

因为8=（，CD=y/3>在△BCD中，

BD_BC_CD_2

由正弦定理可得sinZBCD-sinZ5DC-sinZB一百

则BD=2sinNBCD,BC=2sinZBDC,

且。是Z5的中点，则幺8+28。=23£>+28。=4411/50)+45由28。。，

又8=女，则N3C£>=2兀一/3QC,

33

则AB+2BC=4sin]|■兀一NBDCj+4sin/BDC

cosNBCD+—sinABCD+sinNBCD

2

7

4区inNBCD+—cosNBCD

227

sinNBCD+e,

7T715

则N8CO+—e一,一兀

666

NBCD+j则4道sin1N8CD+[

所以sine(26,46]

即AB+2BC的取值范围为(2g,46].

故选：C

7.若曲线y=(ax+l)lnx有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是()

A.(0,"B.(0,e2)C.D.[Jd]

【答案】A

【解析】

【分析】先设切点(Xo，(Go+l)hMo),再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程;

再根据切线过点(0,0),得到毛,。的关系，利用与有两解求。的取值范围.

【详解】设切点+1)1叫))，

又y'=aInx+(ax+1)—=alnxH--FQ,所以切线斜率为：左二Fa.

XXX。

(1)

由点斜式，切线方程为：y-(ax0+l)lnx0=a\nx0+—+a(x-x0).

Ix0

(1、

因为切线过点(0,0),所以—(ax。+l)lnXo=aln/H----a(0—x0).

Vx。J

所以：tzxo-lnxo+l=O.

因为过原点的切线有两条，所以关于％方程ax-Inx+1=0有两解.

由ax-lnx+l=0(x>0)na二一-

x

设g)=个，则"叱-(71)

2-lnx,

由/(x)>0得2—lnx〉0nx<e2

所以/z(x)在(o,e2)单调递增,在W,+8)单调递减,

所以力仁2)=《，且当%>e时，/z(x)>o.

lY—11

所以。二-n-----有两解，则0<。<

xe

故选：A

31

8.已知曲线G：J=X2,曲线。2：x2+y2+-x--y=Q,两曲线在第二象限交于点尸，G，C2在尸处

的切线倾斜角分别为万，则()

c2兀371c571Ici71

A.ex.(3——^―B.oc(3—C.cc/3—D.|^z—=—

【答案】B

【解析】

【分析】易知P(-1,1),利用导数的几何意义可求得tana=-2,再根据圆的切线求法可得tan夕=；,

再根据三角恒等变换可判断B正确.

y=^2

【详解】联立19931，得2/+/+3%=0,即x(2/+x+3)=0,

x+y+-x--y=O、)

、22

—

可得+1乂2x?—2x+3)=0,解得再=0,x2=1,可得尸(—1,1)

由G：y=%?可知y=2x；

713兀

所以曲线G在尸处的切线斜率为左=tana,a

VL=T=-2=G2?T

1--

曲线。2可化为+14

其圆心为

8

所以圆。2在P处的切线斜率为左2=；=tan万，6e1°，；

八(兀)/八\tana+tan/?3兀

a+/?£—,兀，tan(6/+^)=-------------=-14,即。+尸二一，故B正确，A、C错误,

')1-tancr-tan/?4

-2--

tan(|a-/?|)=tan(a-£)二——匕二一7,故D错误,

1+(-2)X3

故选：B.

二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列论述正确的是（）

A,样本相关系数r=0时，表明成对样本数据间没有线性相关关系

B.由样本数据得到的经验回归直线§=<+方必过中心点（乱歹）

C.用决定系数氏2比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差

D.研究某两个属性变量时，作出零假设名并得到2x2列联表，计算得力2之％。5,则有95%的把握能推

断不成立

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：根据相关系数的性质分析判断；对于B：根据经验回归方程过样本中心点分析判断；对于

C：根据决定系数的性质分析判断；对于D：根据独立性检验思想分析判断.

【详解】对于选项A：样本相关系数厂的绝对值越大，线性相关性越强，

所以样本相关系数厂=0时，表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A正确；

对于选项B：经验回归直线与=跋+£必过中心点（亍,歹），故B正确；

对于选项C：在回归分析中，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C错误；

对于选项D：因为力2之％05,根据独立性检验的思想可知有95%的把握能推断?不成立，故D正确；

故选：ABD.

22

10.已知E是双曲线二—匕=1的右焦点，尸为其左支上一点，点/（0,-6）,贝！］（）

45

A.双曲线的焦距为6

B.点尸到渐近线的距离为2

C.|/训+怛月的最小值为3出+4

D.^\PF\=8,则NJPF的面积为3小

【答案】AC

【解析】

【分析】根据双曲线的性质判断A,利用点到直线的距离公式判断B,利用双曲线的定义判断C,求焦点三

角形的面积，可判断D.

45=1，可知。=2,b=5所以0=信+廿=3,所以双曲线的焦距为:

2c=6,故A正确;

双曲线的渐近线为了=±手x，即底±2了=0,点尸（3,0）到渐近线的距离为:

d=关'=石，故B错误;

V5+4

设双曲线的左焦点为尸，，根据双曲线的定义：忸刊-忸厂1=4,

所以I尸H+|?F|=+\PF'\+4>\AF'\+4=,9+36+4=3下+4，故C正确;

在△耳下'中，由忸司=8,|PF'|=8—4=4,|EF'|=6,

|PF|2+|PF,|2-|FF,|2_64+16—3664+16—3611

由余弦定理得：cosZFPF'=J

2\PF\-\PF'\2x8x42x8x416

所以sin/F7/'=%^

16

所以54尸=,x8x4x%^=5百，所以5。尸尸=L5尸.，=述，故D错误•

故选：AC

11.已知函数/（x）的定义域为R,若/（2x—1）+/（3—2x）=2,且/（x—2）为偶函数，/（2）=2,则

（）

A./（x+4）=/（x）B.42024）=0

25

c./（3）+/（9）=2D.£/。）=25

1=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A,再根据函数周期和对称性求

值，并求函数值，判断BCD.

【详解】—1）+/（3—2x）=2,.•./（X）关于（1,1）对称

•.•/（X—2）为偶函数，.•./（X）关于x=—2对称

.••/（司的周期7=4口—（—2）］=12,故A错；

/（2024）=/（-4）（•••/（X）的周期为12）

/（—4）=/（O）（•.•/（X）关于x=—2对称）

/（0）=2-/（2）=0（•••/（X）关于（1,1）对称），故B正确；

/（9）=/（—3）（•.•/（X）的周期为⑵

/（—3）=/（—1）（•••/（X）关于x=—2对称）

/（-1）=2-/（3）（・・•/（X）关于（1,1）对称）

/（-1）+/（3）=2,即/（9）+/（3）=2,故c正确；

：/（x）的周期为12

.•./⑵+/（3）+…+/（13）=/（⑷+/（15）+…+/（25）,

/（3）+/（-1）=2,又=所以/（3）+/。1）=2,

同理/（4）+/（10）=2,/（5）+/（9）=2,/（6）+/（8）=2,

/⑺+/（—5）=2,又/（—5）=/⑺,所以2/⑺=2,即/⑺=1,

由/（2x_l）+/（3—2x）=2,令x=l,得2/⑴=2,/（1）=1,

/（12）=/（0）=0,

所以/⑴+/（2）+/（3）+…+/（12）=12,所以/。3）+/。4）+...+/（24）=12,

/（25）=/⑴=1，

25

^/（/）=24+1=25,故D正确.

Z=1

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过对称性判断函数的周期.

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.(2x-y)5的展开式中-V的系数是.(用数字作答)

【答案】-40

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中Yj?的系数.

【详解】(2x_y)5的展开式的通项=C；(2x广(-n=q-25-r•(-1)，x5-ryr,r=0,1,2,…5

所以展开式中-y的系数是C^-22.(-1)3=-40.

故答案为：-40.

13.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给

另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为(用数字作答)；4次传球后球在甲手

中的概率为.

7

【答案】①.81②.—

T1

【解析】

【分析】先求出4次传球的方法总数，再求出4次传球后球在甲手中的方法总数，设4表示经过第〃次传

球后球在甲手中，设〃次传球后球在甲手中的概率为匕，依题意利用全概率公式得到勺+]=；-；勺，即可

得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出勺，再将〃=4代入计算可得.

【详解】由题意可知，4次传球总的传球路线种数为34=81种，

设4表示经过第〃次传球后球在甲手中，设〃次传球后球在甲手中的概率为月，"=1,2,3,…,

则有4=o,4+i=44+i+44+1，

所以4+1=P(AA+1+44+J=P(4A+J+尸(44+1)

=尸(4＞尸(4+"可+尸(4)尸(4"4)=(1—勺卜；+勺义0=；(1—々),

即々+1=；-＞，所以勺+「：=一；[勺一：；

又耳—4=_2_00,所以，耳是以—工为首项，一：为公比的等比数歹!J,

44I4143

当〃=4时巴=!

4

_,7

故答案为：81,—.

27

14.如图，等腰直角三角形45C中，AC1BC,AB=A,。是边/C上一动点（不包括端点）.将△45。

沿5。折起，使得二面角4-8。-C为直二面角，则三棱锥4-BCD的外接球体积的取值范围是

【解析】

【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出体积

取值范围.

【详解】因为△BCD是直角三角形，所以其外接圆的圆心在的斜边8。上，即是该圆的直

径,

又因为平面4平面BCD,所以平面48。必过球心，外接球半径即为△48。外接圆的半径,

设球的半径为「，球的体积为

2r=—————=BD=叵BD

在A4AD中，根据正弦定理得，sinZBAD.兀，

1sm—

4

又因为ADe（2亚,4）,所以2r=一lf^=2=行8。e（4,4挺）,

\/sinABA{DsmA'）

327r64后兀

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题关键是通过两平面垂直关系以及三棱锥的底面为直角三角形判断出球心的位置,

判断球心在平面48。上，得出球心为外接圆的圆心，再求出BD的取值范围即可解决问题.

四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

15.已知数列｛4｝为等比数列，%,14,%成等差数列，且%=的％.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛"4｝的前〃项和

【答案】(1)4=3"T

、(2n-lV3n+l

(2)S---------

"4

【解析】

【分析】(1)根据%,14,%成等差数列，得％+%=28,再结合%=/%及等比数列的通项公式，可

求q,q,从而得到等比数列的通项公式.

(2)利用“错位相减求和法”求数列的前〃项和.

【小问1详解】

由题意可知％+%=28,即%+%/=28,

又.ci^q—qg,a、q,即%—%,・•q=1或％=0(舍)，

:•q=3,

nx

61n=axq=3，T.

【小问2详解】

,!-1

令bn=nan=n-3,

S=b

ni+b2+---+bn,

即=l+2•31+…+(〃—l)•3"-2+〃.3"T①

3S"=3+2•32+…+5—l)•3"T+〃.3"②

①-②得:

1—4"—1

/.-25=1+3+32+…+3"T-〃3'=3=

n1-32

・•.S-].3"+L(2〃-"+L

nU4J44

16.如图，在棱长为1的正四面体/—BCD中，E是28的中点，F,G分别在棱/。和C£＞上(不含端

点)，且EG//平面48c.

(1)证明：/C//平面E尸G；

(2)若/为4D中点，求平面EFG截该正四面体所得截面的面积;

7T

(3)当直线EG与平面BCD所成角为一时，求。G.

6

【答案】(1)证明见解析

26

【解析】

【分析】(1)线面平行的判定定理和性质定理证明即可；

(2)取5c中点〃，则平面EEG笈即为平面EFG截正四面体4-BCD的截面，求解即可.

(3)方法一：取。。中点连接的，过点£作皿/的垂线，垂足为N,连接NG,由线面角的定义

可知NEGN即为直线EG与平面BCD所成角，求解即可；方法二：如图，取CD中点”，连接以

M为坐标原点，MD,M2所在直线分别为x,歹轴，由向量法求解即可.

【小问1详解】

证明：因为EG//平面歹Gu平面/CD,

平面ACDA平面ABC=AC,

所以FG〃/C,又bGu面E户G,/CU面E尸G,

所以/C//平面E尸G；

【小问2详解】

因为E,F,G为AB,AD,CD中点，取5C中点X,

则平面EFGH即为平面EFG截正四面体A-BCD的截面,

且EFGH为边长是。的正方形,

所以S截面=；；

【小问3详解】

方法一：取CD中点连接过点E作即/的垂线，垂足为N,连接NG

易知，应V，平面BCD,

所以NEGN即为直线EG与平面BCD所成角,

又EN=旦,tan/£GN=空,

6NG

所以NG=2，MN=—,

23

所以西=逅，即。G=」土尬

626

方法二：如图，取3中点“，连接以M为坐标原点，MD,“3所在直线分别为x,了轴，过点"

且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，

^fo,—设丽=2反=(—4,0,0),

I36J

所以前=疵+*=]—2+:,0,0),即G1—X+g,0,0),

所以西=,

1236J

又平面BCD的法向量为n=(0,0,1),

所以sin6=kosEG,"=〔I__.,,=,——-——1

11K-H广7「5'

解得彳=」±逅，即DG=，土逅.

2626

Az八

17.已知函数/(x)=eX-ax-b.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x"0,求力)的最大值.

【答案】(1)答案见解析

⑵-

2

【解析】

【分析】(1)求导，分aKO和a>0两种情况，利用导数判断J=/(%)的单调性；

22

(2)根据题意结合(1)中的单调性可得仍Va-alna,a>0,令g(x)=/一f1nx(尤>。),利用导

数判断其单调性和最值.

【小问1详解】

由题意可知：/'(x)=e，—a,

①当a<0时，^(x)>0^可知>=/(x)在R上单调递增；

②当a>0时，令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知〉=/(力在(-001114)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增；

综上所述：当a<0时，>=/(x)在R上单调递增；

当a>0时，>=/(月在(—8,1114)上单调递减，在(Ina,+。)上单调递增.

【小问2详解】

因为/(x)>0,由(1)可得：

①当a〈0时，可知歹=/(x)在R上单调递增，

且x趋近于时，/(x)趋近于-8,与题意不符；

②当a>0时，可知y=/(x)在(—e,lna)上单调递减，在(ina,+8)上单调递增，

则/(x)之/(lna)=a-alna-6»0,可得6〈a-alna,

且a>0,则ab</in。，

令g(x)=x?-x2lnx(x>0),则g'(x)=x(l-21nx),

令，(x)>0,解得0<x〈血；令g'(x)<0，解得x>血；

可知〉=g(x)在(0,韭)上单调递增，在(八,+句上单调递减，

WJg(x)<g(Vej=|,

所以当口=八，b='时，ab的最大值为

18.某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲方有2张互

不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张为“幸运数字牌”.游戏规

则为：

①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；

②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；

③最后剩一张牌(幸运数字牌)时，持有幸运数字牌的那方获胜.

假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.奖励规则为：若甲方胜可获得200积分，乙方胜可获得100

积分.

(1)已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记X为甲乙两方抽牌次数之和.

(i)求P(X=2)；

(ii)求P(X=2左),左eN*；

(2)为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.

【答案】(1)(i)；；(ii)2x［，］，左eN*

(2)乙方，理由见解析

【解析】

【分析】(1)(i)分析得到甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，从而乙方会剩下“幸运数字牌”，求出概

率；

(ii)前2k-2次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为工，得到概率；

3

3

(2)方法一：记乙方获胜为事件/,利用等比数列求和公式和极限得到P(/)=z，求出乙方获得积分的

期望g=75,求出甲方获胜的概率和积分的期望4=50,根据耳〉当选择乙方进行游戏.

方法二：设乙方获胜为事件/,由题意得到尸(2)=§+3(1—尸(2)),求出尸(2)=4,求出乙方获得积

分的期望g=75,求出甲方获胜的概率和积分的期望62=50,根据用＞当选择乙方进行游戏.

【小问1详解】

(i)甲乙两方抽牌次数之和为2,则甲方抽到的乙方的牌为与自己相同的牌，

从而乙方会剩下“幸运数字牌”，即乙获胜，

P(X=2)=g；

(ii)前2k-2次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为,，

3

甲方在第(2左-1)次抽到的不是对方手中的幸运数字牌，从而乙方最后获胜，

(1Y"222

所以P(X=2左)七x-=-x

【小问2详解】

方法一：记乙方获胜为事件/,

…+831(

则尸(Z)=Z(X=2左”1—乙=lim-x1--=-

k=\1_±k->+（x）41914

乙方获得积分的期望为旦=100P(/)=75,

甲方获得积分的期望为E2=200P（彳）=50,

因为EI〉E2,所以我会选择乙方进行游戏.

方法二：记乙方获胜为事件/,则乙方获胜的概率为P（Z）,

事件/可分为甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌和是幸运数字牌两种情况，

其中若甲第一次抽中的牌不是幸运数字牌，则乙会获胜，概率为：，

若甲第一次抽中的牌是幸运数字牌，此时甲乙手中的牌相当于进行了互换，

则此时甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，则甲不获胜的概率即为1-?（4）,

则尸（2）=]+]（1_尸（么）），解得尸（Z）=w，

乙方获得积分的期望为£]=100P（/）=75,

则甲方获胜的概率为尸（1）=1—P（N）=；,

甲方获得积分的期望为E2=200P（2）=50,

因为