2024唐山二模数学试卷与参考答案

2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号。解答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合A/={x|2*21},集合N={X|N<4},则A/UN=

A.[0,2)B.(一8,2)

C.[0,+8)D.(-2,+8)

2.某地区5000名学生的数学成绩X(单位：分)服从正态分布X〜N(90,o2),且成绩在

[90,100]的学生人数约为1800,则估计成绩在100分以上的学生人数约为

A.200B.700

C.1400D.2500

3.若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共桃双

曲线.已知双曲线E的标准方程为/一号=1,则£的共胡双曲线的离心率为

A.当B.也

C.有D.2

4.函数/(x)=sin(2x—pXlslW分在(0,手上为单调递增函数，则夕的取值范围为

AB-

-[-P冶]-[6'°1

C.除,y]D,[0,

5.已知长方体的一条棱长为2,体积为16,则其外接球表面积的最小值为

A.5兀B.12K

C.20TID.80兀

高三数学试卷(唐山二模)第1页(共4页)

6.已知数列｛端满足斯+1=4"+°1+2〃，aio=13O,则ai=

A.1B.2

C.3D.4

7.已知加为平面a外的一条直线，则下列命题中正确的是

A.存在直线〃，使得及〃_LaB.存在直线〃，使得〃_1_加，n//a

C.存在直线〃，使得〃〃加，n//aD.存在直线〃，使得“〃机，〃J_a

8.已知圆C：/+。—3)2=4,过点(0,4)的直线/与x轴交于点P,与圆。交于Z,B

两点，则于•(琳+E百)的取值范围是

A.[0,1]B.[0,1)

C.[0,2]D.[0,2)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y(颗)之间的关系，

某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如右图所示，,P.•

并进行线性回归分析，若去掉点尸后，下列说法正确的是

A.相关系数,•变小.；•

B.经验回归方程斜率变小一i------------->

Ox

C.残差平方和变小

D.决定系数解变小

10.设抛物线C：y2=4x的焦点为F,准线为/,过点(4,0)的直线与C交于A(x\,y),

8(X2,及)两点，则下列说法正确的是

A.%1%2=16

B.以48为直径的圆与/相切

C.以48为直径的圆过坐标原点

D.ZUBQ为直角三角形

11.设函数义x)=e'+(—l)"(sinx-co&x),则下列结论正确的是

A.〃为奇数时，/(X)在(0,+8)单调递增

B.n为奇数时，./(x)在(一2兀，0)有一个极值点

C.〃为偶数时•，寅x)在(一兀，0)单调递增

D."为偶数时，y=/(x)—2x的最小值为0

高三数学试卷(唐山二模)第2页(共4页)

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知i为虚数单位，复数z满足（l-3i）・z=|3+4i|,则复数z的虚部为.

13.公式（。+6）2=。2+按+2q6,其等号右侧展开式共有3类非同类项，（a+b+c）2=a2+

b2+c2+2ab+2bc+2ca的展开式共有6类非同类项；那么（a+b+c+翁的展开式共

2

有类非同类项，（m+“2-1-----\-an）的展开式共有类非同类项.

14.锐角△45。中，C=2B,BC边上的高为4,则△ZBC面积的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

15.（13分）

如图，在三棱台Z8C—aSG中，48J_平面B山CG,AB=3,BB\=B\Cx=CC\=

2,2c=4.

（1）求证：AA\YB\C,

（2）求平面S8CG与平面小/CG夹角的余弦值.

16.（15分）

某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，

每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为余摸到2分

球的概率为上.

（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X,求随机变量X的分布列与期望；

（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得

分多者获得奖励.已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率.

高三数学试卷（唐山二模）第3页（共4页）

17.(15分)

(1)证明：sin3x=3sinx_4sin3x；

(2)若sinlO°e(，；),〃eN*,利用(1)结合自己所学知识，求〃.

\〃+1n>

18.(17分)

已知椭圆。的右焦点为尸(1,0),其四个顶点的连线围成的四边形面积为4仍；菱

形Z8OE内接于椭圆C.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)(i)坐标原点。在边Z8上的投影为点P,求点尸的轨迹方程；

(ii)求菱形Z8DE面积的取值范围.

19.(17分)

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)

自然数范围内成立.证明分为下面两个步骤：1.证明当〃=〃O(〃oGN)时命题成立；2.

假设〃=左&GN,且左2〃o)时命题成立，推导出在〃=k+1时命题也成立.

用模取余运算：amodb=c表示"整数。除以整数b,所得余数为整数c”.用带余

除法可表示为：被除数=除数X商+余数，即以=bXic,整数厂是商.如7=3X2+

1,则7mod3=l；再如3=7X0+3,则3mod7=3.当amodb=0时，则称b整除a.

现从序号分别为ao,a”6,6,…，斯的〃+1个人中选出一名幸运者，为了增加

趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m

(加22)时:此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序

号下标记为加).如/(I,加)=0表示当只有1个人时幸运者就是ao;/(6,2)=4

表示当有6个人而加=2时幸运者是44；/(6,3)=0表示当有6个人而团=3时幸运者是

。0・

(1)求10mod3；

(2)当〃21时，m)=(/(“，w)+/w)mod(w+1),求/(5,3)：

当〃2“时，解释上述递推关系式的实际意义；

(3)由(2)推测当2人£〃+1V2*+I(AGN)时:/(n+1,2)的结果，并用数学归

纳法证明.

高三数学试卷(唐山二模)第4页(共4页)

唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练

数学参考答案

—.选择题：1〜4.DBAC5〜8.CDBD

二.多选题：9.BC10.AC11.ABD

三.填空题：12.y13.10,处”（前空2分，后空3分）14.（8,军）

四.解答题：（若有其他解法，请参照给分）

15.解：

（I）因为，平面BiBCG,8Cu平面81BCG，所以〃8_1_囱。，…1分

作交8c于点。，

在等腰梯形B8CG中，88i=8Ci=CG=2,BC=4,所以8。=1,…2分

在RtZXBOBi中,cosZB\BD=—,所以/8山。=60°,

2

在△8CB中，由余弦定理得山2+80—23|岳8。3560°=12,…3分

所以813+8由2=8。，从而有B18_L8C，…4分

又ABCBiB=B,所以BiCJL平面3/481,•••5分

因为44iu平面4M溜1,所以/Ui_L8iC.…6分

（2）以8为原点，~BA.法分别为x轴、丁轴正向，建立空间直角坐标系如图所示,

则8(0,0,0),A(3,0,0),C(0,4,0),囱(0,1,\3),

0(0,3,®

GC=(0,1,一份)，就=(-3,4,0),…8分

因为48,平面818CG,

所以五7=(3,0,0)为面8山CG的一个法向量,…9分

设〃=(x,y,z)为面ZMCG的法向量，

则〃.母=〃.就=0,即归黑二，

取y=3,x=4,z=3,则"=(4,3,\5),…11分

—».|BA•川122s

依题意，cos（BA,”〉==----『=—」，

\BAM3X2S7

所以平面BWCCi与平面4/CG夹角的余弦值为应.

13分

7

16.解：

（1）由题意知学生甲摸球2次总得分X的取值为2,3,4…］分

P(X=2)=|x|=*,P(X=3)=ax|xg=t，P(^=4)=|X1=K…4分

所以X的分布列为:

X234

441

P

999

高三数学参考答案第1页（共4页）

所以£¥=2X2+3X&+4XL=&.…6分

9993

(2)记4="甲最终得分为〃?分"，m=8,9,10；B="乙获得奖励”.

714

P(4))=a><jx；=2，…8分

?(念)=嘴)24…10分

当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则

0(即9)=哨5=步…12分

当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则

p(SMs)=a(1)5+c|x|x(1)4=11X(1)5；…14分

故P(8)=P(小3)+P(48)=P(小)XP(8饱)+尸(念)XP(8］儿)

=-x(-)5+-xnx(-)5=—.

9W9*3736729

即乙获得奖励的概率为普.…15分

729

17.解：

(1)sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx…2分

=2sinxcosx,cosx+(1-2sin2x)siiix・・,4分

=2sinx(l-sin2x)+sinx-2sin3x

=3sinx-4sin3x…6分

(2)由(1)可知，sin30°=3sin100-4sin310°=—,…8分

2

即sinlO。是方程4x3—3x+—=0的一个实根.…10分

2

令/(x)=4x-3x+f小)=12,1=3(2叶1)37),…11分

显然0Vsinl0o<sin30o=£,当0Vx<1■时，/,(x)<0,

所以/(x)=4x3—3x+^■在(0,一，上单调递减，…12分

又〃看)=4Xe)3>°，//)=4乂(1)3-3乂|+[=一熬V0,…14分

所以sinl(re(；,T，即"=5.…15分

18.解：

(1)根据题意设椭圆C的标准方程为三+5=1,c=1,…1分

aLbz

由已知得，ab—2\l3,a2-b2—1,…3分

解得a=2,b=^3,

所以椭圆。的标准方程为：-+^=1.…5分

43

高三数学参考答案第2页(共4页)

（2）依题意设直线4B方程为歹=丘+〃2,

[y=Ax+m,

由=1,得(3+4/)/+8碗/+4川2—12=0,…6分

由题意△=64公加2一4(3+4%2)(4m2—12)=48(4/—62+3)>0,

8km4m2—12

则X\+X2-------1，X\X2=----------…7分

3+4F3+4/

劣勿心—10

所以yU2=(Axi+tn)(te+m)=---------.…8分

3+4F

(i)•.•四边形/BOE为菱形，.•.0〃J_08,

.77*777^.।4w2—123m2—12^2

..OA-OB=0n,..xiX2+vij2=------------1--------------=0,…9分

3+4&23+很2

...7加2=12（尸+1）,即加2=12（；+1）

10分

|机|12

,/OP为点。到直线AB的距离，OP=d=11分

所以P点的轨迹方程为：炉+产苗,•,12分

2（1+标）（4后一加。+3）

(ii)因为=\/(1+^)[(%]+X2)-4XIX2]=X

(4女2+3)2

12/(F+1)(161+9)

：./\AOB的面积S=；X|/8|Xd=14分

7(4/+3)2

令f=3+4F,则1=3,k2=—,

4

4/2+/—36

：.S=y—邛+4=…15分

4於7

12

»3,.•.当t=6时，S皿=电,当，=3时，Smi,ax—

t37

所以建wswg.•••16分

7

由对称性可知菱形ABDE面积等于△力。8面积的4倍,

所以菱形/瓦切面积的取值范围为与，近].

4•••17分

高三数学参考答案第3页（共4页）

19.解:

(1)因为10=3X3+1,所以10mod3=l.,•,2分

(2)因为/(6,3)=(/'(5,3)+3)mod6=0,且八5,3)<5,

所以/(5,3)+3=6,故/'(5,3)=3.…4分

当〃汴寸，递推关系式的实际意义：

当从〃+1个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为/(〃+1,m),

而从〃个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为/(〃，m).…6分

如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然

还要重新排序，由于退出来的是胡_”则原环的斜就成了新环的加，也就是说原环

的序号下标要比新环的大〃?，原环的呢就成了新环的斯需要注意，新环序号

后面一直到0—”如果下标加上加，就会超过".如新环序号01"+1对应的是原环

中的的，…，新环序号呢」对应的是原环中的即.2.也就是说，得用新环的序号下

标加上加再减去(〃+1),才能在原环中找到对应的序号，这就需要用模取余，即

m)=(/'(«,m)+加)mod(〃+1).…8分

(3)由题设可知/(I,2)=0,亩(2)知

/.(2,2)=(/。,2)+2)mod2=2mod2=0；

八3,2)=«(2,2)+2)mod3=2mod3=2；