高三数学二轮复习：数列奇偶数列讲义

知识点一奇偶数列

【基础知识框架】

1.等差或等比奇偶项问题

(1)若已知数列为为等差数列，公差为d,前2〃项中：

❶奇数项构成以为首项，为公差，总共项的等差数列；

❷偶数项构成以为首项，为公差，总共项的等差数列.

(2)若已知数列4为等比数列,公比为4,前2〃项中：

❶奇数项构成以为首项，为公比，总共项的等比数列；

❷偶数项构成以为首项，为公比，总共项的等比数列.

2.数列中连续两项和或积的问题(%+。〃+1=/(")或％，。"+1=/(〃))

⑴若a“+%+i=/(〃)，则6+%=/■⑴、4+%=/(2)、%+为=/(3)…4+%=/(〃)

累加可得/⑴+/(2)+/(3)+…+/(〃)=2邑-％-%；

(2)若用=/(〃)，则％+/4+2=/(〃+1)，所以吐=当?，进而转化为累乘法.

an/I叼

3.含有(-1)”类型

(1)若%=(-1)"也，6”为等比数列，可转化为知识点1

(2)若为=(-1)"也,，bn为等差数列，可转化为知识点1或错位相减法

4,含有｛啰〃｝、｛%-｝类型

【例题分析】

题型一：等差或等比奇偶项问题

例L已知等差数列｛%｝共有2"-1项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（）

.n-1口n+1「nn〃+1

nnn-1n-1

例2.已知等差数列｛%｝中，前加项（仅为偶数）和为126,其中偶数项之和为69,且%-%=20,则数列｛%｝公

差为（）

A.-4B.4C.6D.-6

题型二：数列中连续两项和或积的问题（4+%+]=/（〃）或%,a“+i=/（〃））

例3.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积

数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列｛%｝是等积数列，且为=3,前7项的和为14,则下列结论正确的是（

）

2、

A.an+2=anB.a2=-C.公积为1D.anan+lan+2=6

例4.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和

数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列｛%,｝是等和数列，且q=2,公和为5,那么&的值为.

题型三：含有（-1）”类型

例5.已知｛%｝的前〃项和为$“=1-5+9-13+17-21+…+（-iyi（4〃-3）,则用的值是（）

A.-32B.33C.97D.-97

例6.数列｝满足〃〃+1+(—1)〃%=2〃—1,则｛%｝的前60项和为()

A.3690B.3660C.1845D.1830

题型四：含有｛2〃｝、｛%i｝类型

例7.设数列｛〃”｝的首项4=%=1，且满足。2〃+1=3。2〃一1与。2〃+2-。2〃+1=。2〃，则数列｛〃〃｝的前12项的和为()

A.364B.728C.907D.1635

n

例8.已知数列｛4｝满足：％=1,当几EN*时，出〃=%〃一1+(一2尸，a2n+i=a2n+4

(1)求〃2，%数列｛。〃｝的通项公式；

111Q

(2)记。=%〃+2一。2〃，求证77+7-+…+不＜£,

4b2bn5

【变式训练】

1.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为341,偶数项之和为682,则这个数列的项数为（）

A.4B.6C.8D.10

2.若S奇是等差数列的奇数项的和，与是等差数列的偶数项的和，是等差数列的前〃项的和，则有如下性质:

（1）当〃为偶数时，则1丙可—2—（其中d为公差）；

（2）当〃为奇数时，则S奇-“=$偶=（其

中。中是等差数列的中间一项）.

3.按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常

数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列｛4｝是等和数列，且为=2,公和为5,

那么他的值为.

4,定义“等和数列”：在一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列,

这个常数叫做该数列的公和.已知数列出,｝是等和数，且q=2,公和为5,则数列｛4｝的前〃项和S,,=—.

5.数列｛%｝满足a“+i+a“=(-l)"(2"-l),则｛%｝的前60项和为()

A.-1710B.-1740C.-1770D.-1800

6.若S“=1-2+3-4+…+(-1广7,贝|岳7+533+55()的值为.

7.已知数列｛%｝满足%若q=1,贝［|/=，前60项的和为.

8.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是,项数是—.

为奇数

9.已知数列｛4｝满足%=1,a

t%+3/为偶数.

(1)从下面两个条件中选一个，写出乙，b2,并求数列｛〃｝的通项公式;

①“=+3；②2=%“+1-♦

(2)求数列｛%｝的前〃项和为S..

10.等差数列｛%｝中，共有零+1项.

(1)所有奇数项和为165,所有偶数项和为150,%=1,则中间项为15,项数为

(2)5„=377,其中奇数项和与偶数项和之比为7:6,则中间项为.

【真题训练】

1.(2019•全国)3+33+35+...+32B+1=()

3333

A-氏1--n

2(92(9C.8(9D.8(9

2.(2020•新课标I)数列也｝旃足a,+2+(T)"%=3"-i,前16项和为540,则％=

a+1,”为奇数，

3.(2021•新高考I)已知数列｛%｝满足%=1,%n

%+2,〃为偶数.

(1)记6“=°,",写出*b,,并求数列也｝的通项公式;

(2)求｛%｝的前20项和.

4.(2020•天津)已知｛%｝为等差数列，｛，｝为等比数列，Q=4=1,a5=5(a4-a3),b5=4(/>4-b3).

(I)求｛%｝和也,｝的通项公式；

(n)记｛%｝的前n项和为S",求证：SnSn+2<S，(〃eN*)；

包二生，"为奇数，

(III)对任意的正整数〃，设c"=a"a"+2求数列｛c“｝的前2〃项和.

也，”为偶数•

"+i

5.(2019•天津)设｛%｝是等差数列，｛也J是等比数列，公比大于0.已知%=4=3,b2=a｝,b3=4a2+3.

(I)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

、，1,“为奇数，、.

(II)设数列｛c,｝满足q为偶数.求％q+a2c2+…+%C2"(〃eN").

日期：时间：40min满分：65分

1.（2022•宝山区模拟）在数列｛%｝中，已知奇数项是公比为;的等比数列，偶数项是公比为;的等比数列，且q=3,

出=2,则下列各项正确的是（）

a,

A.%+%+…+a］。。>9B.lim3=0

an

C.至<10D.lima=0

n—>oon

当〃为奇数时）nn生T

2.（2022•德阳模拟）已知函数/（9=<_/（当〃为偶数时）且4=/⑸+f（n+1），则％+%+。3+…+400等于（）

A.0B.100C.-100D.10200

3.（2022•于都县二模）已知数列｛〃〃｝满足q=1,当〃为奇数时，an+x=an,当〃为偶数时，〃用=%+2〃，则〃..2

时,出"一1=（）

4W+1-44"+2.44〃—14n+1-l

------B.------

33­

4.⑵22•蚌埠三模）若数列也｝满足一,且％七[a“+心3〃为奇数襦则一）

A.7B.10C.19D.22

5.（2022•湖北二模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.用

。,表示解下〃（a9,”eN*）个圆环所需的最少移动次数.若q=l,且十？，”?蹩，则解下6个圆环所需

[2%,-1,"为偶数

的最少移动次数为

6.（2022•江西模拟）已知数列｛a,,｝的通项公式为%=产"一丫；始数，则其前10项和等于

为偶数

----/为奇数

n+2n

7.（2021•泗县校级模拟）数列｛%｝且为〜若5n为数列｛%｝的前n项和，则S2021=

Si"区，"为偶数

4

8.(2022•海宁市模拟