2024重庆高考适应性月考九数学试卷与详细解析

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写

清也

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把冬题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用株皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1.已知集合4=12,3,4,6,8|,集合8=[1,3,4,5,9),集合M={#|%eN,1W%W10],

则C“(4U5)=

A.17,10|B.|3,4(C.|1,2,5,6|D.)8,91

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3,5）,则乡对应的点的坐标是

।

A.(5,3)B.(-5,3)C.(5,-3)D.(-5,-3)

3.下列函数的图象与直线y=x相切于点(0,0)的是

A.y-xB.y=sinxC.y=eD.y=ln(x+2)

4.已知角a的终边经过点1,2sina),则sina的值不可能是

AR°A

AA.—D.0Cr.——

22

5.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，筒称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.

运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的

路程都增加3km,在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序・则从点火到进入转弯程

序大约需要的时间是（）秒.

A.10B.11C.12D.13

6.我国南宋著名数学家秦九韶（约12027261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积

的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中・具体的求法是：“以

斜骞并大斜塞减中斜辖，余半之，自乘于上.以小斜骞乘大斜帑减上，余四约之，为实一为从隅，

ATT2+2r22

开平方得积如果把以上这段文字写成公式，就是S=J彳卜＞2_,）J.现将一根长为

20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm,则该三角形面积的最大值

为（）cm2.

A.6/10B,4/10C.66D.475

数学•第I页（共4页）口

7.0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字.若数列I。J满足：所有项均是。或1，当且

仅当〃=5A±1（其中人为正整数）时，”“=】，其余项为0.则满足产。产。2+…+Q〃=20的最小的

isI

正整数“=

A.50B.51

C.52D.53

2^5

8.已知动点M在抛物线£：/=2肥（">0）上，点N0）,。为坐标原点，若cos乙OMN=y,

且直线2*+y+l=0与△M/V。的外接网相切，贝ijp=

A.B.怖•或?

445

445

C.£*或aD.2或彳

二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.在跳水比赛中，裁判给分计算运动员成绩规则如下：有7位裁判，对某选手一次跳水的给分均不相

同，去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是

A.剩下5位裁判给分的平均值一定变大

B.剩下5位裁判给分的极差一定变小

C.剩下5位裁判给分的中位数一定变大

D.剩下5位裁判给分的方差一定变小

I

10.已知实数码y，z满足：2=rL=log2z,则下列不等式中可能成立的是

vy

A.y<x<zB.x<y<z

C.y<z<xD.x<z<y

11.柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体.它们的特点是每个面都是

相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同,正八面体就是柏拉图实体的一种.如图1

是一个棱长为2的正八面体A6CDEF.甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个

面的中心点，构成三角形.甲、乙选择互不账响，下列说法正确的是

A.该正八面体的外接球的体积为号

B.平面ABE截该正八面体的外接球所得截面的面积为与"V/C

C.甲能构成正三角形的概率为亮

3F

D.甲与乙均能构成正三角形的概率为刍图।

口口数学•第2页（共4页）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分,共】5分）

12.已知函数/（x）=1%式9'+小）-x的图象关于y轴对称，贝IJm=.

13.使用二项式定理，可以解决很多数学问题.已知1.820可以写成：（1+O.8）20,将它展开式的第R+1

项令为/U）=C：°x0.8*,keN.O=W2O,则/（A）取最大值时，k=.

如图2,四边形43C0由△/1■和△4C。拼接而成，其中乙4以=

90°,Z.ADC>90°,若AC与BD相交于点E,^ACD=30°,AD=

2,AC=2昭,且lan乙以。=竽，则△COE的面积S=________.

四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤）

15.（本小题满分13分）

已知数列laj的首项4=】，设勾=2。"，且也I的前〃项和S.满足：3sll=b“.「2.

（1）求数列的通项公式4;

]]14

（2）令7"=。|+4+…+。3“-2,求证：zr+^-+--+^-<—•

1I121n3

16.（本小题满分15分）

如图3,有一个正方形为底面的正四棱锥P-/18Ca各条边长都是1；另有一个正三角形为底面的

正三棱锥Q-EFG、各条边长也都是I.

（1）在四棱锥0-/13C。中，求4C与平面P5cPQ

所成角的正弦值，并求二面角4-M-C的平面/l\

角的正弦值；//\\//\

（2）现把它俩其中的两个三角形表面用胶水黏

合起来，如黏合面。8c和面Q£R试问：由此

而得的组合体有几个面？请说明理由.

17.（本小题满分15分）

已知。为坐标原点，定点尸（-及，0）,Q（4,（；,,动点7满足直线7P和7Q斜率乘积等于

（1）求动点7的轨迹£的方程；

（2）若不垂直于才轴的直线/与£交于4,C两点，若以。4,OC为邻边作平行四边形0/18C,点

8恰好在E上.问平行四边形016c的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明

理由.

数学•第3页（共4页）

18.(本小题满分17分)

某项团体比赛分为两轮：第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛.若挑战成功，参加第二

轮攻擂赛与上任摇主争夺比赛胜利.现有甲队参加比赛，队中共3名事先排好顺序的队员参加

挑战.

(1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功,则该队员继续闯第二关，

否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力

闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所

有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束.已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率

分别为年，y,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.用X表示甲队闯关活

动结束时上场闯关的成员人数，求X的期望；

(2)甲队已经顺利进入第二轮，现和插主乙队1-3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员

比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利.

已知，甲队三名队员4，42,2每场比赛的胜率分别为：J,y,P，若要求甲队获胜的概率大

12

于万，问P=3-是否满足？请说明理由.

19.(本小题满分17分)

阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰•伯努利(JohannBernoulli,1667~1748)的儿子

丹尼尔•伯努利提出来的，大意如下：一个人写了。封不同的信及相应的“个不同的信封，他把

这"封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉(Leonhard

Euler,1707-1783)给出了解答：记都装错“封信的情况为2种，可以用全排列〃！减去有装正

确的情况种数，结合容斥原理可得公式：Dn=n\,其中neNL

阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当/(4)在x=0处n阶可导,

则有：

/(#)=/(0)tT(0)/^性2+…4/当乙"+…，注/">(工)(“才3)表示/(工)的n阶导数，该公式也

称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：

(1)

求出，，D2,&的值；

(2)估算G的大小(保留小数点后2位)，并给出用e和八表示Q,的估计公式；

(3)求证:2tan—+4tan-^-+---+2/itan^-<2n+\,其中neN".

□口数学•第4页(共4页)

ZJ■■口口

数学参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

题号12345678

答案ACBDCABc

【解析】

1.由AUB={1，2,3,4,5,6,8.9),所以4(AUB)={7,10},故选A.

2.由z=3+5i,所以\=f=二，坂51=5-五,对应的坐标为(5,-3),故选C.

1।1

3.A.y=x\3=3一,在(0,0)的切线斜率为0,不符合；B.y=sinx,/=cosx,在(0,0)

的切线斜率为1,所以切线为y-o=i(x-o),成立；c.D.两个函数均不经过(0,0),不

符合，故选B.

4.由定义，sina=',2s'na,当sinez=0,合题意；当sinaxO,化简得sinZa=3,由

Vl+4sin2a4

于横坐标】>0,角在一、四象限，所以3ina=±理，故选D.

2

5.设出每一秒钟的路程为数列｛4｝,由题意可知｛(｝为等差数列，则数列首项％=2,公差

d=3,由求和公式有殳士迦=222,解得”=12,故选C.

2

6.令6=6,则n+c=14,S=a2c2-二"j=gJ4a2c'一[(c+a)，-2℃一的，,将

假设代入，则S=,J[(2ac)2_(l60_2ac)2]=,J160(4w_160),由基本不等式：

14=a+c32疝所以4acW196,可得SW6J16,当且仅当a=c=7时取等号，面积最大,

故选A.

7・由题意可知：q=叼=包=1，且“SA.I=。必.4=L44+2=牝*3==°，MGN>

即4当2=10时，为1=%=1，为2=%3=%5=°，由于

““♦1+%“2^a$M+牝“4=2,

20=1+2x9+1,所以满足力q=20的〃的最小值为51,故选B.

数学参考答案•笫I页(共8页)

8.由抛物线方程E：V=2px（p>0）,设圆心Cl,%）,半径为R,•乜=-与，在△MNO中,

4

£

ON2on

由正弦定理得嬴丽・“岛

T£2R4

.又•.•圆C与直线2x+y+1=o相切，圆心到直线的距离d=R.当

2'（-平+】

%=4时，则圆心到直线的距离d=_2-=j-=R=^p,解得p=4；当

25/F7F由45

2xf_K]_2+1|

%=/时,则圆心到直线的距离d----2|=匕1=R=也，解得p=:或

VF7F>/549

44

-4（舍），综上p=《或§,故选C.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案BDABDABD

【解析】

9.设7位裁判对每位选手给分分别为司〈电<…<x?,A.若7位裁判分别给分为1~7分，则

数学参考答案•第2页（共8页）

11.由棱长为2,可得正八面体上半部分的斜高为EG="二1r="，高为EO=0=T=五，

则正八面体的体积为V=2*ABXBC*E0=a、2X2X&=逑此正八面体的外接球的

333

球心为。，半径为和=应，所以外接球的体积为生皆，A正确；由于。到平面4BE的

距离等于。到平面BCE的距离，在RtAOEG中，过。作EG的垂线，垂足为H,则OHJL

平而BCE.由。G=l,得OH=EO.OG=旦,平面ABE截正八面体的外接球所得截面

EG3

是圆，其半径”也。2-。于=^71=苧,所以所得截面的面积为兀/=与，B正确；

甲随机选择的情况有C：=20种，乙随机选择的情况有以=56种，甲选择的三个点构成正

三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有

02

C；C；=8种，甲构成正三角形的概率为而=1，故C错误：乙构成正三角形，只有一种

情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四

个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有2x4=8种，概率为

Q17

白=5:甲能构成正三角形的概率为5,所以甲与乙均能构成正三角形的概率为

5675

212

yx-y=—,故D选项正确，故选ABD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

题号121314

答案192

4

【解析】

12.因为/3)=氏3(3/+加・3-*),且f(-x)=/(x),即3-*+%・3*=3'+mJ*,有

w(3J-3-")=3t-3-,»所以，”=1.

13.设g(k)=C3人(幻=0.8,，AeN,因为当OWkWIO时，g(A)单调递增；当4>10时，g/)

单调递减,所以当A=10时，g(幻有最大值.又因为A(2)是减函数,所以只需考虑0

时，f(Z)的大小情况即可.当0W4W10时，比较与f(A-l)的大小.因为

数学参考答案•第3页(共8页)

201201

/(Jt)=C*x0.8l=———xO.8*,/(A-l)=Ci；,xO.8t-1=-----------------xO®。所以

八'208(20-6！八'20(2-1)!(21-。

令-工⑻,、>1,得三吆xO.8>l,解得幺因此，当A=9时，f⑹取最大值.

f（k-1）k9

14.在&CD中，由正弦定理得：40二4c二加/3-动弓=逐'由于

sin/ACDsinZADC22

ZADC>90°,所以ZADC=1200・则有：ZDAC=30°,DC=2,tanZBAC=

3-6

tanZBAD-tan3005一7W

tan(ZBAD-ZDAC)=V4C1BC,ABC=

1+tanZBAD•tan30°.3月百6

1+—^x—

53

AC•tan^BAC=1，由+SA£Cfi=S^DCB=g•CD•CE•sin30°+^CE•BC=

BC•sinl20。，可得CE=—,AS^=1cD•CE•sin30。=£.

"D.CDE

2224

四、解答题(共77分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

⑴解:当心2,3sLa-2,3s“T也-2,

两式相减得：3bn=b*[-b«,所以=44.

当"=1,q=l,4=2,且35=4-2,可得与=8,也满足，

由b“wO,则包｝为等比数列，-=2x41=221,

所以％=2”-I.................................................................................................................(7分)

(2)证明:7；=n(3n-2),当〃=1时,

当"》2时'===

1_L="_L±成立.

3〃一33n33n3

....................................................................................................................................（13分）

16.（本小题满分15分）

解：（I）如图2,设ACnBD=。，由正四棱锥的性质，POJ•平面4BCO,BD1AC,

以。为原点，04为x轴，。8为y轴，0P为z轴建立空间直角坐标系.

数学参考答案•第4页（共8页）

904

由于各边长均为1,所以A~~^"o,o],B(O.当，0,0,P0,0,

2

卜孝,。,-雪，丽

可得：5=(£o,0),PC=PB

设〃=（x,y,z）为平面PBC的一个法向量,

【丽=Ey一迫Z=0,

22

则有：rr令z=l，

3万=-贝X-迎1o,

22

则〃=（-1,1,1）.

设4c与平面P8C所成角为a,

CA-n

所以sina=|cos(CAn)|===3.

|Ci|-|n|-一3'

（7分）

同理，可得平面PBA的一个法向量获=（1,1,I）,设二面角A-尸8-C的平面角为力，

mn

所以|cos01=1cos(m,n)|=」,•-g»贝i]sinB,

|m|*|n|

所以AC与平面尸8c所成角的正弦值为手；二面角4-P8-C的平面角的正弦值为

20

（10分）

亍

（2）得到5个面.一个正四棱锥，每个侧面都是单位正三角形；一个正四面体，每个面

也都是单位正三角形.把两个几何体通过一个全等的正三角形面粘接起来.因为有四个

面两两融合，变成了两个面.原因是这里有两对两个二面角恰好互补，下而计算验证.分

别计算二面角A-PB-C和二面角E-QF-G的平面角大小.

（H分）

由⑴求得二面角4-PB-C平面角cos^=-；,

（12分）

取QF的中点S,可得NES。为所求的平面角,

二面角£：一。尸一6的平面角cos7=

噌13

数学参考答案•第5页（共8页）

■■□■■口口

所以1+7=兀，这样平面AP8与平面0FG融合成了一个平面，

同理：平面DPC与平面0EG融合成了一个平面，

所以组合体有5个面.....................................................（15分）

17.（本小题满分15分）

解:（1）直接法：设点P（x,y）,由题意,|二yy

2x+y[2x-yjl

化简得：—+y2=l(y*O).（4分）

2

(2)如图3,由于直线/的斜率存在，设/：y=kx+m(m*0)>A(xt,y),C(x2>y2).

将直线[代入]+y2=l(yw0),

可得：Q+2A2)3+4Amx+2m2-2=0,

则要△=16/w?-4(1+2/)(2,，-2)=8(2/一加2+1)>0,

-4km2m2-2

韦达定理得:

由于赤=（*％）,1=（々，y2）,若四边形OABC为平行四边形,

贝(1有OB=OA+OC=(玉+5，y+y2)=

(-Ahn备）在椭圆上,代入椭圆方程'

即点B11+2公

化简可得：4疗=1+21,满足：△=8(2/-病+1)=24>>0,

-4km-k

则%+X]=，=—

4疗in

弦长।A。i=ma网=标尼J_4票邛宵

点。到直线/：7=丘+,”的距离♦=空!=,

故平行四边形aBC的面积5=2*1|=|4=叁旺与上：=,，

221nli71+F2

所以面积为定值更.....................................................（】5分）

2

数学参考答案•第6页（共8页）

18.（本小题满分17分）

解：（DX的所有可能取值为1,2,3.

I个人的情况为：1号胜胜，则概率为尸（X=l）=2x1=1,

323

2个人的情况为：1号负2号胜胜或1号胜负2号胜，概率为

…、、121211115

P（X=2）=-x—x""+x-x=-■+~~=1,

3323229618

1q7

3个人的概率aXuB"l-PlXuD-PlXMAlV-RMG，

31o1o

所以分布列为：

X123

57

P

31818

所以凤X）=1X；1+2X52+3X7/=397....................................（8分）

5lolo1c

（2）分三种情况:

第一,A一人全胜，该事件的概率设为6,则q

第二，A4两人参赛获胜，该事件的概率设为1，

则H提K衿均+©净眇基

第三，&aA三人参赛获胜，该事件的概率设为4，

（2丫1）3fl212111211丫2<012112f1Y'

则Bn=1-II_1/+1-X—X-+—X-X—+_x-x-+-X-X-X-+-X-p.

（3人2）U32322jUJ3UJ33223Uj