黑龙江省哈尔滨德强学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题（解析版）

2024-2025学年度九年级上学期开学学情检测数学试题（总分：120分总时间：120分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1.－6的绝对值是（）A.-6 B.6 C.- D.【答案】B【解析】【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6．故选：B．2.下列运算中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则运算法则逐一判断即可．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、与不是同类项，不能合并同类项，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】A、不是轴对称图形，故符合题意；B、是轴对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形”是解题的关键．4.反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解题．【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大，∴函数图象必在第四象限，∴，∴．故选：A．5.如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【详解】A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选D．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．6.如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了mm，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于()A.m·sinαm B.m·tanαm C.m·cosαm D.m【答案】B【解析】【详解】∵tanα=，∴AB=mtanα米.故选B.点睛：熟记三角函数公式.7.如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为12则△DEF的周长是（）A.5cm B.6cm C.5cm D.4cm【答案】B【解析】【分析】根据翻折变换以及E为AB的中点，得出ED∥BC，根据平行线分线段成比例，即可得DE为△ABC的中位线，最后根据△DEF的周长为△ABC周长的一半，即可得出△DEF的周长．【详解】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AE=EF，∠AED=∠FED，∵E是AB边的中点，∴AE=EB，∴BE=EF=AB，∴∠B=∠BFE=∠AEF=∠AED，∴EDBC，∵E为AB的中点，∴DE=BC，∴DF=AD=AC，∴△DEF的周长为△ABC周长的一半，

即△DEF的周长=×12=6，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换以及平行线分线段成比例，三角形中位线的运用，解题时注意掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等、对应角相等．8.如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A.12m B.10m C.8m D.7m【答案】A【解析】【分析】由BE∥CD得，利用对应边成比例求解即可．【详解】解：如图所示：∵BE∥CD，∴，∴，即，解得：CD=12．∴旗杆的高为12m．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题.9.如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题解析：作轴，轴，如图，∵点P为矩形AOBC对角线的交点，∴矩形OEPF的面积矩形AOBC的面积而∴过P点的反比例函数的解析式为故选C．10.如图：某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下列说法中错误的为（）A.学校离家的距离为2000米 B.修车时间为15分钟C.到达学校时共用时间20分钟 D.自行车发生故障时离家距离为1000米【答案】B【解析】【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断即可．【详解】解：A．学校离家的距离为2000米，正确；B．由图可知，修车时间为分钟，错误；C．到达学校时共用时间20分钟，正确；D．自行车发生故障时离家距离为1000米,正确；故选：B．【点睛】本题考查利用函数图象解决实际问题，正确理解函数图象的意义是解题的关键．二、填空题（每题3分，共30分）11.将830000用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n的值，再写成的形式即可．【详解】根据题意，得．故答案为：．12.在函数中，自变量的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】在函数中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.【详解】在函数中，分母不为0，则，即，故答案：.【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键.13.计算2的结果为____．【答案】．【解析】【分析】先将二次根式分母有理化、化为最简二次根式，再进行二次根式的加减法计算．【详解】原式=2×+2=3．故答案为：3．【点睛】本题考查二次根式的化简、二次根式分母有理化、二次根式加减混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可．【详解】．故答案为：．15.不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式，再取公共解集，即可作答．【详解】解：由解得由解得∴不等式组的解集是故答案为：16.分式方程＝的解为_____．【答案】【解析】【分析】方程两边都乘以x(x﹣1)，化成整式方程，然后再代入检验即可求解．【详解】解：方程两边都乘以x(x﹣1)得：2x＝3(x﹣1)，解得：x＝3，检验：∵当x＝3时，分母x(x﹣1)≠0，∴x＝3是原方程解，∴原方程的解为x＝3，故答案为：x＝3．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，最后要记得检验即可．17.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=________．【答案】3【解析】【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC=2，AD=1，∴，解得DB=3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查相似三角形性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．18.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°．【答案】60【解析】【详解】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°.故答案为：60考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质19.在中，，，，则为________．【答案】或【解析】【分析】此题分两种情况：如图1，过作于，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理求出的值，从而得出，，在中，根据勾股定理得出，于是得到结果；如图2，过作交的延长线于，同理可得结果．本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻，．【详解】解：如图1，过作于，在中，，设，，，，，，，在中，，；如图2，过作交的延长线于，在中，，设，，，，，，，∵∴∴，故答案：或20.在中，，，平分，交于点，交延长线于点，连接AD，若，则面积为________．【答案】10【解析】【分析】根据直角三角形的性质及全等三角形的判定可知，再利用全等三角形的性质及角平分线的定义可知BD是的中线，最后利用直角三角形的性质及三角形面积公式即可解答．【详解】解：如图，延长CD交的延长线与点，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，∵平分，，∴是等腰三角形，∴BD是的中线，∴，∴点是的中点，∴在中，，∵，∴，，∴，故答案为10．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、简答题（共60分）21.先化简，再求代数式的值，其中【答案】，1【解析】【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】∵∴原式22.下图是两张相同的每个正方形边长均为1的方格纸，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上；（1）在下图中画出以为一边的锐角等腰，点在在小正方形的顶点上，且的面积为10；（2）在下图中画出以为对角线的矩形，且矩形的面积为10，、点都必须在小正方形的顶点上，并直接写出矩形的周长为______．【答案】（1）见详解；（2）见详解，．【解析】【分析】（1）作AF=AB=5即可；（2）以为边构造矩形即可，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）△ABF即为所求；（2）矩形CGDH即为所求；，，∴矩形CGDH的周长=2（）=．故答案为：．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．23.为增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，对部分学生户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）求一共调查了多少名学生；（2）通过计算请补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校学生每天参与户外活动时间大于或等于1.5小时的有多少人？【答案】（1）50人（2）见详解（3）800人【解析】【分析】（1）根据活动时间是小时的人数是10人，所占的百分比是，据此即可求得总人数；（2）利用总人数减去其它组的人数即可求解；（3）先求出该校学生每天参与户外活动时间大于或等于1.5小时的百占比，然后乘以总人数2000即可求得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【小问1详解】解：调查的总人数是：（人）；【小问2详解】解：参加户外活动时间是1.5小时的人数是：（人）；【小问3详解】解：依题意，（人）．∴该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校学生每天参与户外活动时间大于或等于1.5小时的有800人．24.某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为，底端B的俯角为；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为，已知，求雕像的高度．（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】在、、中运用特殊角的三角函数求出、和即可求解．【详解】解：由题意可知，在中，，，，，在中，，，，在中，，，，．【点睛】本题考查了解直角三角形——仰俯角；解题的关键是选用正确的三角函数．25.如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E．（1）如图1，求m的值．（2）如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积．【答案】（1）8（2）8【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式以及线段的中点的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先求出C0，2（2）先由点C是线段的中点以及中点，坐标公式得出，代入，得出，然后求出一次函数，得出，最后的面积，即可作答．【小问1详解】解：∵过A作轴于点C，经过点C的直线∴当，即C0∴，把代入，∴，∴；【小问2详解】解：依题意，∵点C是线段的中点，且C0，2，点E在∴，即，∴把代入得∴，把代入，得，∴，∴，令，则，∴，∴，∵轴，∴的面积．26.在矩形中，，点E在边上，连接，于H，交于点F（1）如图1，若，求证：（2）在（1）的条件下，如图2，以为边作平行四边形，连接，若平行四边形的面积为5时，求的长（3）如图3，若，以为边作平行四边形，连接，，线段与交于点R，连接，当，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意可得，易证明，进而可得；（2）由平行四边形的性质得到，，则，根据，得到，则；（3）设，解得到，证明，得到，则，，；由平行四边形的性质得到R为的中点，则，在中，由勾股定理得，，则或，可得，则．【小问1详解】证明：∵，，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，由（1）可知，∴，∴；【小问3详解】解：由（2）可知，设，在中，，∴，同理可证明，又∵，∴，∴，∴，∴由矩形的性质可得，∴，∴；∵平行四边形的对角线交于R，∴R为的中点，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴或（舍去）