江苏省某中学2023-2024学年度高三阶段模拟考试数学试题+答案

数学I

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

注意事项

1.答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.

2.试题答案均写在答卷相应位置,答在其它地方无效.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案

直接填在答题卡相应位置上.

1.命题'VxN2,x2-4”的否定是▲.

2.设a,b是两个非零向量，则“W•方＜0”是“7号夹角为钝角”的▲条件.

（填”充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”）

3.某商场在今年元宵节的促销活动，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率

分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额

4.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为22,那么输入的“值等于▲.

5.已知*=-1+i,其中i为虚数单位，那么实数。=▲.

6.已知向量〃与向量b的夹角为60。，1〃1=历1=1,则1〃一bl=▲.

7.在直三校柱ABC—内有一个体积为V的球，若AB=6,BC=8,A4=5,

则V的最大值▲.

高三数学（第I卷）第1页（共4页）

8.等差数列｛%｝满足:气+%+”=9,则4+%+%=d」•

9.若双曲线上存在四个点A、B、C、。，使得四边形ABC。是正方形，则该双曲线的离心

率的取值范围▲.

10.已知函数/)=f+ax+2(a©R),若关于x的不等式/)+4)20对任意x>0都成立,

则a的取值范围为▲.

11.已知函数/(x)=4xlnx—x?+3,g(x)=x2+2ax-4,若对任意的外2(0,2],总存

在4G[1,2],使得/(%)+4/8(彳2)20成立，则实数。的取值范围是▲.

12.如图，在平行四边形ABC。中，E,尸分别为BC,CD

的中点，且彳力•赤=4,AF-BF=~\,则就•黄)7

▲、

13.平面直角坐标系xOy中，圆O:d+y2=J”>0)与直线长----------V

A(第12题)B

y=x-4相交于两点A,8若圆。上存在点尸(可与点

A,B重合)，使得B42+pg2=4,则厂的取值范围为▲.

14.若存在正整数机使得关于龙的方程〃5[1«+(1+»1〃)£:05苫=2+2加一〃在(0,%)上有两个不等

实根，则正整数”的最小值是▲.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必

要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

如图，在直三校柱A8C—4/£中，M,N分别为棱AC,Ag的中点，且43=8C

(1)求证：平面BMN_L平面ACC]A

(2)求证：MN〃平面Becr]

高三数学(第I卷)第2页(共4页)

16.(本小题满分14分)

3

已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知COSA=4，B=2A,b=3.

(1)求①

(2)已知点M在边BC上，且AAf平分求的面积.

17.(本小题满分15分)

一个拐角处为直角的走廊如图所示，走廊宽2皿，为了美化环境，现要在拐角位置布置

一处盆景.盆景所在区域为图中阴影部分，其中直角边0402分别位于走廊拐角的外

侧.为了不影响走廊中正常的人流走动.要求拐角最窄处C8不得小于而加

(1)若。4=。8=1w，试判断是否符合设计要求；

(2)若。/=2。8,且拐角最处恰好为加7时，求盆景所在区域的面积；

(3)试判断对满足的任意位置的A,B,是否均符合设计要求？请说明理由.

18.(本小题满分15分)

已知圆A经过点尸(-5,0)和。点(3,0),且在y轴上截得的线段长度为

(1)求圆A的标准方程；

(2)过点2(1,0)作直线，与圆A交于点C、D,连接AC、AD,过点8作AC的平行线，

交于点E,求证：点E的轨迹是椭圆，并求出该椭圆方程；

(3)设直线/是点E的轨迹的任意一条切线，则x轴是否存在一对关于原点对称的点R

G,使得点RG道直线/的距离之积为定值.若存在，请求出这对点；若不存在，请

说明理由.

高三数学(第I卷)第3页(共4页)

19.(本小题满分16分)

4—(S一产)

首项为1的正项数列伍｝的前w项和为S，数列｛a2｝的前〃项和为T,且7=-4一

nnnnnj

其中尸为常数

(1)求尸的值；

(2)求证：数列｛%｝为等比数列；

(3)设｛；｝的前"项和A,证明:与一*点+?+…+白-.

Cl"ND21Z121乙

20.(本小题满分16分)

定义可导函数丫=以无)在X处的弹性函数为『⑴•六，其中/(X)为加0的导函数・在

J\^)

区间0上，若函数八X)的弹性函数值大于1,则称犬尤)在区间0上具有弹性，相应的区

间D也称作式x)的弹性区间.

(1)若r(x)=/—x+1,求厂(x)的弹性函数及弹性函数的零点；

(2)对于函数/(x)=(x—1)ex+lnx-tx(其中e为自然对数的底数)

(i)当U0时，求八防的弹性区间D；

(ii)若在⑴中的区间。上恒成立，求实数的取值范围.

高三数学(第I卷)第4页(共4页)

数学II

（全卷满分40分，考试时间30分钟）

注意事项

1.答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.

2.试题答案均写在答卷相应位置,答在其它地方无效.

21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡

指定厘域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4—2：矩阵与变换（本题满分10分）

已知矩阵A=”—1，其中阻相，"CR,若点R1,2）在矩降A的变换下得到的点

L32」

々（0,5）

（1）求实数m,n的值；

（2）求矩阵A的逆矩阵.

B.选修4一4：坐标系与参数方程（本题满分10分）

y=2t+1

在直角坐标系xoy中，已知直线I的参数方程是j（其中f为参数），若以。为极

点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同单位长度，建立板坐标系，曲线C的极

坐标方程为2=2理cos（sin9+g.求直线/被曲线C截得得弦长.

高三数学n（附加题）第1页（共2页）

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

共享单车的出现大大方便了人们的出行.已知某城市有A,B,C,D,E五种共享单车，某

人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同.

（1）求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；

（2）记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X,求X的分布列和数

学期望.

23.（本小题满分10分）

已知抛物线x?=2分（P>0）,点M是抛物线的准线与y轴的交点，过点A（0,的动

直线/交抛物线于2,C两点.

（1）求证：MB-MC^O,并求等号成立时的实数九的值；

⑵当九=2时，设分别以。2,OC（。为坐标原点）为直径的两圆相交于另一点。，求。。+D4

的最大值.

高三数学H（附加题）第2页（共2页）

(周练习八)

数学I参考答案及讲评

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共计70分.

1-10【答案】

1-5：3X<2,X2<4；必要不充分：20万元；8；2；

6-10：I；―--；9!+[—3,+8)

填空题讲评：

11.已知函数/(x)=4xlnx—3,g(x)=x2-h2ax-4,若对任意的46(0,2],总存在

x2e[l,2],使得/(壬)+4;t:逐。2)20成立，则实数。的取值范围是▲.

【答案】一；，+8)

解，/(xJ+4x向xJ20=+g(x)>0<=>>-g(x,)

4七24Kl

•••VX,e(0,2]3X2e[1.2]使得答>-g(x2)

.・德卜…儿

\1/min

令Mx)=©xe(O,2]

4x

A(x)=lnx+^-^-=ln.r+---土

4.v4.r4

,(\1314x-3-x'x*-4x+3(x-lX-v-3)仙箱”.1

nt(x)=-----r------；=------=---=----矢=n0.解卷ItlA€x.3

x4x244x24x24K2

/j(x)在(0,1]递减,(1,2]递增

./(x)mm=Ml)=g

而一2-x；-2ax2+4在x,e[1,2]有解，即2a2-x?+」一在x,w[1,2]有解.

2.-2X2

又•••J=-X+F在[1,2]递减.

2x4

/.2aN——,即aN——

48

高三数学参考答案(5-28)第1页(共14页)

12.如图，在平行四边形ABC。中，E,尸分别为BC,CD的中点,

-DE=4,AF-BF=-1,则成:•品=▲.

【答案】-5

tf.AF-AD+DF^AD+-DC^AD+-AB

22

DE-DC+CE~AB^-CB-AB--AD

22

.•.(而+g而)|亚而14

3--1-21

-ABAD+-AB--AD'=4①

422

AE—AB+BE-AB+—BC-AB+—AD

22

BE-BC+CF-AD+-CDAD--AB

22

AEBF^AB+1ADJD-j="l

.•.洒而-洛+；而，=-1②

①-②

AB2-AD2-5

而•丽=（方+画（而-画=而:_尔7

13.平面直角坐标系xOy中，圆。:一+/=/（厂＞0）与直线y=x—4相交于两点A,8若圆。上

存在点P(可与点A,B重合)，使得朋2+尸炉=%则厂的取值范围为▲

【答案】(2人,拒+方］

K:取58中点M

,.....*，*・，♦......*222

PA+PB=2PMPA+PB+IPAPB=4PM(*)

"■.■Ql|4——•2■2・.‘—.2

PA-PB=BAPA+PB-2PAPB=BA(♦•)

(*)+(”)得2(PA2+PB')=4PM2+BA'=>»=4PM2+4AM-=»2=PM2+AM:

：.2=PM2+r2-OM-

而OM是。到.48距离d=2=2—可得/■>2近

=IO-r:=>PA/=VlO-r2€(r-2V2,r+2>/2)

解得2万<rd石

的：20<rS&+6

高三数学参考答案（5-28）第2页（共14页）

14.若存在正整数m使得关于x的方程nsiiix+（1+mn）cosx=2+2m—n在（0,7）上有两个不等实

根，则正整数〃的最小值是上」.

【答案】3

解:nsinx+（1+inn）cosx=J，J+（1+ntn）2sin（.r+0）

—.I+mn

其中sin3:-7^-■

yjn2+(1+〃〃〃)y/n14-(l+mm)

0＜x＜，则夕＜刀+/＜万+伊

nsinx+(l+mn)cos.r=2+2〃〃i一〃在(()，zr)上有两个不等SdR,

2+2tnn-n

贝！jsin(x+>)=在（0.”）上有两个不等实根

（•）式对于〃nZ.恒成立

(**)可得3/ww<4〃-3

前成立

:3n<4〃-3n/1>3

二、解答题:本大题共6小题，共计90分.

15.（本小题满分14分）

证明:

;AB=BC,ILA/为力。中点

（1）••直三棱柱/6C-44G

・♦.BM1AC

・•.AA,±平面ABC

44n4C=4，AA^ACu平面AA^C

•・•SMu平面ABC

BM，平面AA.C.C

・•・441BM

・・,平而BMN1f[fnACC^

高三数学参考答案（5-28）第3页（共14页）

（2）取4G中点〃.连接c〃.N〃M为4c中点

・.CA/〃4£,CM=；A£

・・,，A44G中，N,〃分别为4乌.4G中点

・・・N〃〃4C，N〃=；4c

r.CMf!NH.CM=NH

・•・四边形N〃CH为平行四边形

MNHCH

・・・CHu平面BCC{BX

MN<x平面BCC.B,

，四边形AA.C.C为平行四边形・・・MN〃平面8c(酒

SAC,4G=4。

16.（本小题满分14分）

解：(11・・•在A48c中，8=2彳且正强定理二2一二-7^-

sinAsinB

abb

:、.=7・一1*3=.

sinAsin2A2sinAcosA

v在MBC中.Ae(O«JT)sin#0

b

：.a=------

2cos/

L，，3

•.•/>=3.cosA--

4

3

2x-

3

(2)・・,在&48c中,,4€(0,乃)II.cosA

高三数学参考答案（5-28）第4页（共14页）

:.sinA=7l-cos:A=Jl-gf=

vB=2A

/.sin=sin2A=2sin月cosA2x)匹亚

448

cosfi=cos2J=cos2J-sin2A=

8c中.4+6+C=”

r.cosC=cos(;r-/-6)=-cos(/+8)="(cosAcosB-sinAsinB)

9

484816

o25

tizAABC中,由余弦定理得：c1=a2+62-2abcosC=22+3:-2x2x3x—=—

・•/LAMC+ZAMB=zrsinZJMC=sinNAMB

vAM平分/CAB.即ZCAM=/BAM

即：sinNCLW=sinN84H

bCM

又♦・•佐&4CW中.由正强定理得:

sinZAMCsinZ.CAM

cBM

在&48M中，由正弦定理得：----------=----------

sinZ.AMBsinZ.BAM

.bCM

.7一BM

Yb=3.c=—»a=CM+BM-2

2

121OW775V7

・•.MBM的面枳S=1c・8Msin5=XXX=

222118176

高三数学参考答案（5-28）第5页（共14页）

17.（本小题满分15分）

解：以08、CM为x,y轴建系.则C(2,2)

(I)Q4=O8=1.RM(O.l),5(1.0)

/”：x+yT=o

C到,48距离d=卡>［符合要求

(2)OA=2OB

设08=/,则。1=2/

:-+^-=1HP2x+y-2r=0

.IIt

(3)设/(0,a).即0)

AB=—<则a?+Z>~=——

24

rv

方程二十」=l.即ar+/n，一a/)=O

ba

c到.距离八驾丝01=生理他

J/+庐A

2

n=-cos0.b=­s\nO

22

、25

5(sin0+cos0)--sinJcosd5

d=-----------------------------------=2(sin0+cos^)-二sin6cosJ

2

令sin0+cos〃=/tG(L>/2)sintfcos^=-——-

，符合要求

高三数学参考答案（5-28）第6页（共14页）

18.（本小题满分15分）

解：（1）设圆/：（x-“F=厂'

(-5-°旷+/)?=r2

则<(3-a,+62=r2=>/»=0

6/2+15=rr=4

回4:(x+了+./=16

(2)BEIIAC

BEDE

n则l一=

AC而

BE=DE

则EA+EB=EA+ED=AD=4

：.E在以为焦点的椭圆I:

H2〃=4即a=2,c=I则/>?=3

帏网方程为：工+1==1

43

(3)设切线p=h+〃7

y=fcr+?w

联立,£_］消y可得(4A*+3卜'+8A7H.V+4m--12=0

T+T-

直线。椭圆相切A=0,则4y+3-=0

设F（/,0）,则G（T,0）

F到/的距离4=3"，,G到/的距离乩二卜"

设其中为定值4d2=2,其中a为定值

_-公/2_4A2+3-&2/_（4T+2+3_

'2=7+1=-PTi-=*2+i

则尸

3=A

厂（-1,0）G（l,o）或者厂（1,0）G（-l,0）

高三数学参考答案（5-28）第7页（共14页）

19.(本小题满分16分)

4―(5—尸)4—(1-P)

解：(1)在7；=—3——L中，令〃=1得1=—-----L.•.2=()或2

33

当P=0时.再令”=2得1+弘-=————

・3

2a；+%=0,a2=0或-,

2

这与。“>0矛盾，故舍去

/.P=2

(2)当P=2时,37；=4-(S„-2)2(i)〃22时，37；_1=4-(SI-2)2②

①-②得

3a；=(S1-2)2-⑸-2J=储+5.-4)=——+'一4)

二-3a.=S“_1+S”-4③

当〃23时，应―"4④

③-④得，-3。*+3。­|=at+aH

.•.4a“=21.—=1(«2t3)

«„।2

在①式中,令〃=2n30+)=4-(4-11n%=；

a,1

q2

.•.巴」=,对任意的〃22均成立

4(2

.♦.｛凡｝为等比数列.

高三数学参考答案（5-28）第8页（共14页）

（3）rtl（2）知｛（｝为等比数列且首项为q=1,公比为,

.1尸/Hl)

..—=2»4=------------

41-2

1

另•方面2”“-123x2”

2

A,4/nn\

...—+——+・・•+-—―/>———

4442”23

4幺<1

2344...,2

高三数学参考答案（5-28）第9页（共14页）

20.（本小题满分16分）

解：（1）

r（x）的弹性函数为（e*—I）、=]

令(e'-1)---=0得X=0

'e'-x+1

弹性函数的零点为K=0.

(2)(i)f=0时.f(.r)=(,r-l)t?r+Inx./r(.v)=xeT+—

x

/（'）的弹性函数为卜E）・（l）,"nx

令卜’+;卜X

(/-l)e”+In.t

首先(x-l)/+lnx>0,注意到/'(x)>0

・♦./(工)在(0,+QO)上/.注意打/(1)=0.・./(x)>/(l)nx>1

此时//+1>(x-1)ev+lnx=i>(x2-x+1)"-lnx+1>0

而x>I时，,r2-.r+1>I

:.(x2-x+1-Inr+1>er-Inx+1>x+1-(x-1)+1=3>0

满足题意.枚/(X)的弹性区间。为(I,+8)

(ii)由/(x)>I=>(1-1)/+In工一戊>I在(1,Ko)上恒成立

首先/(1)=TNln，4-l

"if4-1时，/(x)=(X-1)/+-1)/+lnx+x>0+0+I=1满足题意

故/的取值范围为（一吗-1]

…,…(x-l)e'+lnx-1

思路二：由(x-l)c+Inx-/x>1/<------------------------

x

rx2-x+l)e'-ln.t+2

,、(x-l)e+ln.r-lr

令f(x)=^——!----------------,F(x)=------------------------------>0

X

尸（X）在（1.+8）上.,.尸（x）＞尸（1）=-1

f4-I

高三数学参考答案（5-28）第10页（共14页）

数学II参考答案及评分标准

A.选修4—2：矩阵与变换

m-2

3+2〃

m-2=0m=2

n<

3+2〃=5n=1

2

(2)A=§

I

a=­

5

202b-d=0b=

，则有n5

334+c=03

-5

3〃+4=l

2

5

B.选修4T：坐标系与参数方程

解：直线,v=2x+l即2.v-p+l=0

即°=2sin8+2cos，n0'=2Psin"+2pcos"

x2+y2=2y+2x,即(x-lf+G-1)2=2

2

圆心到直线距离”=方

弦长=2,曰=净

55

高三数学参考答案（5-28）第11页（共14页）

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

22.（本小题满分10分）

解：（I）记此人在这连续五天的出行中，共选择了三种共享单车为事件」

C；（C：C：Z；+C：C；C；）_12

P（A）=

25

（2）X可取I、2、3、4、5