人教版高中数学选择性必修第一册-第2章-直线和圆的方程-章末测试卷（含解析）

第二章直线和圆的方程章末测试卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－eq\f(1,2)，则|MN|＝()A．10 B．180C．6eq\r(3) D．6eq\r(5)2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝13．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是()A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝04．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝05．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,8)))6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则eq\r(m2＋n2)的最小值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(4,5)7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为()A．5eq\r(5)－3 B.eq\r(101)－3C．7eq\r(5)－3 D．5eq\r(3)－38．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为()A．x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0 B．(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0C．x－(eq\r(2)＋1)y＋eq\r(2)＝0 D．(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝010．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为()A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝011．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是()A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2eq\r(2).从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15km，观测站C的观测半径为5km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝keq\r(x)(k>0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：eq\r(41)≈6.4，eq\r(11.3)≈3.4，eq\r(58)≈7.6)22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.(1)求直线l所过定点A的坐标；(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有eq\f(|PM|,|PN|)为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(5) D．2eq\r(7)2．圆心在曲线y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))eq\s\up12(2) D．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝93．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为()A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝04．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为()A．2eq\r(3) B.eq\f(9,4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是()A．(0，eq\r(5)) B．(－eq\r(5)，0)C．(0，eq\r(13))D．(0，5)6．已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是()A.eq\r(3) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(3),3) D．2－eq\f(\r(2),2)7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若两圆外切，则r＝1B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3D．若两圆有三条公切线，则r＝28．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq\f(16,5)9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．10．曲线y＝1＋eq\r(9－x2)与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．(1)求圆C的方程；(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2eq\r(3)，求直线l1的方程．13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.(1)若|AB|＝eq\f(3\r(7),2)，求CD的长；(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为2eq\r(3)时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．第二章直线和圆的方程章末测试卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－eq\f(1,2)，则|MN|＝()A．10 B．180C．6eq\r(3) D．6eq\r(5)答案D解析kMN＝eq\f(a－4,－2－a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝eq\r(（－2－10）2＋（10－4）2)＝6eq\r(5).故选D.2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝1答案A解析方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq\r(（0－1）2＋（b－2）2)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是()A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0答案B解析本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ab＝12，,\f(2,a)＋\f(3,b)＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，))于是所求直线的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0答案D解析设圆心为C(2，0)，所以kPC＝eq\f(0＋1,2－3)＝－1，所以kAB＝1，所以lAB：x－y－4＝0.故选D.5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,8)))答案C解析易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，得eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k2<eq\f(1,8)，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4).6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则eq\r(m2＋n2)的最小值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(4,5)答案C解析由圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0，可得圆C1和C2的公共弦所在的直线方程为k(x－2y)＋(y－1)＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))即点M(2，1)，又因为点M在直线mx＋ny＝2上，即2m＋n＝2，又由原点到直线2x＋y＝2的距离为d＝eq\f(2,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5)，即eq\r(m2＋n2)的最小值为eq\f(2\r(5),5).7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为()A．5eq\r(5)－3 B.eq\r(101)－3C．7eq\r(5)－3 D．5eq\r(3)－3答案A解析圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝eq\r(102＋52)－3＝5eq\r(5)－3.故选A.8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为()A．x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0 B．(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0C．x－(eq\r(2)＋1)y＋eq\r(2)＝0 D．(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0答案C解析本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A(eq\r(2)，0)，B(1，1)，C(0，eq\r(2))，D(－1，1)，E(－eq\r(2)，0)，所以AB，BC，CD，DE所在直线的方程分别为y＝eq\f(1－0,1－\r(2))(x－eq\r(2))，y＝(1－eq\r(2))x＋eq\r(2)，y＝(eq\r(2)－1)x＋eq\r(2)，y＝eq\f(1,\r(2)－1)(x＋eq\r(2))，整理为一般式即x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0，(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0，(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0，x－(eq\r(2)－1)y＋eq\r(2)＝0.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0答案ABC解析当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，把点(1，2)代入，得k＝2，所以此时直线的方程为2x－y＝0；当直线斜率k＝1时，设直线的方程为y＝x＋b，把点(1，2)代入，得b＝1，所以此时直线的方程为x－y＋1＝0；当直线斜率k＝－1时，设直线的方程为y＝－x＋b，把点(1，2)代入，得b＝3，所以此时直线的方程为x＋y－3＝0.10．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为()A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0答案AC解析由题意得圆心为C(1，2)，半径r＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x－3＝0是圆C的切线；当过点M的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋12))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.故选AC.11．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是()A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b答案ABC解析因为圆C1：x2＋y2＝r2①，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2②，交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以①－②得到直线AB的方程为2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入直线AB的方程可得2ax1＋2by1＝a2＋b2③，2ax2＋2by2＝a2＋b2④，故B正确；③－④得到2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(0＋a,2)，eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(0＋b,2)，即x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，而4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，而eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，此时|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋（5－2）2－42)＝3eq\r(2)，当∠PBA最大时，点P与Q重合，此时|PB|＝3eq\r(2)，故C、D都正确．综上，选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．答案eq\f(2,3)或－1解析本题主要考查两直线的平行关系．当a＝－1时，两直线方程分别为2y＋1＝0，y－1＝0，显然两直线平行；当a≠－1时，由eq\f(a2－1,a＋1)＝eq\f(－a,2)≠eq\f(－1,1)，得a＝eq\f(2,3).故a的值为eq\f(2,3)或－1.14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．答案0<r<eq\r(10)解析因为圆心C(－5，0)到直线l：3x＋y＋5＝0的距离为eq\f(|－15＋5|,\r(32＋12))＝eq\f(10,\r(10))＝eq\r(10)，所以要使圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是0<r<eq\r(10).15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)2解析直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x＋2)2＋y2＝4上，不妨设A(－4，0)，M(x，y)(x≠－4)，B(x1，y1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x＋4，,y1＝2y，))将(2x＋4，2y)代入(x＋2)2＋y2＝4，得(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)，所以点M的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A(－4，0))，则点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为eq\f(|－3×3－6|,5)－1＝2.16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．答案eq\f(12,5)解析由题意圆L与圆S关于原点对称，设S(a，0)，a>0，则eq\r(a2＋32)＝2＋3，解得a＝4，即S(4，0)，所以L(－4，0)．由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝eq\f(|－4k|,\r(1＋k2))，d2＝eq\f(|4k|,\r(1＋k2))，d3＝eq\f(|3|,\r(1＋k2))，则d2＝4(4－d12)＝4(4－d22)＝4(9－d32)，即有4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k,\r(1＋k2))))eq\s\up12(2)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k,\r(1＋k2))))eq\s\up12(2)＝9－(eq\f(3,\r(1＋k2)))2，解得k2＝eq\f(4,21).则d2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(16×\f(4,21),1＋\f(4,21))))＝eq\f(144,25)，即d＝eq\f(12,5).四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．解析(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以交点坐标为(2，1)．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，则点A到直线l的距离为eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，所以l的方程为4x－3y－5＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．故直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)设直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点为P，由(1)可知P(2，1)，过点P任意作直线l(如图所示)，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA|＝eq\r(10).即所求的距离的最大值为eq\r(10).18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2eq\r(2).从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？思路分析由点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB的垂直平分线x＝－eq\f(1,2)上，设圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，b))，半径为r，若选①，求出直线l1和l2的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD|＝2eq\r(2)，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．解析因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，又线段AB的垂直平分线所在直线方程为x＝eq\f(－2＋1,2)＝－eq\f(1,2)，则可设圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，b))，圆的半径为r，若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(1,5).))即直线l1和l2的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，则圆Q过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，所以r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(2,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,5)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(b＋1)2，解得b＝－1，则r2＝eq\f(9,4).即存在圆Q，且圆Q的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．由圆心在直线2x－y＝0上可得2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－b＝0，则b＝－1，所以r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(－1＋1)2＝eq\f(9,4)，即存在圆Q，且圆Q的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).若选③，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．若圆被y轴截得弦长|CD|＝2eq\r(2)，根据圆的性质可得，r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|CD|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)，由r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(b＋1)2＝eq\f(9,4)，解得b＝－1.即存在圆Q，且圆Q的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．解析因为圆C1可化为(x－6)2＋(y－1)2＝50，所以C1的坐标为(6，1)，半径r1＝5eq\r(2)，同理可得C2的坐标为(－6，－8)，半径r2＝5eq\r(5).所以C1，C2所在的直线方程为3x－4y－14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－14＝0，,4x＋3y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))即所求圆的圆心为C(2，－2)，半径r＝eq\r(（5\r(2)）2－|C1C|2)＝5.所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．解析(1)线段AB的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，又kAB＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－eq\f(3,2)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋y＋5＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))所以圆心C(－3，－2)．圆C的半径r＝|AC|＝eq\r(（0＋3）2＋（2＋2）2)＝5，故圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)令z＝3x－4y，即3x－4y－z＝0.当直线3x－4y－z＝0与圆C相切于点P时，z取得最值，圆心C(－3，－2)到直线3x－4y－z＝0的距离d＝eq\f(|－9＋8－z|,\r(32＋（－4）2))＝5，解得z＝－26或z＝24.故3x－4y的最大值为24，最小值为－26.21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15km，观测站C的观测半径为5km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝keq\r(x)(k>0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：eq\r(41)≈6.4，eq\r(11.3)≈3.4，eq\r(58)≈7.6)解析(1)将A(1，1)代入y＝keq\r(x)，可得k＝1.(2)①以C为圆心，5为半径的圆的方程为(x－15)2＋y2＝25，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,（x－15）2＋y2＝25，))得x2－29x＋200＝0，∴x＝eq\f(29±\r(41),2)，∴x1≈11.3，x2≈17.7，∴当鲸运动到点(11.3，eq\r(11.3))即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C的观测区域内．②鲸与点C的距离为：d＝eq\r(（x－15）2＋y2)＝eq\r(（x－15）2＋x)＝eq\r(x2－29x＋225)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,2)))\s\up12(2)＋225－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,2)))\s\up12(2))，∴当x＝eq\f(29,2)时d最小．故当鲸运动到点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,2)，\f(\r(58),2)))即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C最近．22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.(1)求直线l所过定点A的坐标；(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有eq\f(|PM|,|PN|)为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．解析(1)依题意，得m(3x－y)＋(x＋y－4)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴直线l过定点A(1，3)．(2)当AC⊥l时，所截得的弦长最短．由题知C(0，4)，圆C的半径r＝2，∴kAC＝eq\f(4－3,0－1)＝－1，∴kl＝1，∴eq\f(3m＋1,m－1)＝1，∴m＝－1.∵圆心C到直线l的距离为d＝|AC|＝eq\r(2)，∴最短弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).(3)由题意知直线MC的方程为y＝4.设定点N(t，4)(t≠－3)，P(x，y)，eq\f(|PM|,|PN|)＝λ(λ>0)，则|PM|2＝λ2|PN|2，∴(x＋3)2＋(y－4)2＝λ2(x－t)2＋λ2(y－4)2，∴(x＋3)2＋4－x2＝λ2(x－t)2＋λ2(4－x2)，整理得(6＋2tλ2)x－(λ2t2＋4λ2－13)＝0，此式对任意的x∈[－2，2]恒成立，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＋2tλ2＝0，,λ2t2＋4λ2－13＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(4,3)，,λ＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(4,3)，,λ＝－\f(3,2)))(舍去)或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－3，,λ＝±1))(舍去)．综上，满足条件的点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，4))，且eq\f(|PM|,|PN|)为常数eq\f(3,2).1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(5) D．2eq\r(7)答案C解析设点A(－2，1)关于直线x－3y＝0的对称点为D(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a＋2)＝－3，,\f(a－2,2)－3×\f(b＋1,2)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))所以D(－1，－2)，所以|AC|＋|BC|＝|DC|＋|BC|，当B，D，C共线时，|AC|＋|BC|取最小值，最小值为|DB|＝eq\r(（1＋1）2＋（2＋2）2)＝2eq\r(5).2．圆心在曲线y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))eq\s\up12(2) D．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9答案D解析设圆心为(a，b)，半径为r，则满足条件的圆面积最小即r最小，r＝eq\f(|3a＋4b＋3|,\r(32＋42))＝eq\f(|3a＋4b＋3|,5)≥eq\f(2\r(3a×4b)＋3,5)，因为圆心(a，b)在y＝eq\f(3,x)(x>0)上，所以b＝eq\f(3,a)，即ab＝3，所以rmin＝eq\f(2\r(12×3)＋3,5)＝3，当且仅当3a＝4b，即a＝2，b＝eq\f(3,2)时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9.3．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为()A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0答案C解析方法一：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))由题意，知直线l的斜率k＝－eq\f(2,3)，所以直线l的方程为y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选C.方法二：由题意设直线l：x＋y－2＋λ(2x－y－1)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(1－λ)y－2－λ＝0，又直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－eq\f(1,8)，所以直线l的方程为2x＋3y－5＝0.故选C.4．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为()A．2eq\r(3) B.eq\f(9,4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)答案B解析因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心为C1(－a，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(b，2)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝eq\r(（－a－b）2＋（2－2）2)＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝eq\f(9,4)－eq\f(（a－b）2,4)≤eq\f(9,4)，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为eq\f(9,4).5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是()A．(0，eq\r(5)) B．(－eq\r(5)，0)C．(0，eq\r(13))D．(0，5)答案A解析圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0可化为(x＋2)2＋y2＝9，则圆C与x轴正半轴交于点A(1，0)，与y轴正半轴交于点B(0，eq\r(5))，如图所示，因为过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以kMA<k<kMB，所以0<k<eq\r(5).6．已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是()A.eq\r(3) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(3),3) D．2－eq\f(\r(2),2)答案A解析如图所示，易知直线AB的方程是y＝3，直线AC的方程是eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1，即3x＋2y－6＝0，且直线x＝a只与边AB，AC相交．设直线x＝a与AB交于点D，与AC交于点E，则点D，E的坐标分别为(a，3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(6－3a,2)))，从而|DE|＝3－eq\f(6－3a,2)＝eq\f(3,2)a，S△ADE＝eq\f(1,2)|AD||DE|＝eq\f(1,2)a×eq\f(3,2)a＝eq\f(3,4)a2①.又S△ABC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，所以S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(9,4)②，由①②得eq\f(3,4)a2＝eq\f(9,4)，解得a＝eq\r(3)或a＝－eq\r(3)(舍去)．故选A.7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若两圆外切，则r＝1B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3D．若两圆有三条公切线，则r＝2答案ABC解析由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r＝5，即r＝1，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x－6y－41＋r2＝0，所以－41＋r2＝－37，解得r＝2，故B正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r2，解得r＝3，故C正确．8．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq\f(16,5)答案AB解析过点A，C的直线方程为eq\f(y＋1,3＋1)＝eq\f(x－6,－2－6)，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝eq\f(4\r(5),5)，原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又|OA|＝eq\r(（－2）2＋32)＝eq\r(13)，|OB|＝eq\r(（－2）2＋（－1）2)＝eq\r(5)，且|OC|＝eq\r(62＋（－1）2)＝eq\r(37).结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或eq\r(37).故选AB.9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．答案x＋4y－8＝0解析设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(4，1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)×\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积S＝eq\f(1,2)ab取得最小值，此时直线l的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.10．曲线y＝1＋eq\r(9－x2)与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,24)，\f(2,3)))解析由题可知，y＝1＋eq\r(9－x2)，即x2＋(y－1)2＝9(y≥1)，其图象如图所示：又直线y＝k(x－3)＋5即kx－y－3k＋5＝0过定点A(3，5)．当直线与半圆相切时，则eq\f(|－1－3k＋5|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(7,24).当直线过点B(－3，1)时，k＝eq\f(5－1,3－（－3）)＝eq\f(2,3).所以k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,24)，\f(2,3))).11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．答案±eq\r(21)解析根据题意，设点P的坐标为(a，b)，则直线PA的方程为y＝eq\f(b,a＋1)(x＋1)，其在y轴上的截距为eq\f(b,a＋1)，直线PB的方程为y＝eq\f(b,a－5)(x－5)，其在y轴上的截距为－eq\f(5b,a－5).若点P满足使直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则有eq\f(b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5b,a－5)))＝5，变形可得b2＋(a－2)2＝9，则点P在圆(x－2)2＋y2＝9上．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P满足题意，则圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为eq\r(（4－2）2＋m2)≥2，所以两圆外切，所以4＋m2＝25，解得m＝±eq\r(21).12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．(1)求圆C的方程；(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2eq\r(3)，求直线l1的方程．解析(1)由题意得，圆心C一定在线段AB的垂直平分线上，kAB＝eq\f(0－2,1－（－1）)＝－1，线段AB中点为(0，1)，所以直线AB的垂直平分线为x－y＋1＝0.所以直线l：x＋y＋1＝0与x－y＋1＝0的交点即为圆心C，即C的坐标为(－1，0)，半径r＝|CA|＝2.所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)当直线l1斜率不存在时，方程为x＝0，此时圆心到l1距离为1，截得的弦长为2eq\r(3)，满足题意；当直线l1斜率存在时，设为k，则l1：kx－y＋3＝0，圆心(－1，0)到l1的距离d＝eq\f(|－k＋3|,\r(k2＋1))＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，所以k＝eq\f(4,3)，则直线l1的方程为4x－3y＋9＝0.综上，直线l1的方程为x＝0或4x－3y＋9＝0.13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.(1)若|AB|＝eq\f(3\r(7),2)，求CD的长；(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．解析(1)直线AB的斜率显然存在，设为k，则直线AB的方程为y＝kx＋1.因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(k2＋1))))eq\s\up12(2)＝4，所以|AB|＝2eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1))，由2eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1))＝eq\f(3\r(7),2)，得k2＝15，因为直线CD的方程为y＝－eq\f(1,k)x＋1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|CD|,2)))eq\s\up12(2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－\f(2,k)＋1－1,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))\s\up12(2)))))eq\s\up12(2)，所以|CD|＝2eq\r(1－\f(4,k2＋1))＝2eq\r(1－\f(4,15＋1))＝eq\r(3).(