人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算精讲精练同步训练

人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.考点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考点三向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型归纳】题型一：空间向量的数量积的运算1．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）．A． B．97 C． D．612．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则（）A．1 B． C．2 D．43．在底面是正方形的四棱柱中，，，，则（）A． B． C． D．2题型二：空间向量的数量积的应用（夹角和模）4．如图所示，空间四边形中，，，则，的值是（）A．0 B． C． D．5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（）A．2 B． C． D．6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（）A．1 B． C．2 D．【双基达标】一、单选题7．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（）A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以8．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（）A． B．C． D．49．如图，在平行六面体中，，，则（）A．1 B． C．9 D．310．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．11．已知四面体中，、、两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（）．A．B．C．D．12．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则（）A． B． C． D．13．已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（）A．60° B．120° C．30° D．90°14．已知四棱柱的底面是矩形，，则（）A． B． C． D．15．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（）A． B． C． D．16．如图在长方体中，设，，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．【高分突破】一：单选题17．已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（）A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，18．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（）A． B． C． D．19．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，分别是，的中点，则（）A． B． C． D．20．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（）A． B． C． D．21．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（）．A． B． C． D．22．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（）A． B． C． D．23．如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，则（）A． B． C． D．24．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时，（）A． B． C． D．二、多选题25．已知是正方体，以下正确命题有（）A．； B．；C．向量与向量的夹角为； D．正方体的体积为.26．正方体的棱长为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．27．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为28．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为三、填空题29．设是单位向量，且，则的最小值为__________．30．已知是空间两个向量，若，则=________．31．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________.32．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______．四、解答题33．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．34．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积：；（2）；（3）；（4）.35．如图，在平行六面体中，，，，，．求：（1）；（2）的长；（3）的长．36．在空间四边形中，是线段的中点，在线段上，且.（1）试用表示向量；（2）若，，，，，求的值及【答案详解】1．C【详解】∵，∴，故选：C.2．C【详解】平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，作图如下：令，，，则，，，设，即，由，得，即，解得：或（舍去），即.故选：C.3．A因为四棱柱中，底面是正方形，，，，则，所以.故选：A.4．A，，，，故选：A5．B【详解】由题意，，，，则空间向量在向量方向上的投影为.故选：B.6．B【详解】∵，，∴，又，，∴．7．A因为，所以，故选：A8．C【详解】故选：C9．D【详解】在平行六面体中，有，，由题知，，，，，所以，，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，所以.所以.故选：D.10．C设与的夹角为．由，得，两边平方，得，所以，解得，又，所以，故选：C．11．C【详解】、、两两垂直，则可得、、，且、、、、，A、B、D选项均正确，故选：C．12．A【详解】空间四边形各边及对角线长均为，所以四边形构成的四面体是正四面体，四个面是等边三角形，因为，，分别是，，的中点，所以，，，，所以.故选：A.13．B由题意得=(+)·(2)==，||=，||=.=.°.故选:B.14．D【详解】.故选：D15．A【详解】记，，，则，同理，，由空间向量加法法则得，∴，∴，即．故选：A．16．A【详解】由长方体的性质可知，，所以.故选：A17．C【详解】解：向量，0，，，2，，则，，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.18．C【详解】如图：由,,19．B由题意得，所以.故选：B20．B对于①，，①正确；对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；对于③，设、的夹角为，则，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.故选：B.21．D【详解】解：在平行六面体中，因为，所以．所以．22．A【详解】记，，，因为，，所以，．又因为，，所以，．易得，所以，所以．故选：A23．B解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，则，，，，，，则故选：B.24．A因为点M满足，所以平面因为点N满足，所以直线，若、最短时，则平面，，所以M为的中心，N为的中点，此时，∵平面平面，∴，∴.又，∴.故选：A.25．AB【详解】A：两两垂直，且，所以，正确；B：由，所以，正确；C：由正方体性质知：面，而面，即，即向量与向量的夹角为，错误；D：由图知：，正方体的体积不为，错误；故选：AB.26．BC如下图所示：对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项正确；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，，D选项错误.故选：BC.27．AB【详解】由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确.故选：AB.28．AB【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则而，所以A正确.=0,所以B正确.向量,显然为等边三角形，则.所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确又，则，所以，所以D不正确.故选：AB29．【详解】，且均为单位向量，∴，||=1，,∴.设与的夹角为θ，则.故的最小值为故答案