人教版高中数学选择性必修第三册第6章检测卷(含解析)

人教版高中数学选择性必修第三册第6章检测卷原卷版[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有6个同学报名参加三个数学课外活动小组，每个同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有()A．36 B．63C．A63 D．C632．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生，薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有()A．480种 B．360种C．240种 D．120种3．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝()A．243 B．27C．1 D．－14．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有()A．12种 B．18种C．36种 D．54种5．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项系数为()A．Cnn－1 B．Cn2C．Cn＋12 D.eq\f(1,2)Cn＋126．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A．72 B．120C．192 D．2407．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中各项的二项式系数和为512，且展开式中的常数项为27C93，则a＝()A．1 B．28．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于()A．0 B．5C．0或5 D．以上都不对二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若任意选科，选法总数为C42B．若化学必选，选法总数为C21C31C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C21C21C31D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C21C21＋110．已知(3x2＋eq\f(1,x))4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则()A．A＝256B．A＋B＝260C．展开式中存在常数项D．展开式中含x2项的系数为5411.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设各层球数构成一个数列{an}，Sn是其前n项和，则()A．S4＝22 B．an＋1＝an＋n＋1C．a100＝5050 D．2an＋1＝anan＋212．设a，b，m∈Z，m>0，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记为a≡b(modm)，已知a＝1＋C201×2＋C202×22＋C203×23＋…＋C2020×220，a≡b(mod10)，则b的值可能是()A．2011 B．2019C．2021 D．2029三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在(x－2)n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于________．14．若(1－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5＋a6(1＋x)6，则a4＝________．.15．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是________；若甲和乙不参加同一科竞赛，甲和丙必须参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加，则不同的选择种数是________(用数字作答)．(本题第一空2分，第二空3分)16．5个女孩和6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法有________种(填数字)．四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案．18．(12分)已知在(eq\f(1,2)x2－eq\f(1,\r(x)))n的展开式中，第9项为常数项．求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．19．(12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4，5，6，7，8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数？20．(12分)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程．(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数．21．(12分)(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4，求n的值．(2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.①求|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|；②设ak＝(－2)kbk，求：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1.22．(12分)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr＋1，Cnr＋2，Cnr＋3不能构成等差数列．人教版高中数学选择性必修第三册第6章检测卷解析版[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有6个同学报名参加三个数学课外活动小组，每个同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有()A．36 B．63C．A63 D．C63答案A解析第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，后面的四个同学都有三种报法，根据分步乘法计数原理知共有36种结果．故选A.2．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生，薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有()A．480种 B．360种C．240种 D．120种答案B解析当人脸识别方向有2人时，分配方向有A55＝120种，当人脸识别方向有1人时，分配方向有C52A44＝240种，∴分配方向共有360种．故选B.3．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝()A．243 B．27C．1 D．－1答案D解析由题意得|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－2)5＝－1.4．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有()A．12种 B．18种C．36种 D．54种答案B解析先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有eq\f(C42,2)组，再分配到3个不同的房间中，共有A33种排法，所以不同的放法共有A33×eq\f(C42,2)＝18种．故选B.5．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项系数为()A．Cnn－1 B．Cn2C．Cn＋12 D.eq\f(1,2)Cn＋12答案C解析(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项的系数即分别取每个括号中x项的系数乘以剩余括号的常数所得结果再相加，故展开式中的一次项系数为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)＝Cn＋12.故选C.6．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A．72 B．120C．192 D．240答案D解析由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为C21A53＝120；末尾是4，不同的偶数个数为A55＝120.故共有120＋120＝240个不同的偶数．故选D.7．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中各项的二项式系数和为512，且展开式中的常数项为27C93，则a＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由题意，可得2n＝512，解得n＝9，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－\f(1,x)))eq\s\up12(9)的展开式的通项为Tr＋1＝C9r(ax2)9－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝(－1)r·C9r·a9－rx18－3r，令18－3r＝0，可得r＝6，则其展开式中的常数项为第7项，即T7＝(－1)6·C96·a3＝27C93，得a＝3.故选C.8．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于()A．0 B．5C．0或5 D．以上都不对答案C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若任意选科，选法总数为C42B．若化学必选，选法总数为C21C31C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C21C21C31D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C21C21＋1答案BD解析首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，则选法总数为C21C42，故A错误；首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、生物3门科目中选择1门，则选法总数为C21C31，故B正确；分政治、地理都选和政治、地理仅选一门两种情况，则选法总数为C21eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋C21C21))，故C错误；物理必选，分化学、生物都选和化学、生物仅选一门两种情况，则选法总数为1＋C21C21，故D正确．故选BD.10．已知(3x2＋eq\f(1,x))4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则()A．A＝256B．A＋B＝260C．展开式中存在常数项D．展开式中含x2项的系数为54答案ABD解析令x＝1，得(3x2＋eq\f(1,x))4的展开式中各项系数之和为44＝256，所以A＝256，A正确；(3x2＋eq\f(1,x))4的展开式中第二项的二项式系数为C41＝4，所以B＝4，A＋B＝260，B正确；(3x2＋eq\f(1,x))4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C4r·(3x2)4－r·(eq\f(1,x))r＝34－r·C4rx8－3r，令8－3r＝0，则r＝eq\f(8,3)，所以展开式中不存在常数项，C错误；令8－3r＝2，则r＝2，所以展开式中含x2项的系数为34－2C42＝54，D正确．故选ABD.11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设各层球数构成一个数列{an}，Sn是其前n项和，则()A．S4＝22 B．an＋1＝an＋n＋1C．a100＝5050 D．2an＋1＝anan＋2答案BC解析由题意可知，a1＝1，a2＝a1＋2＝1＋2，a3＝a2＋3＝1＋2＋3，…，an＝an－1＋n＝1＋2＋3＋…＋n，故an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).所以S4＝1＋3＋6＋10＝20，故A错误；因为an＋1＝an＋n＋1，故B正确；因为a100＝eq\f(100×（100＋1）,2)＝5050，故C正确；因为2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，anan＋2＝eq\f(n（n＋1）（n＋2）（n＋3）,4)，所以2an＋1≠anan＋2，故D错误．12．设a，b，m∈Z，m>0，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记为a≡b(modm)，已知a＝1＋C201×2＋C202×22＋C203×23＋…＋C2020×220，a≡b(mod10)，则b的值可能是()A．2011 B．2019C．2021 D．2029答案AC解析∵a＝1＋C201×2＋C202×22＋C203×23＋…＋C2020×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C100×1010－C101×109＋C102×108－…－C109×10＋C1010，∴a被10除得的余数为1，又2021，2011被10除得的余数是1.故选AC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在(x－2)n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于________．答案－32解析由题意，可得eq\f(n,2)＋1＝3，解得n＝4，所以该二项式为(x－2)4，则展开式的通项为Tr＋1＝C4rx4－r(－2)r，令4－r＝1，可得r＝3，所以含x项的系数为(－2)3C43＝－32.14．若(1－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5＋a6(1＋x)6，则a4＝________．答案60解析(1－x)6＝(－1＋x)6＝[－2＋(1＋x)]6，[－2＋(1＋x)]6的展开式的通项为Tk＋1＝C6k(－2)6－k(1＋x)k，令k＝4可得a4＝C64(－2)2＝4C62＝60.15．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是________；若甲和乙不参加同一科竞赛，甲和丙必须参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加，则不同的选择种数是________(用数字作答)．(本题第一空2分，第二空3分)答案24330解析因为每个同学只能参加一科竞赛，且每个同学可以自由选择，故每个同学都有3种选择，故共有35＝243种不同的选择；因为每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，所以三科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，当分配方案为2，2，1时，因甲和丙参加同一科竞赛，甲和乙不参加同一科竞赛，故有C32A33＝18种不同的选择，当分配方案为3，1，1时，因甲和丙参加同一科竞赛，甲和乙不参加同一科竞赛，故有C21A33＝12种不同的选择，故共有18＋12＝30种不同的选择．16．5个女孩和6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法有________种(填数字)．答案86400解析因为任意两个女孩中间至少站一个男孩，故有且仅有两个男孩站在一起．先把5个女孩排成一个圈，这是一个圆形排列，因此排法共有eq\f(5！,5)＝(5－1)！＝4！(种)；然后把6个男孩排成一排，共有6！种排法；最后在排好的男孩中选择两个相邻的男孩组合在一起，共有5种排法，这样男孩被分成5组，分别站在两个女孩中间．综上，不同的排法共有4！×6！×5＝86400(种)．四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案．解析(1)5名学生分成3组，人数分别为2，2，1，∴分配方案共有eq\f(C52C32A33,A22)＝90(种)．(2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数为2，2或3，1.∴分配方案共有C51(eq\f(C42C22A22,A22)＋C43C11A22)＝70(种)．18．(12分)已知在(eq\f(1,2)x2－eq\f(1,\r(x)))n的展开式中，第9项为常数项．求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．解析展开式的通项为Tk＋1＝Cnk(eq\f(1,2)x2)n－k·(－eq\f(1,\r(x)))k＝(－1)k(eq\f(1,2))n－kCnkx2n－eq\f(5,2)k.(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－eq\f(5,2)k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.(2)令2n－eq\f(5,2)k＝5，得k＝eq\f(2,5)(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6(eq\f(1,2))4C106＝eq\f(105,8).(3)要使2n－eq\f(5,2)k即eq\f(40－5k,2)为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．19．(12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4，5，6，7，8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数？解析由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N*，所以x的取值为3，4，5，6，7，即A＝{3，4，5，6，7}，所以A∪B＝{3，4，5，6，7，8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成的三位数的个数为A63＝120.(2)若从集合A中取元素3，则3不能是千位上的数字，满足题意的自然数有C53C31A33＝180(个)．若不从集合A中取元素3，则四位数的组成数字有5组：4，5，6，7；4，6，7，8；4，5，6，8；4，5，7，8；5，6，7，8.分别全排列，满足题意的自然数有5A44＝120(个)．所以满足题意的自然数共有180＋120＝300(个)．20．(12分)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程．(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数．解析(1)当“射”排在最后一周时，有A55＝120种排法，当“射”不排在最后一周时，有C41C41A44＝384种排法，由分类加法计数原理知，“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有120＋384＝504(种)．(2)当甲只任教1门时，有C51×eq\f(C51C41C31C22,A33)×A44＝1200种排法，当甲任教2门时，有C52A44＝240种排法，由分类加法计数原理知，甲不任教“数”的课程安排方案有1200＋240＝1440(种)．21．(12分)(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4，求n的值．(2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.①求|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|；②设ak＝(－2)kbk，求：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1.解析(1)∵(1－2x)2n＋1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4，∴eq\f(C2n＋11,C2n＋12)＝eq\f(1,4)，则n＝4.(2)①由题意知，(1＋2x)2n＋1＝|a0|＋|a1|x＋…＋|a2n＋1|x2n＋1，令x＝1得|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|＝32n＋1.②由题意知ak＝C2n＋1k·(－2)k.又ak＝(－2)kbk.∴bk＝C2n＋1k.∴(k＋1)bk＝(k＋1)·C2n＋1k＝k·C2n＋1k＋C2n＋1k＝keq\f(A2n＋1k,Akk)＋C2n＋1k＝eq\f(（2n＋1）·A2nk－1,Ak－1k－1)＋C2n＋1k＝(2n＋1)·C2nk－1＋C2n＋1k，∴1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1＝1·C2n＋10＋2·C2n＋11＋3·C2n＋12＋…＋(2n＋2)·C2n＋12n＋1＝(C2n＋10＋C2n＋11＋C2n＋12＋