福州市第十九中学2025年高考数学试题（甲卷）含解析

福州市第十九中学2025年高考数学试题（甲卷）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则等于（）．A． B． C． D．2．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A． B．2 C． D．14．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．05．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）A． B． C． D．6．已知等差数列中，则（）A．10 B．16 C．20 D．247．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（）A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．四面体FA1C1B的体积不为定值9．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()A． B．C． D．11．函数的图象为C，以下结论中正确的是（）①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③12．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（） A．45 B．60 C．75 D．100二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.14．如图，已知扇形的半径为1，面积为，则_____.15．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.（1）求关于的函数解析式；（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？16．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）在中，角的对边分别为，且满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求和的值.19．（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.（1）设，，请计算，，；（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.21．（12分）设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：，恒成立.22．（10分）在中，角，，的对边分别为，其中，.（1）求角的值；（2）若，，为边上的任意一点，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.【详解】由题意得，又，所以，结合解得，所以，故选B.本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.2．A【解析】

将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.【详解】由，，可知平面．将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记的外心为，由为等边三角形，可得．又，故在中，，此即为外接球半径，从而外接球表面积为．故选：A本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.3．C【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线的离心率，则，，解得，所以焦点坐标为，所以，则双曲线渐近线方程为，即，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，故选：C.本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.4．A【解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意函数，则，所以，故选A.本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．B【解析】

由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数的值域，当；当综上：.故选：B本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.6．C【解析】

根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【详解】已知等差数列中，故答案选C本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.7．A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．C【解析】

采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.【详解】A错误由平面，//而与平面相交，故可知与平面相交，所以不存在EF//BC1B错误，如图，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正确四面体EMAC的体积为其中为点到平面的距离，由//，平面，平面所以//平面，则点到平面的距离即点到平面的距离，所以为定值，故四面体EMAC的体积为定值错误由//，平面，平面所以//平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，所以为定值所以四面体FA1C1B的体积为定值故选：C本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.9．B【解析】

根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：将线性目标函数化为，则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；当经过时，截距最大值，，所以线性目标函数的取值范围为，故选：B.本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.10．B【解析】

根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.【详解】根据函数图象得定义域为，所以不合题意；选项，计算，不符合函数图象；对于选项，与函数图象不一致；选项符合函数图象特征.故选：B此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.11．B【解析】

根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.【详解】因为，又，所以①正确.，所以②正确.将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.所以①②正确，③错误.故选:B本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.12．B【解析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】由题意，．故选：B.本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于，所以，由于区间上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范围是.故答案为：本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．【解析】

根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角，再根据等腰三角形性质求出，利用向量的数量积公式求出.【详解】设角，则，，所以在等腰三角形中，，则.故答案为：.本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.15．（1）；（2）.【解析】

（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，由二次函数性质即可求得最小值.【详解】解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.所以直线的方程为，即.因为直线与圆相切，所以.因为点在直线的上方，所以，所以式可化为，解得.所以，.所以面积为.（2）令，则，且，所以，.令，，所以在上单调递减.所以，当，即时，取得最大值，取最小值.答：当时，面积为最小，政府投资最低.本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.16．【解析】

根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值.【详解】根据题意,连接,如下图所示:在等腰三角形中,已知,则由向量数量积运算可知线段的中点分别为则由向量减法的线性运算可得所以因为,代入化简可得因为所以当时,取得最小值因而故答案为:本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】

详解：（Ⅰ）当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以不等式的解集为.（Ⅱ）因为，所以.由题意知对，，即，因为，所以，解得.⑴绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．⑵不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有：①为参数）恒成立②为参数）恒成立．18．（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】

（Ⅰ）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简，即可求出角的大小；（Ⅱ）通过面积公式和，可以求出，这样用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根据同角的三角函数关系，可以求出，这样可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【详解】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力.19．（1）（2）详见解析（3）29【解析】

（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．（2）可求，，通过反证法证明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【详解】（1）由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，则，，得，故．（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，，．得，，，．所以若，则存在，，使，若，则存在，，，使，因此，对于正整数，考虑集合，，，即，，，，，，．下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，则存在，使，，，即，，，由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，设，则，且，，，，所以，当，时，对于整数，若，则成立．（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．则对于整数，存在，，，，，使成立，整理，得，又因为，，所以且是7的倍数，因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．所以对于整数，若，则，又由第二问，对于整数，则，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因为，，，，所以．本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．20．（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.（2）先把两个方