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文档简介
北京市西城区北京教育学院附中2025届高三3月第二次月考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在中,点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则()A. B. C. D.2.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()A. B. C. D.3.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为A. B. C. D.4.设实数、满足约束条件,则的最小值为()A.2 B.24 C.16 D.145.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.6.已知为虚数单位,若复数,,则A. B.C. D.7.已知复数满足,其中为虚数单位,则().A. B. C. D.8.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.9.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()A. B.4 C. D.1611.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.112.执行程序框图,则输出的数值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在区间内有且仅有两个零点,则实数的取值范围是_____.14.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.15.已知,,,的夹角为30°,,则_________.16.已知,若,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,已知四边形的直角梯形,∥BC,,,,为线段的中点,平面,,为线段上一点(不与端点重合).(1)若,(ⅰ)求证:PC∥平面;(ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由.18.(12分)已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.19.(12分)设,函数.(1)当时,求在内的极值;(2)设函数,当有两个极值点时,总有,求实数的值.20.(12分)已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.(1)求实数a的取值范围;(2)若函数的极大值点和极小值点分别为和,且,求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数)21.(12分)如图,在直三棱柱中,,,为的中点,点在线段上,且平面.(1)求证:;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.22.(10分)已知在多面体中,平面平面,且四边形为正方形,且//,,,点,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
,将,代入化简即可.【详解】.故选:B.本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算、数乘运算,考查学生的运算能力,是一道中档题.2.A【解析】
根据是中点这一条件,将棱锥的高转化为球心到平面的距离,即可用勾股定理求解.【详解】解:设点到平面的距离为,因为是中点,所以到平面的距离为,三棱锥的体积,解得,作平面,垂足为的外心,所以,且,所以在中,,此为球的半径,.故选:A.本题考查球的表面积,考查点到平面的距离,属于中档题.3.A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的定义,转化求出比值,,求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【详解】解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=−1,
过点P作PM垂直于准线,M为垂足,
由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+1,
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得,,当时,,当时,,,综上:.故选:A.本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.4.D【解析】
做出满足条件的可行域,根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,根据图象,当目标函数过点时,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值为.故选:D.本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.5.C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.6.B【解析】
由可得,所以,故选B.7.A【解析】
先化简求出,即可求得答案.【详解】因为,所以所以故选:A此题考查复数的基本运算,注意计算的准确度,属于简单题目.8.D【解析】
由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.9.D【解析】
根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e.【详解】直线F2A的直线方程为:y=kx,F1(0,),F2(0,),代入抛物线C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),设双曲线方程为:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴离心率e1,故选:D.本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想,考查计算能力,属于中档题.10.D【解析】
根据复数乘方公式:,直接求解即可.【详解】,.故选:D本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.11.B【解析】
将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.12.C【解析】
由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,不满足条件,输出.故选:C本题主要考查程序框图中的循环结构,属于简单题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
对函数零点问题等价转化,分离参数讨论交点个数,数形结合求解.【详解】由题:函数在区间内有且仅有两个零点,,等价于函数恰有两个公共点,作出大致图象:要有两个交点,即,所以.故答案为:此题考查函数零点问题,根据函数零点个数求参数的取值范围,关键在于对函数零点问题恰当变形,等价转化,数形结合求解.14.【解析】
计算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的导数f′(x)=tetx,∴过Q的切线斜率k=t,设R(r,0),则k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,当t>1时,S′>0,当0<t<1时,S′<0,∴t=1为极小值点,也为最小值点,∴△PRS的面积的最小值为.故答案为:.本题考查了利用导数求面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.15.1【解析】
由求出,代入,进行数量积的运算即得.【详解】,存在实数,使得.不共线,.,,,的夹角为30°,.故答案为:1.本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算,属于基础题.16.1【解析】
由题意先求得的值,可得,再令,可得结论.【详解】已知,,,,令,可得,故答案为:1.本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)(2)存在,【解析】
(1)(i)连接交于点,连接,,依题意易证四边形为平行四边形,从而有,,由此能证明PC∥平面(ii)推导出,以为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解;(2)设,求出平面的法向量,利用向量法求解.【详解】(1)(ⅰ)证明:连接交于点,连接,,因为为线段的中点,所以,因为,所以因为∥所以四边形为平行四边形.所以又因为,所以又因为平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如图,在平行四边形中因为,,所以以为原点建立空间直角坐标系则,,,所以,,,平面的法向量为设平面的法向量为,则,即,取,得,设平面和平面所成的锐二面角为,则所以锐二面角的余弦值为(2)设所以,,设平面的法向量为,则,取,得,因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以解得所以存在满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为.此题二查线面平行的证明,考查锐二面角的余弦值的求法,考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线,线面,面面的位置关系等知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1),分,,三种情况推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到证明.【详解】(1)由,得.当时,方程的,因此在区间上恒为负数.所以时,,函数在区间上单调递减.又,所以函数在区间上恒成立;当时,方程有两个不等实根,且满足,所以函数的导函数在区间上大于零,函数在区间上单增,又,所以函数在区间上恒大于零,不满足题意;当时,在区间上,函数在区间上恒为正数,所以在区间上恒为正数,不满足题意;综上可知:若时,不等式恒成立,的最小值为.(2)由第(1)知:若时,.若,则,即成立.将换成,得成立,即,以此类推,得,,上述各式相加,得,又,所以.本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题,考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力,是一道难题.19.(1)极大值是,无极小值;(2)【解析】
(1)当时,可求得,令,利用导数可判断的单调性并得其零点,从而可得原函数的极值点及极大值;(2)表示出,并求得,由题意,得方程有两个不同的实根,,从而可得△及,由,得.则可化为对任意的恒成立,按照、、三种情况分类讨论,分离参数后转化为求函数的最值可解决;【详解】(1)当时,.令,则,显然在上单调递减,又因为,故时,总有,所以在上单调递减.由于,所以当时,;当时,.当变化时,的变化情况如下表:+-增极大减所以在上的极大值是,无极小值.(2)由于,则.由题意,方程有两个不等实根,则,解得,且,又,所以.由,,可得又.将其代入上式得:.整理得,即当时,不等式恒成立,即.当时,恒成立,即,令,易证是上的减函数.因此,当时,,故.当时,恒成立,即,因此,当时,所以.综上所述,.本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识,考查分类讨论思想、转化思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,该题综合性强,难度大,对能力要求较高.20.(1);(2).【解析】
(1)首先对函数求导,根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围;(2)首先求出的值,再根据求出实数a的取值范围.【详解】(1)函数的定义域为是,,若有两个极值点,则方程一定有两个不等的正根,设为和,且,所以解得,此时,当时,,当时,,当时,,故是极大值点,是极小值点,故实数a的取值范围是;(2)由(1)知,,,则,,,由,得,即,令,考虑到,所以可化为,而,所以在上为增函数,由,得,故实数a的取值范围是.本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性,利用函数单调性证明不等式,属于难题.21.见解析【解析】
(1)如图,连接,交于点,连接,,则为的中点,
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