高中数学第一章三角函数1.1.1任意角课件新人教A版必修

第一章三角函数任意角和弧度制任意角目标导航课标要求1.了解任意角的概念及角的分类.2.理解象限角的概念.3.理解终边相同角的含义,并能熟练写出终边相同的角的集合表示.素养达成1.通过任意角、象限角及终边相同的角等有关概念的学习,逐步形成数学抽象、直观想象的核心素养.2.通过对角有关概念的探究和应用提高逻辑推理能力,增强应用意识.新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.任意角的概念与分类(1)角的概念:角可以看成是平面内一条

绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线(2)角的表示:如图,①顶点:射线的端点O;②始边:射线的起始位置OA;③终边:射线的终止位置OB.(3)角的分类:按照旋转方向可将角分为如下三类:正角:按

时针方向旋转形成的角;负角:按

时针方向旋转形成的角;零角:一条射线

作任何旋转形成的角.思考1:零角的始边与终边重合,如果一个角的终边和始边重合,那么这个角一定是零角吗?提示:不一定.若角的终边未作旋转,则这个角是零角;若角的终边作了旋转,则这个角不是零角.如360°角.2.象限角在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的

在第几象限就是第几象限角.如果角的

落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.逆顺没有终边终边思考2:把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,旋转该角,则其终边(除端点外)可能落在什么位置?提示:终边可能落在坐标轴上或四个象限内.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=

,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个

的和.{β|β=α+k·360°,k∈Z}周角名师点津(1)准确认识终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内(而且只有这样的角)可以用式子α+k·360°,k∈Z表示.在运用时,需注意以下几点:①k是整数,这个条件不能漏掉;②α是任意角;③k·360°与α之间用“+”号连结,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)(k∈Z);④终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.(教师备用)提醒:一般地,终边相同的角的表达式形式不唯一,可利用图形来验证,如α=90°+k·180°与β=-90°+k·180°(k∈Z)都表示终边在y轴上的角.(2)象限角及终边落在坐标轴上的角的集合表示①象限角的集合:第一象限角的集合:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z};第二象限角的集合:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z};第三象限角的集合:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z};第四象限角的集合:{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}.②终边落在坐标轴上的角的集合:a.终边落在x轴的非负半轴上的角的集合:{α|α=k·360°,k∈Z};b.终边落在x轴的非正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+180°,k∈Z};c.终边落在y轴的非负半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+90°,k∈Z};d.终边落在y轴的非正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+270°,k∈Z};e.终边落在x轴上的角的集合:{α|α=k·180°,k∈Z};f.终边落在y轴上的角的集合:{α|α=k·180°+90°,k∈Z};g.终边落在坐标轴上的角的集合:{α|α=k·90°,k∈Z}.课堂探究·素养提升题型一象限角的判定[例1]

已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角.(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.解:作出各角,其对应的终边如图所示:(1)由图可知:-75°是第四象限的角;(2)由图可知:855°是第二象限的角;(3)由图可知:-510°是第三象限的角.方法技巧象限角的判定方法(1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系;(2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内,在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.即时训练1-1:已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,指出在0°～360°范围内与其终边相同的角,并指出它们是第几象限的角.(1)360°;(2)1440°.解:作出各角的终边如图所示(1)360°=0°+1×360°,所以在0°～360°范围内,与360°终边相同的角是0°.(2)1440°=0°+4×360°,所以在0°～360°范围内,与1440°终边相同的角是0°.以上两个角的终边落在x轴的非负半轴上,是不属于任何象限的角.[备用例1]

在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.解:(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因为650°=360°+290°,所以在0°～360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°～360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.题型二终边相同的角[例2]

已知角α=2020°.(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;解:(1)由2020°除以360°,得商为5,余数为220°.所以取k=5,β=220°,α=5×360°+220°.又β=220°是第三象限角,所以α为第三象限角.(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.方法技巧(1)把任意角化为α+k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法;(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.解析:由于y=-|x|的图象是三、四象限的平分线,故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°,从而角α的集合为S={α|α=k·360°+225°或α=k·360°+315°,k∈Z}.即时训练2-1:若角α的终边和函数y=-|x|的图象重合,试写出角α的集合.题型三区域角的集合表示[例3]

已知,如图所示.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由图可知,阴影部分角的集合是由所有介于[-30°,135°]之间的与之终边相同的角组成的集合,故该区域可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.方法技巧表示区间角的三个步骤第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应角α和β,写出最简区间{x|α<x<β};第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.解:在-180°～180°内落在阴影部分角集合为大于-45°小于45°,所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|-45°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.即时训练3-1:写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.[备用例2]

已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),试写出角α的集合.解:在0°～360°范围内,终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}∪{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}.题型四易错辨析纠错:致错原因是把α是第二象限角范围误认为是大于90°而小于180°,而应是{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}才完整.正解:(1)由题意得90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),①所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z).故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角.课堂达标解析:一条射线绕着端点顺时针旋转240°所形成的角是-240°,故选D.1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(

)(A)120° (B)-120° (C)240° (D)-240°D解析:由终边相同角的概念知①②③④都正确,故选D.2.以下说法,其中正确的有(

)①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个D3.(2019·大港区月考)在0°～360°范围内,与-950°终边相同的角是

.

解析:-950°=-3×360°+130°,所以在0°～360°范围内,与-950°终边相同的角是130°.答案:130°解析:①-330°