直线与圆圆与圆的位置关系（十大题型）（原卷版）

2．5直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．知识点二：圆的切线方程的求法1、点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是．知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点四：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【典型例题】题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系例1．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定例2．（2023·高二课时练习）直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定例3．（2023·全国·高二期中）直线和圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定变式1．（2023·河南商丘·高二校考阶段练习）已知直线和圆，则下列结论错误的是（

）A．直线恒过定点B．存在使得直线与直线垂直C．直线与圆总相交D．存在直线被圆截得的弦长为6变式2．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定变式3．（2023·江苏·高二专题练习）如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“乌巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】直线与圆的位置关系判断方法法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标例4．（2023·全国·高二期中）若直线l：与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．例5．（2023·河南南阳·高二统考阶段练习）若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（

）A． B．C． D．例6．（2023·安徽淮南·高二校考阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式4．（2023·江苏·高二专题练习）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（

）A．2 B．0C．1 D．3变式5．（2023·江苏·高二专题练习）直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式6．（2023·高二课时练习）已知直线与圆相交于，两点，则的值为（

）A． B．16 C． D．8【方法技巧与总结】直接联立求解．题型三：切线与切线长问题例7．（2023·高二课时练习）过点作圆：的切线，切线的方程为．例8．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则．例9．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则．变式7．（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的切线，则切线的方程为.变式8．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）写出过点且与圆相切的一条直线方程.变式9．（2023·江苏·高二专题练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为.变式10．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上．过原点引圆C的切线，则切线长为．变式11．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆相切，则.变式12．（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知点，则的内切圆的方程为．【方法技巧与总结】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．题型四：弦长问题例10．（2023·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考阶段练习）已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是．例11．（2023·江苏·高二专题练习）圆与直线相交于，两点，则．例12．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为.变式13．（2023·浙江杭州·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）直线l：与圆C：交A，B两点，若D为圆C上一点，且为等边三角形，则r的值为.变式14．（2023·高二课时练习）若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为，则a＝．变式15．（2023·江苏·高二专题练习）过点引一条直线交圆于两点，若，则直线的方程为．变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为.变式17．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为．【方法技巧与总结】弦长问题=1\*GB3①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．=2\*GB3②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．=3\*GB3③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．题型五：判断圆与圆的位置关系例13．（2023·高二课时练习）圆和圆的公切线的条数为（）A． B． C． D．例14．（2023·北京昌平·高二校考期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切例15．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）在直角坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为4的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条变式18．（2023·江苏·高二专题练习）圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．外离变式19．（2023·江苏·高二专题练习）圆和圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交C．相切 D．内含【方法技巧与总结】已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含；题型六：由圆的位置关系确定参数例16．（2023·江西·高二南昌市第十七中学校联考阶段练习）已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例17．（2023·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）已知圆与圆相交，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例18．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．变式20．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知圆和两点，圆C上若存在点P，使得，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4变式21．（2023·全国·高二阶段练习）已知圆的半径为，圆心在直线上．点，．若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（

）A． B． C． D．变式22．（2023·江苏·高二专题练习）已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可．题型七：公共弦与切点弦问题例19．（2023·高二课时练习）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为.例20．（2023·高二课时练习）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为．例21．（2023·江苏·高二专题练习）圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为．变式23．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为.变式24．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则变式25．（2023·高二课时练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为．变式26．（2023·安徽芜湖·高二期末）在平面直角坐标系中，过点，向圆C：引两条切线，切点分别为，则直线过定点．变式27．（2023·江苏·高二专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为．变式28．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为．变式29．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）过点作圆的切线，切点为，，点为圆上任意一点，则三角形面积的最大值为．变式30．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆：，则过点作的圆的切线，切点分别为A､B，则直线AB方程为【方法技巧与总结】（1）圆的切线方程的求法=1\*GB3①点在圆上，法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．=2\*GB3②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．（3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．题型八：公切线问题例22．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆有三条公切线，则．例23．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）平面直角坐标系内，点到直线的距离分别为4和9，则满足条件的直线有条.例24．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为.变式31．（2023·江苏·高二专题练习）写出与圆和都相切的一条直线方程．变式32．（2023·江苏·高二专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.变式33．（2023·山东潍坊·高二统考期中）为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则.【方法技巧与总结】利用几何法进行转化．题型九：圆中范围与最值问题例25．（2023·全国·高二随堂练习）已知点P为圆上的动点，求点P到直线的距离的最小值.例26．（2023·全国·高二随堂练习）已知点在圆上运动，求的最大值与最小值.例27．（2023·河北保定·高二校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.(1)求圆的方程；(2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.(3)若点，当在上运动时，求的最大值和最小值.变式34．（2023·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试）已知圆：，直线：.(1)若直线与圆相切，求的值；(2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标，变式35．（2023·湖南株洲·高二校考期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动．(1)求线段的中点的轨迹方程；(2)求点到直线距离的最大值和最小值．变式36．（2023·浙江·高二校联考期中）已知在梯形中，，，，，为中点.(1)求直线的方程；(2)求的外接圆的方程及该圆上一点到点的距离的最小值.变式37．（2023·江苏·高二专题练习）已知实数满足方程，求的最大值和最小值．变式38．（2023·全国·高二期中）（1）如果实数x，y满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数x，y满足方程，求的取值范围．变式39．（2023·湖北黄冈·高二统考期中）已知圆，直线.(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.变式40．（2023·湖北·高二校联考期中）已知圆的方程；(1)求的范围；(2)已知，，，P为圆上的动点，求的最大值．变式41．（多选题）（2023·四川成都·高二校联考阶段练习）已知向量满足.设，则（）A．的最小值为B．的最小值为C．的最大值为D．无最大值变式42．（多选题）（2023·福建宁德·高二统考期中）已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（

）A．圆的半径为2 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为6变式43．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知点，且点P在圆C：上运动，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为5C．的最大值为D．当最大时，变式44．（多选题）（2023·江苏·高二专题练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（

）A．的范围是 B．的范围是C．的最大值为1 D．的范围是【方法技巧与总结】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题题型十：圆系问题例28．（2023·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程．例29．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点．（1）求公共弦AB所在的直线方程；（2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．例30．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．变式45．已知圆与圆相交于A、B两点．（1）求公共弦AB所在直线方程；（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．【方法技巧与总结】圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系【过关测试】一、单选题1．（2023·江西九江·高二九江外国语学校校考阶段练习）已知两点到直线的距离都等于，则满足条件的直线有（

）条？A． B． C． D．2．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）实数满足,则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·浙江杭州·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）点在圆上运动，则的取值范围（

）A． B． C． D．4．（2023·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考阶段练习）过点与圆相切的两条直线垂直，则（

）A． B． C． D．45．（2023·河南周口·高二校联考期中）在轴上的截距分别为的直线被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．6．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．7．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最大值为（

）A．7 B．6 C．5 D．48．（2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·广西·高二桂林中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，直线与圆相切于点，直线与轴、轴分别交于点.下列说法正确的是（

）A．B．C．D．若是圆上的动点，则的最大值是10．（2023·江西·高二南昌市第十七中学校联考阶段练习）已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．若点在圆的内部，则B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是C．若圆外切，则D．过点作圆的切线，则的方程是或11．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）圆和圆的交点为，则有（）A．公共弦所在直线方