江苏省沭阳县华冲高级中学2025届高三下学期第三次联合考试（期末）数学试题（文理）含解析

江苏省沭阳县华冲高级中学2025届高三下学期第三次联合考试（期末）数学试题（文理）考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A． B． C． D．2．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB>90°的概率为π8A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．¬q3．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）A． B． C． D．14．设全集，集合，则＝()A． B． C． D．5．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（）A． B． C． D．6．设、，数列满足，，，则（）A．对于任意，都存在实数，使得恒成立B．对于任意，都存在实数，使得恒成立C．对于任意，都存在实数，使得恒成立D．对于任意，都存在实数，使得恒成立7．设双曲线（，）的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，且椭圆的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．8．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（）A． B． C． D．10．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（）A．5 B．11 C．20 D．2511．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]12．（）A． B． C．1 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.14．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.15．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．16．某校初三年级共有名女生，为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证：（1）直线平面EFG；（2）直线平面SDB.19．（12分）已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）求函数的零点个数．20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．21．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.（1）若，证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.22．（10分）在中，．（1）求的值；（2）点为边上的动点（不与点重合），设，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果，故概率.故选：B.古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.2．B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16，即命题p是错误，则¬p是正确的；在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。3．C【解析】

连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．【详解】如图，MN为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故选：C．本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.【详解】由解得，故，所以，故选A.本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5．A【解析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选：A本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题6．D【解析】

取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.【详解】取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，因为当时，数列单调递增，则；当时，数列单调递减，则；所以要使，只需要，故，化简得且.故选：D．本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．7．B【解析】

设双曲线的渐近线方程为，与抛物线方程联立，利用，求出的值，得到的值，求出关系，进而判断大小，结合椭圆的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为，代入抛物线方程得，依题意，，椭圆的焦距，，双曲线的标准方程为.故选:B.本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.8．A【解析】

首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【详解】由于为上的减函数，则有，可得，所以当最小时，，函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，等价于函数与的图像有两个交点．画出函数的简图如下，而函数恒过定点，数形结合可得的取值范围为．故选：A.该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.9．C【解析】

首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方，其面积为9，五边形的面积为，所以此点取自朱方的概率为.故选：C本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.10．D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，又，，为三角形的三边长，且最大内角为，由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.11．B【解析】

作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．故选：B．本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．12．A【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】，，因此，.故选：A.本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．8（写为也得分）【解析】

由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.14．【解析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，，，，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故答案为：.本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.15．【解析】

由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．【详解】∵，∴，解得或，时，满足题意，时，，方向相反，不合题意，舍去．∴．故答案为：1．本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．16．【解析】

根据数据先求出，再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解：，.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为：.本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1);(2).【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得．又因为，，所以．又因为，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因为，解得.因为，所以.18．（1）见解析（2）见解析【解析】

(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.(2)证明与即可.【详解】（1）连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．（1）；（2）极小值；（3）函数的零点个数为．【解析】

（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.【详解】（1）因为，所以．所以，．所以曲线在点处的切线为；（2）因为，令，得或．列表如下：0极大值极小值所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，当时，函数有极小值；（3）当时，，且．由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣