2024年新高考高三数学复习阶段性复习：对数函数B卷 （解析版）

对数函数B卷（解析版）

（本试卷满分60分，建议用时：40分钟）

一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.设。=log23涉=log34.5,c=log46,贝1J（）

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【答案】C

33

【解析】a=log23>log22V2=log22+log2,/?=log34.5<log33A/3=log33+log3\/3=-,所以

39(3=l+log|,c=log6=logj43333

a>->b,又，=log3不=log33x—34x—nl+logq，因10g3j〉10g45,

22I22

所以

综上，a>b>c.

故选C.

2.设xeR,用国表示不超过x的最大整数，则尸田称为高斯函数，例如:[-0.3]=-1,[1刁=1.已知

函数〃x）=log2x+2）若x=4r«l,3）,则函数y=〃x）的值域为（）

A.（2,5）B.{2,5}C.{3,5}D.{5,8+log23}

【答案】B

1

【解析】当1</<2时,x=[f]=l,A/(x)=log2l+2=2,当2W/<3时,x=[f]=2,

/（%）=log22+2」=1+4=5,.•.函数y=f（x）的值域为{2,5}.

故选B.

3.19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个

世纪后，物理学家本・福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数

约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量人进制随机数据中，以“开头的数出现的概率为

g（"）=log,%」，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检

n

验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若士片o（"）=*2：-噜3（%eN*,左420）,则左的值

5

n=kl+10g2

为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

20"+]〃+22121

【解析】依题意，得£/(")=%伏)+6。(左+D++^o(2O)=lg—+lg—++坨/=想丁，又

SkK+120k

故选B.

4.已知命题P：任意xeg,2,使log；x-glog2X-3V。为真命题，则实数机的取值范围为（）

(f2]B.(-oo,-2]C.[-2,2]D.[-2,+oo)

【答案】C

【解析】设UlogzX,则原命题等价于：任意使/一根/一3Vo为真命题，所以

（厂—mt—3jV0,其中fe[—1,1],设/⑺=—3（—1<二<1）,则函数/（。=厂—租7—3,te[—1,1]

的最大值为/,T、与"，1、中的较大者，所以17:（，-1）4八0，•.•f（l+m-3“<0八，解得—2<m<2.

[j[1）<0[l-m-3<0

故选C.

二、多项选择题（本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

5.已知函数〃%）=1。4（7?看-x）+3.则下列说法正确的是（）

A.f（l）+/（-l）=6B.函数/（x）的图象关于点（0,3）对称

C.函数/（X）在定义域上单调递增D.若实数。，6满足/（。）+/。）>6,贝iJa+6<0

【答案】ABD

【解析】对于A选项，/(1)+/(-1)=log(#7T-l)+3+log

2+1+1+3=6故A正确;

对于B选项，对任意的XER,y/x2+l+x>\x\-x>0,所以函数/（%）=ln（J%2+i一q+3的定义域为R,

fk-x）+f{x）=InQs[+l+x）+3+ln（Vx2+l一x）+3=ln（.r2+l-x2）+6=6,所以函数的图象关于点

（0,3）对称，故B正确；

对于C选项，对于函数Mx）=ln（7Z7I-x）,该函数的定义域为R,

/z(-%)+〃(%)=­)=ln(%2+i_%2)=0,即力(_九)=_"(%),所以函数为奇函

数，当xNO时，内层函数+］+x为减函数,外层函数y=ln〃为增函数，所以函数网力

在［0,+8)上为减函数，故函数%(%)在(-8,0］上也为减函数，因为函数%(%)在R上连续，故函数/z(x)在R

上为减函数，又因为函数y=尤+3在R上为增函数，故函数/(X)在R上为减函数，故C不正确；

对于D选项，因为实数a,。满足〃a)+〃6)>6,贝厅(。)>6-/0)=/(-6),因为〃x)在定义域上单

调递减，可得。<-)，即。+6<0,故D正确.

故选ABD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)

6.已知实数”，。满足2"=5"=加且!+：=：，则〃7=________.

ab2

【答案】100

【解析】由2"=5"=^可得。=108，相,6=1085"?=>1=108,,2,：=108”,5,又,+?=!，即

abab2

log,„2+logm5=logra10=1,所以/=10，即m=100.

故答案为100.

7.已知定义在{xwR|*wO}上的函数/(x)具备下列性质，①〃元)是偶函数，②/(X)在(。,+巧上单调递

增,③对任意非零实数X、)都有外孙)=〃x)+〃y),写出符合条件的函数〃x)的一个解析式

(写一个即可).

【答案】f(x)=1n\x\(答案不唯一)

【解析】函数/(》)=M忖的定义域为{xeR|x*0},对任意的xe{xeR|x20},f(-x)=In|-A|=ln|x|=/(x),

即函数〃x)=lnW为偶函数，/(x)=h国满足①;

当尤>0时，/(x)=lnx,则函数/(x)=lnW在(0,+功上为增函数，〃x)=ln|N满足②；对任意的非零实

数x、y，f(xy)=ln|Ay|=ln|x|+ln|y|=/(x)+/(y),“耳=1川工满足③.

故满足条件的一个函数解析式为/(力=山忖.

故答案为〃x)=lnW(答案不唯一).

8.若/(尤)=lna++6是奇函数，贝1］。=,b=.

【答案】-1,In4

4

【解析】因为/（x）=In。+丁匚+6是奇函数，所以其定义域关于原点对称，由"+可得，

2-尤2-x

（2-x）（2a+l—依）*0,所以无=卫1=-2,解得所以函数的定义域为（口,-2）（-2,2）1（2,+s）,

a4

因为/（X）在x=o处有定义，即/（0）=。，所以ln，+6=0,解得6=ln4.

4

故答案为ln4.

4

四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9.已知函数/（x）=log“（x—1）+2（a>0,且ami）的图象过定点P.

（1）求P的坐标；

（2）若/'（尤）在［2,4］上的图象始终在直线y=-尤+8的下方，求。的取值范围.

【解析】（1）令>2,则/⑵=log“l+2=2,所以尸的坐标为（2,2）.

（2）当％=2时，y=6,当％=4时，y=4.

当a>l时,/（x）在［2,4］上单调递增,则〃4）=log〃3+2<4,得">有；

当。<”1时，〃x）在［2,4］上单调递减，〃4）=log13+2<4恒成立.

故。的取值范围为（0，l）u（6，+s）.

10.已知定义在R上的奇函数/（x）=藁言，（其中孤”为常数）.

（1）求实数以〃的值；

（2）求不等式八/。））+/匕）<0的解集.

【解析】（1）因为/（x）是定义在R上的奇函数，所以"0）=0,即学生=0,所以m=1,经检验符合题