人教版数学九年级上册知识点总结

九年级数学（上）知识要点第15页共18页第21章一元二次方程21.1一元二次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程，叫做一元二次方程．判别一个方程是不是一元二次方程，必须满足①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不能为0。2．一元二次方程的一般形式为：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，注意各项系数的符号。21.2.1配方法1．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。2．当P≥0时，x2=p的解为，（mx+n）2=p的解为(m≠0)．3．通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法。4．配方法一般步骤：(1)化二次项系数为l，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，写成(mx+n)2=p的形式；(3)若p≥0，则可直接开平方求出方程的解，若p＜0，则方程无解．21.2.2公式法1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)成立的条件是a≠0，它的求根公式是。2．用公式法解一元二次方程的思路应是：(1)将方程化成一般形式；(2)写出相应的a、b、c的值并计算△的值；(3)当△≥0时，可直接套用公式得出方程的解。3．一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)(1)当b2-4ac＞0时，有两个不相等的实数根；(2)当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根；(3)当b2-4ac＜0时，没有实数根。21.2.3因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。2．用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)方程的一边化为0；(2)将方程另一边分解成两个一次因式的积的形式；(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2，那么x1+x2=，x1x2=．2．在应用根与系数关系式时应注意两个条件：(l)二次项系数不为0。(2)△≥0。21.3实际问题与一元二次方程1．列方程解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意，明确问题中的已知量和未知量；(2)设：设未知数，可以直接设也可以间接设；(3)列：依题意构建方程；(4)解方程，求出未知数的值；(5)检验作答．2．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合实际意义。3．面积问题：求不规则图形的面积问题，往往把不规则图形转化成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程。4．利润=（售价-进价）×销售量。利润率=第22章二次函数22.1.1二次函数一般地，形如_y=ax2+bx+c(a≠0)_（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中__x_是自变量，a、b、c分别是函数解析式的_二次__项系数、_一次__项系数、常数__项。22.1.2二次函数y=ax2图象和性质1．二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，其对称轴为y轴，顶点坐标为原点。2．抛物线y=ax2与y=-ax2关于x轴对称。抛物线y=ax2，当a>0时，开口向上，顶点是它的最低点；当a<0时，开口向下，顶点是它的最高点。随着的增大，开口越来越小。22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质1．二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线．它与抛物线y=ax2的形状相同，只是顶点位置不同，它的对称轴为y轴，顶点坐标为(0,k)__。2．二次函数y=ax2+k的图象可由抛物线y=ax2平移得到．当k>0时，抛物线y=ax2向上平移k个单位得y=ax2+k。当k<0时，抛物线y=ax2向__下__平移个单位得y=ax2+k。22.1.3二次函数y=a（x-h）2的图像和性质1．二次函数y=a（x-h）2的图象是抛物线，它与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同；它的对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,0)．2．二次函数y=a（x-h）2的图象可由抛物线y=ax2平移得到。当h>0时，抛物线y=ax2向右平移h个单位得y=a（x-h）2；当h<0时，抛物线y=ax2向左平移个单位得y=a（x-h）2。22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质1．二次函数y=a（x-h）2+k的图象是抛物线，它与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同；其对称轴为直线x=h，顶点坐标为__(h,k)。2．二次函数y=a（x-h）2+k，当a>0时，开口向上，有最小值为k，在对称轴的左侧，y随x的增大而减少，右侧相反；当a<0时，恰好相反。3．把抛物线y=ax2'向左（或右），向上（或下）平移，可得到抛物线y=a（x-h）2+k，其平移方向和距离由h，k值决定．22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方可化为的形式，它的对称轴是，顶点坐标是，当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而___减小_。2．二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=ax2的图象形状相同，只是位置不同；y=ax2+bx+c的图象可以看成y=ax2的图象上、下平移或左、右平移得到的。3．一般式y=ax2+bx+c：已知图象上任意三点坐标或三对x、y值，分别代入一般式，可以求得函数解析式。4．顶点式y=a（x-h）2+k：已知抛物线顶点坐标和另一点坐标，可求得解析式。5．交点式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是图象与x轴两交点的横坐标，还需要一个异于交点的点的坐标，适合此特点的抛物线设为交点式可求得解析式。22.2二次函数与一元二次方程1．一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当y=0时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标。2．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点（即顶点在x轴上）；当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。3．抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a、b、c之间的关系：(1)当a>0时开口向上，当a<0时开口向下。(2)若对称轴在y轴的左边，则a、b同号；若对称轴在y轴的右边，则a、b异号；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c＞0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c＜0；若抛物线经过原点，则c=0。22.3实际问题与二次函数1．求二次函数y=ax2+bx+c最值的方法：(1)用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x=h时，函数y有最大（小）值为k；(2)用公式法，当x=时，二次函数y有最大（小）值2．面积最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量，建立二次函数模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围。3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。第23章旋转23.1图形的旋转１．图形旋转的定义：把一个图形绕着平面内某一点O转动一定的角度就叫做图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角度叫作旋转角。2．图形旋转的性质：(l)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等(或重合)。3．在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了应了解图形原来的位置外，还应了解旋转中心、旋转方向和旋转角。4．旋转作图的步骤：(1)首先确定旋转中心、旋转方向和旋转角；(2)其次确定图形的关键点；(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；(4)连接对应点，形成相应的图形。23.2.1中心对称1．把一个图形绕着点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于点O对称或中心对称，点O叫作对称中心，这两个图形中的对应点叫作关于中心的对称点。2．中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，而且被对称中心平分，中心对称的两个图形是全等图形。23.2.2中心对称图形1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2．如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形的整体就是中心对称图形；反过来，如果将一个中心对称图形沿过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。23.2.3关于原点对称的点的坐标1．若P(x，y)与P’关于原点对称，则P’的坐标为(-x，-y)；2．点P(x，y)，P1(-x，y)，P2(x，-y)，P3(-x，-y)．则点P与点P1的关系是关于y轴对称，点P与点P2的关系是关于x轴对称，点P与点P3的关系是关于原点对称。第24章圆24.1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点所形成的图形叫作圆。这个固定的端点O叫作圆心，线段OA叫做半径。2．连接圆上任意两点间的线段叫作弦，圆上任意两点间的部分叫作弧，直径是经过同圆心的弦，是圆中最长的弦。3．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是圆心，二是半径，圆心确定位置，半径确定大小。24.1.2垂直于弦的直径1．圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的直线；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心。2．垂直于弦的直径的性质定理是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。24.1.3弧、弦、圆心角1．顶点在圆心的角叫作圆心角．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也相等。24.1.4圆周角1．顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角．2．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。4．如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作多边形的外接圆圆内接四边形对角互补。24.2.1点和圆的位置关系1．如图，⊙O的半径为r．(1)点d在⊙O外，则OA＞r；点B在⊙O上，则OB=r；点C在⊙O内，则OC＜__r。(2)若OA>r，则点d在⊙O外；若OB=r，则点B在⊙O上；若OC<r，则点C在⊙O内。2．在同一平面内，经过一个点能作无数个圆；经过两个点可作无数个圆，经过不在同一直线上的三个点只能作一个圆。3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是三边垂直平分线的交点。4．反证法首先假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设错误，从而得到原命题成立。24.2.2直线和圆的位置关系1．直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系；2．直线a与⊙O有唯一公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O有两个公共点，则直线b与⊙O相交；直线c与⊙O没有公共点，则直线c与⊙O相离。3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：(1)直线l1与⊙O相离，则d＞r；(2)直线l2与⊙O相切，则d=r；(3)直线l3与⊙O相交，则d＜r。4．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。5．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。6．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。7．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。8．与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，圆心叫作三角形的内心，它是三角形三内角平分线的交点。＊圆和圆的位置关系在同一平面内，两个半径不同的圆之间有下列五种位置关系：内含内切相交外切外离内含内切相交外切外离如果两圆的半径分别为r1和r2（r1＜r2），圆心距为d，则:当两圆外离时_d＞r1+r2；当两圆外切时__d=r1+r2__；当两圆相交时r2-r1＜d＜r1+r2_；当两圆内切时_d=r2-r1；当两圆内含时_0≤d＜r2-r1。24.3正多边形和圆1．__各边相等__、__各角相等__的多边形是正多边形。2．只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。3．一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。4．一股地，正n边形的一个内角的度数为，中心角的度数等于，正多边形的中心角与外角的大小相等。24.4弧长和扇形面积1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C=，所以n°的同心角所对的弧长为l=。2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积s=，所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形=。3．用弧长表示扇形面积为，其中l为扇形弧长，R为半径。4．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线。5．圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的母线是扇形的半径，圆锥底面圆的周长是扇形的弧长，圆锥侧面积是扇形的面积。6．如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径是l，扇形的弧长是2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，h、r、l之问满是的关系式为。第25章概率初步25.1.1随机事件１．在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件。2．在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件。3．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。4．生活中的事件可分为确定性事件和随机事件，其中确定性事件又分为必然事件和不可能事件。25.1.2概率1．一