《通信原理》课件第9章

第9章数字信号的最佳接收9.1引言9.2匹配滤波器9.3最佳接收机结构及其抗噪声性能习题9.1引言数字通信系统的任务是传输数字信息。发端将数字信息变换成适合信道传输的信号，接收端根据收到的信号判决出原数字信息。由于噪声、干扰的存在，接收机在判决时会发生错误，产生误码。不同的接收方法有不同的误码性能(如2ASK相干解调的误码率就不同于包络解调的误码率)。能使误码率最小的接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接收机。“最佳”是个相对概念，不同条件、不同要求下的最佳接收机是不同的。如白噪声信道的最佳接收机在瑞利衰落信道中就不是最佳的。本章讨论高斯白噪声信道中二元数字信号的最佳接收机结构及其性能。

线性滤波器对接收信号进行某种处理，输出某个物理量提供给判决电路，以便判决电路对接收信号中所包含的某个发送信号作出尽可能正确的判决，或者说作出错误判决的可能性尽量小，那么为了使判决电路能达到这种要求，线性滤波器应当对接收信号作什么样的处理呢？理论和实践都已证明：在白噪声干扰下，如果线性滤波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪声平均功率之比达到最大，就可以使判决电路出现错误判决的概率最小。这样的线性滤波器称为匹配滤波器。所以，匹配滤波器是最大输出信噪比意义下的最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波器接收机。在白噪声条件下，这样的接收机能得到最小的误码率。本章将围绕数字信号的最佳接收展开讨论，主要内容有最佳接收机结构及其抗噪声性能。图9.1.1简化的接收机结构9.2匹配滤波器9.2.1匹配滤波器的传输特性H(f)匹配滤波器如图9.2.1所示，现在来推导匹配滤波器的传输特性H(f)。图9.2.1匹配滤波器示意图设匹配滤波器的输入信号为x(t)，x(t)是由接收信号s(t)和噪声n(t)两部分构成，即x(t)=s(t)+n(t)其中，n(t)是白噪声，其双边功率谱密度为Pn(f)=no/2，而信号s(t)的频谱函数为S(f)。根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出y(t)也由信号so(t)和噪声no(t)两部分构成，即y(t)=so(t)+no(t)设so(t)的频谱为So(f)，根据信号与系统理论得So(f)=S(f)H(f)求So(f)的傅氏反变换，可得到输出信号so(t)为

(9-2-1)输出噪声no(t)的功率谱密度为根据式(9-2-1)，t0时刻的输出信号值为

则在t0时刻输出信号的瞬时功率为

(9-2-2)

而输出噪声的平均功率为(9-2-3)那么，根据式（9-2-2）、（9-2-3）得到在时刻t0上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均功率的比值为(9-2-4)由式(9-2-4)可看出，输出信噪比ro与滤波器的传输特性H(f)密切相关。应用许瓦兹不等式可以得到，当(9-2-5)时，输出瞬时信噪比达最大值

(9-2-6)式中k为常数，可任意选取， 为输入信号的能量。式（9-2-5）所示即为匹配滤波器的传输性，它与输入信号频谱的复共轭成正比，其名称由此得来。9.2.2匹配滤波器的冲激响应h(t)根据传输特性H(f)与冲激响应h(t)是一对傅氏变换，由式(9-2-7)可得匹配滤波器的冲激响应h(t)为

当输入信号s(t)为实信号时，有S*(f)=S(-f)。因此

(9-2-7)由式(9-2-8)可知，匹配滤波器的冲激响应h(t)是输入信号s(t)对纵轴的镜像s(-t)在时间上延迟了t0。图9.2.2中，(a)和(b)分别为s(t)和它的镜像s(-t)，(c)、(d)、(e)是t0取不同值时的h(t)。图9.2.2匹配滤波器的冲激响应由于t0是取样时刻，所以从提高传输速率考虑，t0应尽可能小。但是h(t)是匹配滤波器的冲激响应，从物理可实现性考虑，当t<0时，应有h(t)=0。因此t0<t2时的匹配滤波器是物理不可实现的，必须要求t0≥t2，如图9.2.2(d)、(e)所示。综合上述两个方面考虑，应取t0=t2。t2是信号s(t)的结束时间，也就是说在输入信号刚刚结束时立即取样，这样对接收信号能及时地作出判决，同时它对应的h(t)是物理可实现的。若取样时间先于信号结束时间，即t0<t2，显然是不正确的，因为输入信号还未结束，怎么可能获取输入信号的全部能量而使输出信噪比最大呢？9.2.3匹配滤波器的输出波形so(t)匹配滤波器的输入信号为s(t)，冲激响应为h(t)=s(t0-t)，匹配滤波器的输出等于输入信号与冲激响应的卷积，即上式中，Rs(t0-t)是s(t)的自相关函数，根据自相关函数是偶函数的特性，即有

so(t)=kRs(t-t0)

(9-2-8)式(9-2-8)说明匹配滤波器的输出信号在形式上与输入信号的时间自相关函数相同，仅差一个常数因子k，以及在时间上延迟t0。从这个意义上来说，匹配滤波器可以看成一个计算输入信号自相关函数的相关器。

我们知道，自相关函数Rs(t-t0)的最大值是Rs(0)。从式(9-2-8)可得，匹配滤波器的输出信号so(t)在t=t0时达到最大值，为

这个结果再次说明，在t0时刻之前，匹配滤波器对输入信号进行处理，从而在t0时刻形成输出信号的峰值。图9.2.3信号波形

例9.2.1

已知信号s(t)如图9.2.3中(a)所示，求与之匹配的滤波器的传输特性和输出信号波形。

解根据式(9-2-7)，与s(t)匹配的匹配滤波器的冲激响应h(t)为

h(t)=ks(t0-t)=ks(τ0-τ)匹配滤波器的传输特性H(f)是冲激响应h(t)的傅氏变换，所以

求传输特性H(f)的另一方法是先求出信号s(t)的频谱函数S(f)

再根据式(9-2-5)得

由式(9-2-8)可知，匹配滤波器的输出信号

例9.2.2

已知s(t)如图9.2.4（a）所示，求对应的匹配滤波器的冲激响应及输出信号波形。图9.2.4例9.2.2匹配滤波器冲激响应和输出波形解根据式（9-2-8）得式中t0取为T，即如图9.2.4（b）所示。根据式(9-2-8)，得较为复杂的运算，当f0较大时，so(t)近似为其波形示意图如图9.2.4（c）所示，在t=T时输出波形达到最大值。9.3最佳接收机结构及其抗操声性能9.3.1最佳接收机结构二元数字信号的最佳接收机框图如图9.3.1所示。图9.3.1用匹配滤波器实现的最佳接收机结构发送端在任意一个码元间隔Ts内发送两个波形s1(t)、s2(t)中的一个，接收机上、下两个支路的匹配滤波器分别对这两个波形匹配，所以当发送端发送波形s1(t)时，上支路匹配滤波器在取样时刻t0输出最大值kE，当发送端发送波形s2(t)时，下支路匹配滤波器在取样时刻输出最大值kE，而与接收信号不匹配的滤波器在取样时刻输出的值小于kE。所以判决器的任务是根据上、下两支路取样值的大小进行判决，如上支路取样值大，认为接收到的信号为s1(t)；如下支路取样值大，认为接收到的信号为s2(t)。由前面的分析我们知道，当接收信号为s1(t)时，上支路匹配滤波器的输出为so1(t)=kRs1(t-Ts)在Ts时对输出进行取样，取样值达最大，为(9-3-1)当接收信号为s2(t)时，下支路匹配滤波器的输出为so2(t)=kRs2(t-Ts)在Ts时对输出进行取样，取样值达最大，为(9-3-2)由式(9-3-1)、(9-3-2)可知，匹配滤波器在取样时刻的输出值so1(Ts)及so2(Ts)可以用相乘与积分这样的相关运算来求得，所以图9.3.1所示的匹配滤波器式最佳接收机可用相关器来实现，框图如图9.3.2所示。图9.3.2用相关器实现的最佳接收机结构多元数字信号的最佳接收机框图是二元数字信号最佳接收机框图的推广。如图9.3.3所示。接收机在任一码元间隔内收到s1(t)，s2(t)，…，sm(t)中的一个波形，设为si(t)，则si(t)分别与s1(t)，s2(t)，…，sm(t)相乘并积分，比较这m个积分值，不考虑噪声及其它干扰时，则第i支路的积分值是最大的，接收机判接收信号是si(t)。图9.3.3用相关器实现的多元信号最佳接收机结构9.3.2二元数字信号最佳接收机的误码率由于噪声的影响，最佳接收机在判决时也会发生错判，如发端发送s1(t)信号，接收机却判决为s2(t)信号，反之亦然。接收机发生错判的可能性大小用误码率来衡量。最佳接收机误码率的分析方法与前面介绍过的各种解调器的误码率分析方法完全相同。以图9.3.2所示的二元数字信号最佳接收机为例，来推导二元数字信号s1(t)及s2(t)等概等能量时，可推得其误码率为(9-3-3)式中，

是信号s1(t)或s2(t)的能量，是s1(t)与s2(t)的互相关系数。

在基带系统中，已讨论了单极性基带系统、双极性基带系统的误码率。在调制技术这一章中，我们也介绍了2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK各种解调方法的误码率。

1.单极性基带信号前提条件：s1(t)、s2(t)分别对应“1”码和“0”码，若“1”、“0”等概，且“1”码的能量为E1，“0”码能量为0。由于“1”码、“0”码能量不等，Es取两个能量的平均值，即Es=E1/2。单极性信号ρ=0。代入公式(9-3-3)，可得单极性信号最佳接收机的误码率为

(9-3-4)

2.双极性基带信号前提条件：“1”、“0”等概，“1”码能量为E1，“0”码能量为E2，且E1=E2。因为“1”码能量等于“0”码能量，所以Es=E1=E2，双极性信号的ρ=-1。代入公式(9-3-3)得双极性信号最佳接收机的误码率为

(9-3-5)

3.2ASK信号前提条件：“1”、“0”等概，且“1”码的能量为E1，“0”码能量为0。

2ASK信号可表示为

因此，有，所以一个码元内的平均能量为，ρ=0。代入公式(9-3-8)得2ASK信号最佳接收机的误码率为

(9-3-6)

4.2FSK信号前提条件：“1”、“0”等概，“1”码能量为E1，“0”码能量为E2，且E1=E2。

2FSK信号可表示为当选择

时，s1(t)与s2(t)正交，即

此时代入公式(9-3-8)得2FSK信号最佳接收机误码率为

(9-3-7)

5.2PSK信号前提条件：“1”、“0”等概，“1”码能量为E1，“0”码能量为E2，且E1=E2。

2PSK可表示为

此时

代入公式(9-3-8)得2PSK信号最佳接收机误码率为

(9-3-8)需要说明的是：单极性基带信号和2ASK不符合等能量的条件，我们用平均能量代入式(9-3-3)得到它们的误码率。从数学上可以证明这样得到的结论是正确的。比较式(9-3-6)、(9-3-7)、(9-3-8)可知，在no相同时，要达到2PSK的误码率，2ASK信号“1”码能量应为2PSK“1”码能量的4倍，2FSK信号“1”码能量应为2PSK信号“1”码能量的2倍。显然，2PSK信号的误码性能是最好的，2FSK信号的误码性能次之，三者之中2ASK的误码性能最差。这个结论与在一般接收机中得到的结论是一致的。

例9.3.1

设到达接收机输入端的二进制信号s1(t)及s2(t)如图9.3.4所示，输入高斯噪声功率谱密度为no/2。

(1)画出匹配滤波器形式的最佳接收机结构。

(2)确定匹配滤波器的冲激响应及输出波形。

(3)求此最佳系统的误码率。图9.3.4输入的二进制信号

解

(1)最佳接收机结构如图9.3.5所示。图9.3.5最佳接收机结构

(2)由题意得：h1(t)=s1(t0-t)=s1(T-t)h2(t)=s2(t0-t)=s2(T-t)h1(t)、h2(t)的波形如图9.3.6(a)所示。匹配滤波器输出

y1(t)、y2(t)的波形图如图9.3.6(b)所示。图9.3.6波形图

(3)两个信号能量为：

由此看出，两个信号是等能量的，即

，则

所以，系统的误码率为9.3.3最佳接收机与实际接收机误码性能比较为便于比较，现将各类系统的误码性能列于表9-4-1。由表看出，实际接收机的误码性能都明显低于最佳接收机。若要达到最佳接收机性能，显然要求输入信噪比提高1倍即提高3dB。可见，最佳接收机是优于实际接收机的。另外，实际接收机计算带宽时，我们仅以频谱的主瓣来计算，实际上带宽比此值要大，会引入更多的噪声，因此实际接收机性能比公式计算结果还要差些。习题

1．有如题1图所示的持续时间为2s的信号s(t)。在白噪声功率谱为no/2的背景下传输，用匹配滤波器检测该信号。

(1)试画出该信号的匹配滤波器冲激响应。

(2)计算该匹配滤波器的传输特性。

(3)画出匹配滤波器的输出波形。

(4)求匹配滤波器输出平均噪声功率。

(5)求匹配滤波器输出最大信噪比。题1图

2．已知矩形脉冲波形p(t)=A［U(t)-U(t-T)］，U(t)为阶跃函数。

(1)画出匹配滤波器的冲激响应。

(2)画出匹配滤波器的输