高考数学一轮复习点点练：直线与方程

点点练30—直线与方程

一基础小题练透篇

1.过点尸（、「，一2小）且倾斜角为135。的直线方程为（）

A.3x~y—4y/3=0B.x—y~\[3=0

C.尤+y-/=0D.x+y+yl3—0

2.直线/：x+$y+l=0的倾斜角的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.[2023•河北示范性高中开学考了7=3”是“直线（2%—3）x+Q+l）y+3=0与直线Q+l）x

—次+3=0互相垂直”的（）

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4.[2023•广东韶关月考]过点M（—l，-2），在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）

A.x+y+3=0

B.2x—y=0或x+y+3=0

C.y=x~l

D.x+y+3=0或y=xT

5.[2023・湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分

别为x+2y+l=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x~4y+ci=0和3x

—4y+c2=0，则匕1一3=（）

A.2小B.24C.2D.4

6.[2023•杭州市长河高级中学期中]已知直线/过点尸（2,4）,且在y轴上的截距是在

x轴上的截距的两倍，则直线/的方程为（）

A.2x—y=0

B.2x+y—8=0

C.2x—y=0或尤+2y—10=0

D.2x—y=0或2%+厂8=0

7.经过两条直线2x+3y+l=0和x—3y+4=0的交点，并且垂直于直线3尤+4y—7=0

的直线方程为.

8.[2023•宁夏银川月考]已知直线3x+4y+3=0与直线6x+〃zyT4=0平行，则它们之

间的距离是.

二|能力小题提升篇

1.[2023•江苏泰州调研]已知直线/：尤十（。11）y+2—0,h：小bx+y—0,且li±h,

则/+〃的最小值为（）

2.[2023•河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是（）

A.直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2

B.直线y=0的倾斜角和斜率均存在

C.若两直线的斜率41,依满足历=依，则两直线互相平行

D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

3.[2023•福建宁德质量检测]已知点A（—2,1）和点B关于直线/：尤+厂1=0对称，斜

率为左的直线机过点A交/于点C若AABC的面积为2,则实数左的值为（）

A.3或gB.0

C.gD.3

4.［2023•云南大理检测］设机GR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线

mx—y—%+3=0交于点尸(x,>)(点P与点A,8不重合)，贝必出8面积的最大值是()

A.2^5B.5C.1D.小

5.［2023•重庆黔江检测］在平面直角坐标系中，AABC的一个顶点是4(一3,1),NB,

ZC的平分线所在直线的方程分别为尤=0,y=尤，则直线BC的方程为.

6.［2023•云南楚雄期中］已知平面上一点M(5,0),若直线/上存在点P,使|PM=4,

则称该直线为点"的“相关直线”，下列直线中是点"的“相关直线”的是.(填序号)

①y=x+l；②y=2；③4%—3y=0；④2x—y+l=0.

I三高考小题重现篇

1.［2020•全国卷II］若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x—y—3=0的

距离为()_

A.55°，55

2.［2020.全国卷HI］点(0,—1)到直线y=Z(x+l)距离的最大值为()

A.1B.也C.小D.2

3.［北京卷］在垂面直角坐标系中，记d为点P(cosasin夕)到直线%—加厂2=0的距离.当

仇相变化时，d的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

4

4.［2019•江苏卷］在平面直角坐标系xOy中，P是曲线丫=无+;(x>0)上的一个动点，则

点P到直线x+y=0的距离的最小值是.

____________四经典大题强化篇

1.［2023•武汉调研］已知直线I经过直线2x+y—5=0与x—2y=0的交点.

(1)若点45,0)到/的距离为3,求/的方程；

(2)求点A(5,0)到I的距离的最大值.

2.在AABC中，BC边上的高所在直线的方程为x—2y+l=0,/A的平分线所在直线

的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求：

(1)点A和点C的坐标；

(2)A4BC的面积.

点点练30直线与方程

-基础小题练透篇

1.答案：D

解析：因为直线的倾斜角为135。，所以直线的斜率为左=tan135。=—1,

所以直线方程为=—（%—小），即x+y+小=0.

2.答案：D

解析：由/：x+/y+l=0可得y=一坐X—坐，所以直线/的斜率为％=

设直线/的倾斜角为a,贝Utana=一¥，因为0°%<180。，所以a=150。.

3.答案：A

解析：•.•直线（24—3）x-\~（九+1）y+3=0与直线（/+1）无一如+3=0互相垂直，

（24—3）（4+1）—A（A+1）=0,；"=3或一1,

而，=3”是“2=3或一1”的充分不必要条件，

...”=3”是“直线（2/1—3）龙+（2+1）y+3=0与直线。+1）x—b+3=0互相垂直”

的充分不必要条件，

故选A.

4.答案：B

解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x+y=a,

因为直线过点M（—1，-2），代入可得a=—3,即x+y+3=0；

当所求直线过原点时，设直线方程为y=履，

因为直线过点M（—1，-2），代入可得上=2,即2x—y=0,

综上可得，所求直线的方程为2x—y=0或x+y+3=0.

故选B.

5.答案：B

|"x+2y+1=0

解析：设直线x+2y+l=0与直线3x—4y+c2=0的交点为A，则［.,八，解

''13x-4y+c2=0

fC2+2

5o+2c?—3

得<3,故A（—不一，jo）,同理设直线x+2y+l—0与直线3x—4y+ci

？=h（r

=0的交点为B,

设直线x+2y+3=0与直线3x—4y+q=0的交点为C,

ci+6ci~9

则（

C一510

设直线x+2y+3=0与直线3x—4y+c2=0的交点为D,

C2+6C2—9

贝D(

I一510

由菱形的性质可知BOLAC,且3D,AC的斜率均存在，所以kBD》AC=-1，

ci—3。2-9C2~3CI~9

10-10__________10-10__36-(C2-C1)2

ci+2(C2+6)C2+2(ci+6)=-L即^(0-Cl)2]=—1，解得

|CL3=2声.

6.答案：D

解析：若直线/经过原点，满足条件，可得直线/的方程为y=2x,即2x—y=0；

若直线/不经过原点，可设直线/的方程为?+或=1（际0）,

74

把点P（2,4）代入可得工+—=1,解得。=4,

二直线’的方程为今+1=1,即2x+y—8=0,

综上可得直线I的方程为2x—y—0或2x+y—8=0.

故选D.

7.答案：4x—3y+9=0

5

2x+3y+l=0,357

解析：方法一由方程组-厂3什4=。，解得7即交点为（一§，§），

•••所求直线与直线3x+4y—7=0垂直，.•.所求直线的斜率为左=49.

由点斜式得所求直线方程为y—楙7=4鼻（尤+51）,即4x—3y+9=0.

方法二由垂直关系可设所求直线方程为4龙一3y+加=0,

[2x+3y+l=0,57

由方程组1_3y+4=0可解得交点为（一]，巳），代入4.r—3y+优=0,得相=9,

故所求直线方程为4A-3y+9=0.

方法三由题意可设所求直线方程为

（2元+3y+l）+A（x—3y+4）=0,即（2+九）x+（3—3%）y+l+4/l=0①

又•.•所求直线与直线3x+4y—7=0垂直，

/.3（2+%）+4（3—3A）=0,.,/=2,代入①式得所求直线方程为4x—3y+9=0.

8.答案：2

解析：•直线3x+4y+3=0与直线6x+znyT4=0平行,6元+8y—14=0可

|3~(~7)|

化为3尤+4y—7=0....它们之间的距离为=2.

^/32+42

二能力小题提升篇

1.答案：A

解析：则/b~\~a—1=0,.*.«=1一小b,

所以〃2+人2=（]—小2+b2=4b2—2y[3b+1,

二次函数的抛物线的对称轴为=坐

当匕=乎时，。2+/>2取最小值1.

故选A.

2.答案：B

解析：对于直线3x+y+2=0,令尤=0得y=—2,所以直线3x+y+2=0在y轴上的

截距为一2,故A错误；直线y=0的倾斜角为0,斜率为0,存在，故B正确；若两直线的

斜率也，无满足品=也则两直线互相平行或重合，所以C错误；若两直线的倾斜角为90。，

则它们的斜率不存在，所以D错误.

故选B.

3.答案：B

解析：设点B(x,y),则

1=0,

\x—Q,

解得则8(0,3).

卜=3,

由已知可得直线m的方程为y—1—k(尤+2),与方程尤—1=0联立,

2k3左+1

解得x人+1'>上+1

(2k

川灯FH3k.+1}-

由已知可得直线AB的方程为y-l=x+2,即y=x+3,且四|=25,

2k3左+1

贝U点。至U直线AB的距禺d=11，

所以x2y[2欣+“=2,即|1—川=|左+1](厚一1)，解得％=0.

4.答案：C

解析：动直线工+机》=0,令y=0,解得因此此直线过定点A(0,0).

动直线如一>一加+3=0,即加(x—1)+3—y=0,令x—1=0,3—^=0,解得x=l,

y=3,因此此直线过定点3(1,3).

13

当机=0时，两条直线分别为x=0,y=3,交点尸(0,3),S△用xlx3=].

当相知时，两条直线的斜率分别为一(，m,则一(巾=—1,因此两条直线相互垂直.

设|E4|=a,|尸2|=匕,

V|AB|=^/l2+32=/,.•.〃+〃=io

又〃2+b2>2ab,ab<5,

当且仅当〃=/?=小时等号成立.

.■•SAMB=1\PA\-\PB\=^的I.

综上，的面积最大值是|.

5.答案：2元一y—5=0

解析：因为NC的平分线所在直线的方程分别为尤=0,y=x,所以直线AB与直

线BC关于直线x=0对称，直线AC与直线BC关于直线y=x对称.则点A(—3,1)关于

直线x=0对称的点4(3,1)在直线8c上，点A(-3,1)关于直线y=x对称的点A"

(1,-3)也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为X=7—7,即y=2无一

1十31'

6.答案：②③

解析：①点M到直线y=x+l的距离，=3陋>4,即点〃与该直线

yjl+(—1)

上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4成立，故①不是点M

的“相关直线”.②点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离

的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM=4成立，故②是点M的“相关直线”.③

点M到直线4x—3y=0的距离d=、向;[笠9=4,即点M与该直线上的点的距离的最

小值等于4,所以该直线上存在点尸，使|PM=4成立，故③是点M的“相关直线”.④点M

到直线2x—y+l=O的距离d=J鼠=喈>%即点M与该直线上的点的距离

的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM=4成立，故④不是点M的“相关直线”.

三高考小题重现篇

1•答案：B

解析：设圆心为P(xo,州)，半径为「，・・,圆与x轴，y轴都相切，

kol=lyol=r,又圆经过点(2,1),・・.必=州=一且(2—xo)2+(1—yo)?=?、：.(r

—2)2+(r—1)2=/，解得r=1或「=5.

①r=1时，圆心则圆心到直线2x一厂3=0的距离公立=；二：)弓=¥；

②厂=5时，圆心尸(5,5),则圆心到直线2x—y—3=0的距离』=对号三表=乎.

2.答案：B

解析:方法一点(0,—1)到直线>=左(无+1)的距离为d=殴一

■y]kr+l\]k~+1

注意到F+G2Z,于是2(R+1)才+2%+1=欣+用当且仅当人=1时取等号.

即代+1|RR+1•也，所以d=^==,故点(0,—1)到直线y=k(x+1)

距离的最大值为也.

方法二由题意知，直线/：y=k(x+1)是过点尸(一1,0)且斜率存在的直线，点

0(0,-1)到直线/的最大距离在直线/与直线PQ垂直时取得，此时左=1,最大距离为|尸。|

=木.

3.答案：C

|cosQ—msin0~2\\msincos0+2\

解析:由题意可得d—

■疗+1^/m2+l

<苏+1(।9,sin<9—I?,=cos0)+2

v^Jm2+1ylm2+l

H/+lsin(6-0)+2|m1

(其中cos(p=~।,，sin9=~।.),•一iSsin(8

yjm2-^-1A/m+1A/m2+11

|2-弋相2+1自/+1+2n病+1+2_2

"―yjn^+l'*\/m2+l】yjrr^+l・••当m=0时,d

取最大值3.

4.答案：4

44

\x+x+~\2x+~

解析:通解设尸G，x+£)，尤>0,则点P到直线x+y=0的距离d=

=^/F

=4,当且仅当2x=42,即工=也r-时取等号，故点尸到直线尤+y=0的距离的最

小值是4.

444r-

优解由y=x+是(x>0)得y，=l一芦，令1—9=-1,得x=p,则当点尸的坐

标为(也，3小)时，点尸到直线x+y=O的距离最小，最小值为二=4.

四经典大题强化篇

1.