重庆市某中学2024届中考数学考试模拟冲刺卷含解析

重庆市2024学年中考数学考试模拟冲刺卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP,作射线PD,使NAPD=60。,

PD交AC于点D,已知AB=a,设CD=y,BP=x,则y与x函数关系的大致图象是（）

2.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

3.如图，四边形ABCD是菱形，NA=60。，AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，则图中阴影部分的面积是

c.兀一旦D.兀-6

2

2

4.如图，已知点P是双曲线y=一上的一个动点，连结OP,若将线段。P绕点O逆时针旋转90。得到线段OQ,

X

则经过点Q的双曲线的表达式为（）

13

C.y=——D.y=-----

3xx

5.为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（）

A.80B.被抽取的80名初三学生

C.被抽取的80名初三学生的体重D.该校初三学生的体重

6.已知点M（—2,3）在双曲线=三上，则下列一定在该双曲线上的是（）

A.（3,-2）B.（-2,-3）C.（2,3）D.（3,2）

7.如图，AB是。的直径，弦CDLAB,NCDB=30，CD=273，则阴影部分的面积为（）

712兀

A.27tB.nC.—D.——

33

8.将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中NABC=30。，A、B两点分别落在直线m、n±,Nl=20。，添加

下列哪一个条件可使直线m〃n（）

A.N2=20°B.N2=30°C.N2=45°D.N2=50°

9.益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表:

文化程度高中大专本科硕士博士

人数9172095

关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（）

A.众数是20B.中位数是17C.平均数是12D.方差是26

10.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用的时

间为t（分钟），所走的路程为S（米），5与1之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）

A.小明中途休息用了20分钟

B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C.小明在上述过程中所走的路程为6600米

D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则/仁1

12.一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为

13.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC

与水平面的夹角为60。，其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经

过的路线长为cm.

14.如图，RtAABC中，NBAC=90。，AB=3,AC=6及，点D,E分别是边BC,AC上的动点，则DA+DE的最小

值为

15.已知抛物线y=ax2+bx+c=0(a#))与x轴交于A»B两点，若点A的坐标为(-2,0),线段AB的长为8,

则抛物线的对称轴为直线.

16.如图，50是。。的直径，ZCBD=30°,则NA的度数为

17.观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第"个图案中的“[J”的个数是（用含"的代数式表示）

第1个第2个第3个第4个

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）为迎接“全民阅读日”系列活动，某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调

查.如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次共抽查了八年级学生多少人；

（2）请直接将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，1~1.5小时对应的圆心角是多少度；

（4）根据本次抽样调查，估计全市50000名八年级学生日人均阅读时间状况，其中在0.5S1.5小时的有多少人？

i国<i.5a叭

於vO.d

180^I

0.5<t<l/

日人均阅读时间~

各时间段大勘所占的百分比

19.（5分）反比例函数y=8（k和）与一次函数y=mx+b（m^O）交于点A（1,2k-1）.求反比例函数的解析式；若

X

一次函数与X轴交于点B,且AAOB的面积为3,求一次函数的解析式.

20.（8分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与

未折断树杆形成53°的夹角.树杆A5旁有一座与地面垂直的铁塔OE,测得3E=6米，塔高。石=9米.在某

一时刻的太阳照射下，未折断树杆A6落在地面的影子EB长为4米，且点尸、B、C、E在同一条直线上，点F、

A，。也在同一条直线上.求这棵大树没有折断前的高度.（结果精确到0.1,参考数据：sin53。。0.7986,

cos53°«0.6018，tan53°~1.3270).

21.(10分)如图，A(4,3)是反比例函数y=K在第一象限图象上一点，连接OA,过A作AB〃x轴，截取AB=OA

X

(B在A右侧)，连接OB,交反比例函数y=&的图象于点P.求反比例函数丫=8的表达式；求点B的坐标；求小OAP

xx

22.(10分)如图，在四边形ABCD中，NABC=90。，ZCAB=30°,DE_LAC于E,且AE=CE,若DE=5,EB=12,

求四边形ABCD的周长.

23.(12分)定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180。得到的抛物线我们称为原抛物线的“挛生抛物线”.

⑴求抛物线y=*2-2x的“李生抛物线”的表达式；

⑵若抛物线y=*2-2x+c的顶点为O,与y轴交于点C,其“李生抛物线”与y轴交于点O,请判断△的形状，并

说明理由：

(3)已知抛物线？=*2-2方-3与》轴交于点。，与x轴正半轴的交点为A,那么是否在其“挛生抛物线”上存在点P,在

y轴上存在点。，使以点A、C、P、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，说明理

由.

24.(14分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在

DE上，以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=l交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点，设运动时间为

t秒.

X

(1)求抛物线的解析式.

(2)在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向

点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.当t为何值时，APCQ为直角三角

形？

(3)在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PFLAB,交AC于点F,

过点F作FGLAD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解题分析】

根据等边三角形的性质可得出NB=NC=60。，由等角的补角相等可得出NBAP=NCPD,进而即可证出

AABP-APCD,根据相似三角形的性质即可得出y二-x2+x,对照四个选项即可得出.

a

【题目详解】

,•,△ABC为等边三角形，

AZB=ZC=60°,BC=AB=a,PC=a-x.

VZAPD=60°,ZB=60°,

JZBAP+ZAPB=120°,ZAPB+ZCPD=120°,

.\ZBAP=ZCPD,

AAABP^APCD,

CDPCya-x

：.—=—，即an上=----，

BPABxa

.•.y=_1X2+X.

a

故选c.

【题目点拨】

考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=」x?+x是解题

a

的关键.

2、C

【解题分析】

试题分析：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、4,•••4+4=4,.•.不能组成三角形，

②4是底边时，三角形的三边分别为4、4、4,能组成三角形，周长=4+4+4=4,

综上所述，它的周长是4.故选C.

考点：4.等腰三角形的性质；4.三角形三边关系；4.分类讨论.

3、B

【解题分析】

根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG之△DBH,得出四边形GBHD的

面积等于AABD的面积，进而求出即可.

【题目详解】

连接BD,

•••四边形ABCD是菱形，NA=60。,

.,.ZADC=120°,

.*.Nl=N2=60°,

/.△DAB是等边三角形,

.,•△ABD的高为

•.•扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,

Z4+Z5=60°,N3+N5=60°,

/.Z3=Z4,

设AD、BE相交于点G,设BF、DC相交于点H,

在小ABG^ADBH中，

ZA=Z2

[AB=BD,

Z3=Z4

.♦.△ABG之△DBH(ASA),

二四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，

二图中阴影部分的面积是：S扇彩EBF-SAABD=60^—--X2XV3

3602

故选B.

4、D

【解题分析】

过P，Q分别作PM，x轴，QNLx轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几

何意义确定出所求即可.

【题目详解】

过P,Q分别作PMLx轴，QNLx轴，

VZPOQ=90o,

:.ZQON+ZPOM=90°,

VZQON+ZOQN=90°,

AZPOM=ZOQN,

由旋转可得OP=OQ,

在4QON^AOPM中,

ZQNO=ZOMP=90°

<ZOQN=ZPOM,

OQ=OP

/.△QON^AOPM(AAS),

/.ON=PM,QN=OM,

设P(a,b),则有Q(-b,a),

3一一

由点P在y=—上，得到ab=3,可得-ab=-3,

x

3

则点(2在丫=-一上.

x

故选D.

【题目点拨】

此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定

系数法是解本题的关键.

5、C

【解题分析】

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则

是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象.从而找出

总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.

【题目详解】

样本是被抽取的80名初三学生的体重，

故选C.

【题目点拨】

此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总

体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.

6、A

【解题分析】

因为点M(-2,3)在双曲线：=三上，所以xy=(-2)x3=-6,四个答案中只有A符合条件.故选A

X

7、D

【解题分析】

分析：连接OD,则根据垂径定理可得出CE=DE,继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积

公式求解即可.

详解：连接0。,

'：CD±AB,

CE=DE=-CD=^3,（垂径定理），

2一

故SOCE=SODE，

即可得阴影部分的面积等于扇形0BD的面积,

又；NCD6=30。，

AZCOB=60（圆周角定理），

二OC=2,

故S扇形050=60兀,22=

3603

2兀

即阴影部分的面积为一.

3

故选D.

点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.

8、D

【解题分析】

根据平行线的性质即可得到N2=NABC+NL即可得出结论.

【题目详解】

•直线EF〃GH,

:.Z2=ZABC+Zl=300+20°=50°,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

9、C

【解题分析】

根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解.

【题目详解】

A、这组数据中9出现的次数最多，众数为9,故本选项错误；

B、因为共有5组，所以第3组的人数为中位数，即9是中位数，故本选项错误；

9+17+20+9+5_».

C＞平均数=---------------=12,故本选项正确；

D、方差=g[(9-12)2+(17-12)2+(20-12)2+(9-⑵2+(5-⑵2]=故本选项错误.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念.

10、C

【解题分析】

根据图像，结合行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.

【题目详解】

从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；

小明休息前爬山的平均速度为：--=70(米/分)，B正确；

40

小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；

小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：~£2=25米/分，D正确.

100-60

故选C.

考点：函数的图象、行程问题.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解题分析】

试题分析：由三角形的外角的性质可知，/1=90。+30。=1。，故答案为1.

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理.

12、55兀cm?

【解题分析】

由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可.

【题目详解】

由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm,

表面积=7t><5x6+7rx52=557rcm2,

故答案为：55kcm2.

【题目点拨】

本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数

学思想.如果圆锥的底面半径为r,母线长为/,那么圆锥的表面积=冗〃+门2.

n“如20/10万

]3、(140----------1—―—)071

【解题分析】

试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象.

可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1,线段。/。2,圆弧QQ,线段。3。4四部分构成.

其中O1EVAB,O1FLBC,O2C±BC,O3CLCD,O4DVCD.

,：BC与AB延长线的夹角为60°,01是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心位置,

,此时。0/与AB和5c都相切.

则ZOiBE=Z0用尸=60度.

此时RtAOiBE和RtAOiBF全等，

在RtAOiBE中，BE=坦叵cm.

3

：.OOi=AB-BE=(60-鱼I)cm.

3

•Dr—DLL---------CHI)

3

：.OIO2=BC-BF=(40-i2^)cm.

3

,JAB//CD,BC与水平夹角为60。,

：.ZBCD=120&.

又；ZO2CB=^O3CD^9Q°,

NO2co3=60度.

则圆盘在。点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60。且半径为10cm的圆弧。2。.

,,“6010

..0203的长前x27rxio=}~7tcm.

四边形O3O4DC是矩形，

：.O3O4=CD=40cYn.

综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是：

,“10百、,仙10百、10石10、

(60---------)+(40----------)H------;t+40=(140----------H-----it)cm.

33333

16

14、—

3

【解题分析】

【分析】如图，作A关于BC的对称点A，，连接AAT交BC于F,过A，作AELAC于E,交BC于D,贝!JAD=A，D,

此时AD+DE的值最小，就是A，E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

【题目详解】如图，作A关于BC的对称点A',连接AA',交BC于F,过A，作AE±AC于E,交BC于D,则AD=A'D,

此时AD+DE的值最小，就是A，E的长；

RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=60,

.*.BC=^32+(6A/2)2=9,

11

SAABC=-AB*AC=-BC-AF,

22

.•.3x672=9AF,

AF=2A/2，

,

/.AA=2AF=4A/2，

VZATD=ZDEC=90°,ZA*DF=ZCDE,

AZA^ZC,

VZAEA=ZBAC=90°,

/.AAEA^ABAC,

•AA'BC

••一,

A,EAC

.W|__9_

即AD+DE的最小值是一,

3

【题目点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题

的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.

15、*=2或*=-1

【解题分析】

由点A的坐标及AB的长度可得出点B的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴.

【题目详解】

••,点A的坐标为（-2,0）,线段AB的长为8,

.•.点B的坐标为（1,0）或（-10,0）.

\・抛物线y=ax2+bx+c（a/0）与x轴交于A、B两点,

二抛物线的对称轴为直线x==2或x==■史=-1.

22

故答案为x=2或x=-l.

【题目点拨】

本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键.

16、60°

【解题分析】

解：..出口是。。的直径，

.•.NBCD=90。（直径所对的圆周角是直角），

VZCBD=30°,

.•.ND=60。（直角三角形的两个锐角互余），

...NA=ND=60。（同弧所对的圆周角相等）；

故答案是：60°

17、3/1+1

【解题分析】

根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13个图案，由此可

得出规律.

【题目详解】

解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“

.•.第〃个图案中共有为：4+3-1)=3/1+1

故答案为：3"+1.

【题目点拨】

本题考查学生的观察能力，解题的关键是熟练正确找出图中的规律，本题属于基础题型.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)本次共抽查了八年级学生是150人；(2)条形统计图补充见解析；(3)108；(4)估计该市12000名七年级学

生中日人均阅读时间在0.5—1.5小时的40000人.

【解题分析】

(1)根据第一组的人数是30,占20%,即可求得总数，即样本容量；

(2)利用总数减去另外两段的人数，即可求得0.5〜1小时的人数，从而作出直方图；

(3)利用360。乘以日人均阅读时间在1〜1.5小时的所占的比例；

(4)利用总人数12000乘以对应的比例即可.

【题目详解】

(1)本次共抽查了八年级学生是：30+20%=150人；

故答案为150；

(2)日人均阅读时间在0.5〜1小时的人数是：150-30-45=1.

日人均阅读时间

45

(3)人均阅读时间在1~1.5小时对应的圆心角度数是：360°x——=108°；

150

故答案为108；

(4)50000x75+45=40000(人)，

150

答：估计该市12000名七年级学生中日人均阅读时间在0.5〜1.5小时的40000人.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19、(1)y=—；(2)y=--x+-^y=—x+—

x5577

【解题分析】

试题分析：(1)把A(1,2k-l)代入y=V即可求得结果；

X

(2)根据三角形的面积等于3,求得点B的坐标，代入一次函数y=mx+b即可得到结果.

试题解析：

(1)把A(1,2k-1)代入y=幺得，

X

2k-l=k,

Ak=l,

...反比例函数的解析式为：y=L；

X

(2)由(1)得k=L

AA(1,1),

设B(a,0),

1

ASAAOB=—*|a|xl=3,

/.a=±6,

・・・B(-6,0)或(6,0),

把A(1,1),B(-6,0)代入y=mx+b得：

l=m+b

0=—6m+b'

一1

m--

...7,

,6

b--

17

...一次函数的解析式为：y=gx+g,

把A(1,1),B(6,0)代入y=mx+b得：

1=m+b

0=6m+b

1

m二——

5

Y

...一次函数的解析式为：y=-gx+t.

所以符合条件的一次函数解析式为：y=-或y=；x+J.

20、9.6米.

【解题分析】

试题分析：要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出A8和AC的长度即可，根据题目中的条件可以求得A5和AC

的长度，即可得到结论.

ABFB

试题解析：解：'."ABLEF,DE±EF,：.ZABC=9Q°,AB//DE,J.AFAB^AFDE,:.——=—,•尸8=4米，

DEFE

„„AB4后ABAB

3E=6米，Z)E=9米，工一=-----,得43=3.6米Iz，•.•/ABC=90°,ZBAC=53°,cosZBAC=——,：.AC=----------------

94+6ACcosABAC

=也=6米，.•.AB+AC=3.6+6=9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米.

0.6

点睛：本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答.

12

21、(1)反比例函数解析式为y=一；(2)点B的坐标为(9,3)；(3)△OAP的面积=1.

x

【解题分析】

(1)将点A的坐标代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=OA=L由AB〃x轴即可得点B的坐标;

(3)先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得.

【题目详解】

k

(1)将点A(4,3)代入y=—,得：k=12,

x

12

则反比例函数解析式为y=一；

x

(2)如图，过点A作AC_Lx轴于点C,

则OC=4、AC=3,

22

.•.OA=A/4+3=1,

•.•AB〃x轴，且AB=OA=1,

点B的坐标为(9,3)；

(3)I•点B坐标为(9,3),

.••OB所在直线解析式为y=1x,

1

y=­x

-3

由《可得点P坐标为(6,2),(负值舍去),

12

y=—

X

过点P作PD_Lx轴，延长DP交AB于点E,

则点E坐标为(6,3),

；.AE=2、PE=1、PD=2,

则AOAP的面积=^x(2+6)x3--x6x2--x2xl=l.

222

【题目点拨】

本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.

22、38+12君

【解题分析】

根据NABC=90。，AE=CE,EB=12,求出AC,根据RtAABC中，NCAB=30。，BC=12,求出-AB=AC-cos30=12君,

根据DELAC,AE=CE,得AD=DC,在R3ADE中，由勾股定理求出AD,从而得出DC的长，最后根据四边形

ABCD的周长=AB+BC+CD+DA即可得出答案.

【题目详解】

VZABC=90°,AE=CE,EB=12,

；.EB=AE=CE=12,

，AC=AE+CE=24,

•.,在RtAABC中，ZCAB=30°,

.*.BC=12,AB=AC-cos30=12百，

VDE±AC,AE=CE,

/.AD=DC,

在RtAADE中，由勾股定理得AD=7AE2+DE2=A/122+52=13.

/.DC=13,

，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=38+12G.

【题目点拨】

此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关

定理和解直角三角形求出四边形每条边的长.

23、(1)y=-(x-1)2=-x2+2x-2;(2)等腰R3,(3)Pl(3,-8),P2(-3,-20).

【解题分析】

(1)当抛物线绕其顶点旋转180。后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛

物线解析式；

(2)可分别求出原抛物线和其“李生抛物线”与y轴的交点坐标C、C,由点的坐标可知△DCC是等腰直角三角形；

(3)可求出A(3,0),C(0,-3),其“李生抛物线”为y=-x2+2x-5,当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在,

当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标.

【题目详解】

(1)抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=(x-1)2-1,顶点坐标为(1,-1),由于抛物线y=xZ2x绕其顶点旋转180。后抛

物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，

22

则所得抛物线解析式为y=-(x-1)-1=-X+2X-2；

(2)△DCC是等腰直角三角形，理由如下：

・抛物线y=x」-2x+c=(x-1)2+c-l,

二抛物线顶点为D的坐标为(1,c-1),与y轴的交点C的坐标为(0,c),

.•.其“挛生抛物线”的解析式为y=_(x-1)2+c-l,与y轴的交点的坐标为(0,c-2),

.\CC'=c-(c-2)=2,

:点D的横坐标为1,

.,.ZCDC'=90°,

由对称性质可知DC=DC\

...△DCC是等腰直角三角形；

(3),抛物线y=xz-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,

令x=0,y=-3,令y=0时，y=x2-2x-3,解得xi=-l,X2=3,

AC(0,-3),A(3,0),

Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4,

.•.其“李生抛物线”的解析式为y=_(x-1)2-4=-x2+2x-5,

若A、C为平行四边形的对角线，

,其中点坐标为(三，-力，

22

设P(a,H+2a-5),

•••A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

AQ(0,a-3),

.a—3—a+2a—5_3

••-----------------------——，

22

化简得，a2+3a+5=0,△<0,方程无实数解，

,此时满足条件的点P不存在，

若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，则AP〃CQ且AP=CQ,

•••点C和点Q在y轴上，

点P的横坐标为3,

把x=3代入“李生抛物线”的解析式y=-32+2x3-5=-9+6-5=-8,

APi(3,-8),

若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ〃CP且AQ=CP,

...点P的横坐标为-3,

把x=-3代入“李生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20,

；.P2(-3,-20)

二原抛物线的“李生抛物线”上存在点Pi(3,-8),P2(-3,-20),在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的

四边形为平行四边形.

【题目点拨】

本题是二次函数综合题型，主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，解题的关键是求出旋转

后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置，注意分情况讨论.

159

24、(1)y=-x2+2x+3；(2)当1=—或t=一时，△PCQ为直角三角形；(3)当t=2时，△ACQ的面积最大，最

大值是1.

【解题