2024年全国研究生考试数学试卷及参考答案（三）

2024考研数学(三)

试卷及解析

一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1.设函数/(x)=lim—、，则/(X)

“f8i+nxn

A.在x=l,x=-l处都连续.

B.在x=l处连续，在x=-l处不连续.

C.在x=l,x=-l处都不连续.

D.在x=l处不连续，在x=-l处连续.

1.【答案】D

【解析】当卜<1时Jim)=1+「

当忖〉1时,limJ」：=0,

2

当x=1时,lim-----二0,

"一句+n

当x=-1时,lim—二0,

/、1+x,-1<x<1,

故/(%)=(甘/L故在X=—l时，连续；X=1时不连续・选口・

')[o,其他.

(»a+k7r..

2.设/=(卜in小x,左为整数，则/的值

A.只与。有关

B.只与左有关

C.与a,左均有关

D.与a,左均无关

2.【答案】B

pa+kn

【解析】/=f|sinx|dx

=(|sinx|dr=sinxdx=2k.

选B.

3.设/(x,y)是连续函数，则口改「f(x,y)dy=

J—Jsinx

pl「arcsiny

A.-f(x,y)dx.

26

B.fidyf2,f(x,y)dx.

J—Jarcsmy

rlrarcsin,

CJo2d班f(x,y)dx.

1兀

D.£24yf2.f(x,y)dx.

JOJarcsmy

3.【答案】A

r—(•1plrarcsiny

【解析】"时

/(x,j)dj==f.d4nf(x,y)dx.

J—Jsin%J—J—

626

选A.

0000

4.幕级数的和函数为ln(2+x),则=

M=0"=0

4.【答案】A

【解析】ln(2+x)=ta1+—j+ln2=ln2+

2)

00

Zna2n=0+/+2a4+3%+4%H—

n=0

1

——+•••

26.6

11

23=_8=_J_X4=_1

43836

4

5.设二次型/(x15x2,x3)-x^Ax在正交变换下可化成才-2月+3只,则二次型f的

矩阵N的行列式与迹分别为

A.-6,-25.6,-2C.-6,2£).6,2

5.【答案】C

【解析】/(七,苫2，W)=炉":正交变换下化为％!—2只+3*=4的特征值为1,—2,3

n|N|=L(—2>3=—6,tr(N)=l+(—2)+3=2.

"100、+2c0c、

6.设N为3阶矩阵，P=010，若Plp2=0b0,则力=

J0b、2c0c.

700、q00、

A.0a0B.0c0

0b)0

。a00、'c00、

C.0b0D.0b0

0、°0aJ

6.【答案】C

'a+2c0c](\00、

【解析】PyAP2=0b0=B,<P=010=%(l)

c01J

、2c0)I1

故N=(户厂5俨厂=(晶⑴]B[琮(I)]-1

=[司⑴15闵⑴蜀⑴=蜀对(-1)

<10，a+2c0c、p00、p00、

—0i00b0010010

2c

N01,、0%、T0L、T0b

<000、p00、p00、'a00、

—0b0010010—0Z)0

J。0、T0、T0b(00%

7+1b3、

aj1,朋；表示N的行/列元素的余子式，若|N|=-g.且

7.设矩阵N

112

\7

--^^21+^^22—^^23=0.贝U

A..CI—0^4^——

2

、3

B.a=0或a=—

2

C.b=\^b=--

2

D.b=-l^b=-

2

7.【答案】B

hh

1——20——10

Q+1b322

b2

【解析】同=a1=a1—a)1

222

112112112

nab-2a---------bl二一

22

=

3^.0——l\d2]+22—23^21+/22+/23

a+1b3a+1b3

Q+1b

=111111=。+1—b=0,

11

112001

nb=a+l代入(1)中，得(+1)-2jLo

22

=>。=0或。=—=>Z?=1或一.

22

6x(1-x)0<x<1,

8.设随机变量X的概率密度为/(x)=则X的三阶中心矩

0,其他，

E[X-EX^=

11

A.——B.0D.

32162

8.【答案】B

【解析】£¥=^6x2(l-x)dx=6-Q-^J=6x^-=

2

=—x)[x—g]dr2&=0.

9.随机变量X,y相互独立，且X〜N(0,2),y〜N(—l,l),设

Pl=P{2X>Y},p2=P{X-2Y>l},则

1C1

A4.P\>P2>-B,P2>A>-

r1

<22<5Da<A<-

9.【答案】B

【解析】£(2X-y)=2EX-"=0+1=1,D(2X-Y)=4DX+DY=4x2+1=9,

所以2X—丫〜N(l,9)；

E(X-2Y)=EX-2EY=0+2=2,D(X-2Y)=DX+4DY=2+4=6,

所以X—2V〜N(2,6)；

2X-K-10-1

J"〉

所以P2〉Pi〉g,故选B.

10.设随机变量x,y相互独立，且均服从参数为4的指数分布，令z=|x-",则下列随机

变量中与Z同分布的是

X+Y

A.X+Y

C.2XD.X

10.【答案】D

【解析】x与y的联合概率密度为/(x,y-)=fx(x)-/r(j)='

、0,其他

设Z的分布函数为Fz(z),则%(z)=P{Z«z}=P^X-Y\<z]

①当z<0时，Fz(z)=0；

②当zNO时，Fz(z)=P[-z<X-Y<z}=2P{0<X-Y<z}

二2/加力⑪『加又口.

=2[加-2勿dy-2e-AZ\加-2办dy

所以Z〜E(l),从而Z与X服从相同的分布，选D.

二、填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.

(l+r)smr,

11.当x-0时，fX[——J—山与/是同阶无穷小，贝!|左=_________.

J01+cost

11.【答案】3

【解析】当Xf0时,

222

(l+x)sinxx

1+cos2x2

户(1+厂)sm厂,

则］——'――At-Ax3.从而k=3.

J01+cost

4-005

12.dx=

2x4+3x2-4

1兀

12.【答案】-ln3--

28

f+ooS

「+co5

［解析］f/_*dr

42=J

J2X+3X-42x2-l］X2+4

•4-001

—；-----------dr

2

2X+4

11

—~dx

x-1x+1X2+4

+00

+oo(2、

=fnx-11

—arctan

x+12、）

222

10-ln|71

2428

13.函数/(x,y)=2x3-9x2-6y4+12x+24y的极值点是.

13.【答案】（1,1）

fJ=6x2-18x+12=0,

【解析】4

/；=-24/+24=0,

解得(1,1),(2,1).A=f；=l2x-18,B=f；=0,C=f；=-72y2,

代入(1,1)得/C—^2=432〉0,Z=-6，故(1,1)是极大值点，=23.

代入(2,1)得/C—^2=—432<0,不是极值.

25—0.250,0<20,

14.某产品的价格函数是P*'（）为单价，单位：万元；。为产量,

35-0.75。，Q>20

单位：件），总成本函数为。=150+5。+0.25。2（万元），则经营该产品可获得的最大

利润为（万元）.

14.【答案】50

(25-0.2502-(150+50+0.2502^Q<20,

【解析】L=PQ-C=\

(35-0.750)0-(150+50+0.2502),°〉20.

-0.5(0_20『+50,0420,

整理得:

-(。-15>+75。20.

所以。=20时，£=50为最大利润.

15.设N为3阶矩阵，N*为的N伴随矩阵，E为3阶单位矩阵，若

r（2E—4）=1/（E+/）=2,则J/*卜__________.

15.【答案】16

【解析】r（2E—N）=l<3,r（E+/）=2<3nN有特征值2,—1.

又3—r（2E—N）=2n%=2有2个线性无关的特征向量n2=2至少有两重根.

3—r（E+N）=ln%=—1有1个线性无关特征向量nX=-1至少有一重根.

又N为3阶nN的特征值为2,2,-1,故

=2-2•（—1）=—4,9]="尸=|/『=16.

16.设随机试验每次成功的概率为p,现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下,

4

3次试验全部成功的概率为一,则p=.

16.【答案】p=-

【解析】A：全成功，B：至少成功一次.

P(AB)_P⑷_23_

尸(2忸)=

P(B)—P(B)一]_(1-夕)3-13

13P3=4-4(1-夕J

2

整理得?(30—2)(3夕+6)=0np=§.

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设平面有界区域。位于第一象限由曲线◎=；，◎=3与直线y=：x,y=3x围成，计

算JJ(l+x-y)dxdy.

17.【解】令"=切，v=—,

lax

力

2)\-1

z-办

2?

电

/

故原式=Jpi3dz/]pi31+

33<

18.设函数z=z(x,y)由方程z+e'-yln(l+z2)=0确定,

嗤7,代x=°n寡

18.【解】将j；=0代入得z=—e",=—1.

(0,0)

将x=0代入得z+l=yln(l+z2),得丝=山(1+z?)+且"”.

\'如''1+z2dy

代x=0,歹=0,z=—1得—=ln2.

如(0.0)

又

Jzdz'

d2z2zdz2zdz、J+z2-

----7--------9---------1---------9---------2V

dy2l+z~dy\+z~dySy

代》=0,y=0,z=-1,—=ln2得

勿

d2z\

--=-21n2.

如l(o,o)

故原式为—1—21n2.

19.设/〉0,平面有界区域。由曲线〉=xe“”与直线x=/,x=2/及x轴围成，。的面积

为S。)，求S。)的最大值.

19.mS(t)=^xe-2xdx,则S'⑺=4/eT'Te-"=/e』(4—e2'),

令41'—J'=0n/=ln2.

当0<ln2时,S'(f)〉0;当f〉ln2时,S'(7)<0.故/=ln2时，S«)取最大值，有

ln4

S(ln2)=「：2也=-Axe-2'+1e-2xLc3

二——ln2+—.

ln21664

20.设函数/(x)具有2阶导数，且/'(0)=/'⑴证明:

⑴当xe(O,l)时，|/(X)—/()()小T二

⑵//("/(OH/⑴J

JoJ212

20.证明：(1)

/(X)=/(0)+八0)x+2①

/(x)=/(l)+/，(l)(x-l)+乙畀(x—1)2②

①.(1-X)+②,X

^/(x)=/(0)(l-x)+/(l)x+/W(l-x)+/，(l)(x-l>+^^x2(l-x)+^^(x-l)2x

|/W-/(O)(l-x)-/⑴X区;f(1—x)+gx(l—x)=1x(l-x)(x+l-x)=|x(l-x).

I2v

⑵"0)(1-x)-/⑴xM='/(x)dx-/(O).^--/(I).1

fV(x)dx-〃0)+/(l)

wU2I-

P-10-1、<1012'，1、

21.设矩阵/=1103,B=1—1aa—1,向量a二2,P—0

k2126；(2-32-27

(1)证明：方程组工'=。的解均为方程组屏=尸的解;

(2)若方程组4«=。与方程组Ar=£不同解，求。的值.

21.证明：(1)

Ax=a(A,a)二0

、一1，

Bx=R=(BQ二0

、一

又

q-10-10、-10-10、

i103202042

"Aa、2126303283

T

、B1012101131

1-1aa—1000aa0

2-32-2-1J、0-120-1J

,1-10-10、"1-10-10、

0102101021

0022000110

ff,故

0011000000

00aa000000

、00220,00000,

7a,

r(A,a)=r=3.

、B

即(4a)=0的解是(54)=0的解.

1)、—1,

即Nx=a的解是=/的解

(2)Ax=a与方程组麻=£不同解，即4«=。与5k="不等价

又Nx=a的解是的解，故麻=/的解不是Nx=a的解.

7a、

即《8,2）用二3,故

、B

"i0121、0121、

1-1ad—\00-1a—1Q—3-1

2-32-2-1、0-30-6-3

(10121\0121、

T01021T01021

、011-a3-a17、001-a07

故1一。=0即。=1.

22.X服从［0冽上的均匀分布，ee（0,+oo）为未知参数,乂,入2,…Xn为总体X的简单

随机样本，记为X（“）=max｛乜,加，・一,匕｝/=%.）.

（1）求c使得E（4）=e；

(2)记〃（C）=£（4—6）2,求C使得/（c）最小.

22.【解】⑴£［7.）］=cEX（”）c£m