正弦定理、余弦定理-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第7课时正弦定理、余弦定理

［考试要求］1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦

定理解决一些简单的三角形度量问题.

［链接教材•夯基固本］落实主干•激活技能

©梳理•必备知识

1.正弦定理'余弦定理

在△48C中，若角Z,B,。所对的边分别是a,b,c,R为△48C的外接圆半

径，则

定理正弦定理余弦定理

42=炉+。2-22ccos/；

内容-^—=-^—=-^—=2R62=。2+层-2。。COSB;

sinXsin8sinC

。2=屋+"—2/bcosC

,Z)22_2

+ca；

(l)a=27?sin/,b=2Rsin5,c=2RsinC；cosA=-—2bc—

作也2H2

变形(2)a:b:c=sinA:sin5:sinC；cos8—；

2ac

(3)———=—=27?22日2j2

sinX+sinB+sinCsin力

cosC=—2—ab—

2.三角形常用面积公式

(1)S=，•表示边。上的高)；

111

(2)S=^absinC=-acsinS=^c_sin_X；

(3)S=|r(a+b+c)&为内切圆半径)；

(4)5=7P(P-a)(p-b)(p-c)(p=；(a+b+c)).

［常用结论］

1.三角形中的边角关系

在△4SC中，大边对大角，大角对大边，Z>8Qa>bQsinZ>sin8QcosZVcos

B.

2.三角形中的三角函数关系

(l)sin(N+8)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;

r、.A+BC/八4+3.C

(3)sin—=cos(4)cos—=sm

3.三角形中的射影定理

在△ASC中，a=bcosC+ccos5；b=acosC+ccosA;c=bcos^+acos5.

4.数量积的余弦定理式

在△ZBC中，AB-AC=^f^.

5.角平分线定理

桀=歌在△48C中，幺。是/氏4c的平分线).

6.在△ZBC中，sin2Z=sin28=2=8或2+5=］.

7.在△ZBC中，角Z,B,C的对边a,b,c成等差(等比)数列，则0<8书.

O激活•基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“♦”，错误的打“X”)

(1)在△NBC中，一定有a+b+c=sinZ+sin8+sinC.()

(2)在△ZBC中，若sin2Z=sin28,则必有2=8.()

(3)当〃+°2—°2>0时，△48C为锐角三角形；当按十02一/=0时，△4BC为

直角三角形；当炉十。2—屋<。时，△48。为钝角三角形.()

［答案］(1)X(2)X(3)X

二,教材经典衍生

1.(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△48C中，角45,C所对的边分

别为a,b,c,若B=--,a=l)则6=()

64

A.2B.1C.V3D.V2

D［由-=上得6=^^=等=在X2=VI］

LsinZsinBsinAsin-2」

6

2.(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△4BC中，若a=2,c=4,5=60。,

则b等于()

A.2V3B.12

C.2V7D.28

A［由余弦定理〃=a2+c2-2accos8,得炉=4+16—8=12,所以6=28.］

3.（人教A版必修第二册P47例8改编）在△48C中，已知8=45。，b=2,c=<2,

则C=.

30°［由正弦定理得sinC=/詈=丘臀=右因为b>c,5=45。，所以C=30。.］

4.（人教A版必修第二册P44练习T2改编）在△4BC中，角4B,C的对边分别

为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,贝!JcosA=,AABC的面积为.

315V7「/之日新江8A振+c2-q23

7—r-［依题意得cos/=---=-,

44L2bc4

所以sinA=V1—cos27l=—,

4

所以△NBC的面积为与csia4=

24

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

□考点一解三角形

___-1

［典例1］（2023•北京房山区二模）在△48C中，cos25=-j,c=8,b=7.

⑴求sinC；

（2）若角C为钝角，求△48C的周长.

1

［解］⑴因为cos25=2cos25-l=-p

所以cos25=-,可得sia8=V1—cos2B=—,

42

又c=8,6=7,

V3

所以由正弦定理，得sinC=*=*=也.

b77

（2）因为角C为钝角，

所以cosC=—V1—sin2C=~^,

由余弦定理02=屋+52—2abcosC,可得82=q2+72—2XaX7X（—；）,整理可得

tz2+2a—15=0,解得a=3或一5（舍去），

所以△ZBC的周长a+6+c=18.

名师点评解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦

定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理.以上特征都

不明显时，要考虑两个定理都有可能用到.

［跟进训练］

1.(1)已知△48C的内角aB,1所对的边分别为a,b,c,若bsin2N=asin8,

且c=2b,贝耳等于()

C.V2D.V3

(2)(2024•重庆模拟)在△NBC中，若2cos2^-cosA=2cos2S+2cos2C-2+cos(5

一o，贝"()

A.EB.?

(1)D(2)B[(1)由正弦定理及bsin2Z=asin8,得2sin8•sinNcosN=sinZsin8,

1

又sin/WO,sinBWO,则恒$/=5.又0=2①所以由余弦定理得层二加十^—26次os

?1=Z?2+4Z?2—4Z?2xi=3Z?2,得.故选D.

2b

⑵因为2cos2?l—cosA=2cos25+2cos2C~2+cos(B—C),

所以2(1—sir?4)—cos[兀一(5+C)]

=2(l-sin25)+2(l-sin2C)-2+cos(5-C),

贝2—2six^A+cosBcosC-sin5sinC

=2-2sin2J?—2sin2C+cos5cosC+sin5sinC,

整理得sin25+sin2C—sin2^=sinSsinC.

222

所以b+c—a=bc9

由余弦定理的推论得cos/="+^―。2=当=：

2bc2bc2

因为Ze(0,it),ikA=1.

故选B.]

【教师备选资源】

1.在△4BC中，内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,已知5=30。，b=<2,

c=2,贝lj()

A.C=45°B.Z=15°

C.a=V3-lD.△48C为钝角三角形

所以sinC=j,因为0°VCV180°,所以C=45°或C=135°,故ABC均错误，

当C=45。时，Z=180°-45°-30°=105°,△NBC为钝角三角形，

当C=135。时，ZUBC为钝角三角形，故D正确.

故选D.]

2.（2024•山东济南期中）在△4BC中，内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,

已知cos2C—cos23+sin2N=siiL4sin5=g,且△4SC的面积为百，则边c的值为

V6［*.*cos2C_cos25+sin27!=siib4sinB,

1—sin2C-(1—sin25)+sin2^=sinAsin5,即sin25+sin27l—sin2C=sinAsin5,

由正弦定理角化边得尻+屋一，=打,

,„a24-ft2—c2ab1IT

..cosC=———=—=T,C=-

2ab2ab2'3

ab

由正弦定理•

sin力sinBsinC

••..-.zz^1乙—.7IT

sin力AsinBnsin^Csin^-?

化简得c2=|ab,

又△NBC的面积SAABc=^absinC=V3,

/.ab=4,

c2=6,解得0=逐.]

3.（2022•全国乙卷）记△48。的内角4,B,。的对边分别为。，b,c,已知sin

Csin(A-B)=sinB•sin(C—4).

(1)证明：2a2=川十o2；

(2)若a=5,cosZ=||,求△Z5C的周长.

［解］(1)证明：因为sinCsin(A-B)=sinB•sin(C-A)f

所以sinCsinAcos5-sinCsin5cosA=sinB•sinCcos24—sin5sin/cosC,

222

爪〜a2+c2_h2b+c-a

所以QC■—T-----

2ac2小

层+82-。2

=~ab

2ab

即次小o2+62”2

(b2+c2—a2)=

22

所以2〃2=62+02.

（2）因为。=5,COST1=—,

由（1）得按+/=50,

由余弦定理屋=〃+02—26ccosZ,

得50一衰c=25,

所以Z>C=y,

故（6+。）2=按+。2+2儿=50+31=81,

所以b+c=9,

所以△NBC的周长为a+b+c=l4.

―考点二判断三角形的形状

［典例2］设△4BC的内角45,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccos5

=asinA,则△4BC的形状为（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.不确定

A［法一（化角为边）：因为bcosC+ccos8=6~—+c•一~—=—=tz,

2ab2ac2a

所以asinZ=a,即sin4=1,故/=］,因此△48C是直角三角形.

法二（化边为角）：因为Z?cosC+ccos5=asinZ,

所以sinBcosC+sinCeosB=sir?4,

即sin（5+Q=sit?4,所以sirt4=sin2^,

故sirU=l,即/=］,因此△48C是直角三角形.

法三（射影定理）：bcosC+ccosB=a=asinA,

所以sin4=1,故4=］,因此△48。是直角三角形.］

［拓展变式］若本例条件变为£=月，判断△NBC的形状.

DCOS/I

［解］由冲w，

bcos2

彳'sinAcos3

sin8cos4,

所以sin/cos/=cos8sin5,

所以sin2A=sin2B.

因为Z,8为△4BC的内角,

所以22=28或2A=n—2B,

所以A=B或2+8=5，

所以△4BC为等腰三角形或直角三角形.

名师点评判定三角形形状的两种常用途径

：通过正弦定理、余弦定理化角为边,通过;

判府丽代数恒等变换，求出边与边之间的关系］

定1进行判断：

途

径,,「逼母正森比施「泰黄兔蓟五男庙闲话：

辿■三角变换得出三角形内角之间的关系进；

;行判断：

［跟进训练］

2.在△4BC中，^=sin23a,b,。分别为角Z,B,C的对边），则△4BC的形

...、

状为（z）、一---"

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

A［因为sii?q=上箸，

所以1=0亚，即cos5=；

2c2c

法一:由余弦定理得警*=:

Zacc

即a2+c2—b2=2a2,所以a2+b2=c2.

所以△4SC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

法二：由正弦定理得cos8=当，

又sinA=sin（8+C）=sin5cosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sin5cosc=0,又sinBWO,所以cosC=0,

又角。为三角形的内角，所以C=］,

所以△4BC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.］

考点三三角形面积的计算

［典例3］(2023•全国乙卷)在△Z8C中，已知N8ZC=120。，Z8=2,ZC=

1.

(1)求sin/ABC；

(2)若。为8c上一点，且/氏4。=90。，求△4DC的面积.

［解］(1)如图，由余弦定理得50=482+4^—248・/C•cosZBAC=22+12

+2X2X1X|=7,得BC=也

法一：由正弦定理ACBC

sinZ.ABCsinZ.BAC

得sin乙瓯=爰=等

法二：由余弦定理的推论得c°sNZ5C="黑萨=蒜亲=呼

所以sinZABC=V1—cos2Z.ABC=—.

14

(2)法一：由smZABC=—,得tanZABC=^-,

145

又"7t4anZ/A.BC=—DA=—DA,所匕以ZAU/=—2V3

AD25

故△ADC的面积为期-AC-sin(120°-90°)=|x1x|=^|.

法二：△48。的面积为•sinZBAC=^X1X2Xy=y,

ACAD

SAADC^--sin“4Dsin30°_1

S/^BAD^AB,AD•sinZ.BAD2xsin9004

古攵AADC的面积为X-y-=Y^.

名师点评三角形面积公式的应用原则

111

(1)对于面积公式S=-absinC=-acsinB=-bcsin^,一般是已知哪一个角就使用

哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

［跟进训练］

3.如图，在平面四边形/5CO中，ABLAD,AB=i,AD=^3,BC=42.

(1)若C£>=2,求sinNADC；

(2)若NC=：,求四边形48co的面积.

［解］(1)连接BD,在RtZ\4RD中，RD=VZ薜47"=2,且tanN4D5=^=?

ZADB&(0,5),所以

在ABCD中，由余弦定理的推论得

BD2+CD2-BC24+4-23

cosZBDC=--------------=-------=-

2-BD•CD2x2x24

V7

所以sin/BDC=

所以sinZADC=sin(NBDC+习

=sin/BDCcos-6+6cos/BDCsin-

V7V3,31V21+3

=—X—+-X-=----.

42428

(2)在△BCD中,由余弦定理得BQ2=CD2+BG—2CQ•c-cos即CD2~2CD

B4

—2=0,解得。£)=1+旧或CD=1一百(舍去),

所以四边形ABCD的面积为

1

nTT-V3+-

si42

【教师备选资源】

1.(2023•福建厦门一模)记△48C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且

3AB•AC+4BA•BC='CA•CB.

(1)求土

(2)已知8=3C,c=l,求△48C的面积.

［角星］(1)由已知得3becosA+4accosB=abcosC,

由余弦定理，得

3(62+c2-a2)+4(a2+c2-62)=a2+62-c2,

化简得4，=加，所以2=2.

c

(2)由正弦定理知即sin5=2sinC,

LB=3C,故

sinB=sin3C=sin(2C+Q=sin2C•cosC+cos2C,sinC=2sinC(1—sin2Q+

(1—2sin2C)sinC=3sinC-4sin3C=2sinC,

即3—4sin2c=2,sinC=—,故。=^(。=工■舍)，此时，B=3C=—,b=2c=2AB

=2,BC=yf3,则见43。=1X1义

2.已知△48。的内角4,B,。的对边分别为a,b,c,sin25+sin2C-sin2^=sinB

sinC.

(1)求4;

(2)若a=4,△48。的面积为48，求6+c

［解］⑴因为sin25+sin2C—sin2^=siiiSsinC,所以加+，一次二儿,

..ZJ2+C2-a2be1

则N

cosN=—2—bc—2bc2

因为OVZVTI,所以

(2)因为44BC的面积为4百，

所以;besinZ=fbc=4g,即bc=16.

因为〃+c2—q2=6c,。=4,所以Z)2+C2=32,

所以b+c=^Jb2+c2+2&c=V64=8.

课时分层作业（二十九）正弦定理、余弦定理

[A组在基础中考查学科功底]

一'单项选择题

1.在下列关于△ZBC的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是（）

①sin/=（；②cosZ=­（；

③cosB=-J,b=3a；@C=7，b=2,c=V3.

44

A.①②B.②③

C.②④D.②③④

B[对于①：sin2=3因为ZG(O,n),所以幺=?或"，故①错误；

L66

对于②：cos^=-因为y=cosx在(0,兀)上单调，所以角Z被唯一确定，故

②正确；

对于③：cosB=—y,b=3a,因为cos8=—)VO,5G(0,TC),所以8G(:,nY

44\2/

所以4£(0,9，

所以sinB—V1—cos2B=—^

4

又b=3a,由正弦定理得siiLB=3sinN,

所以sinZ=萼=噜，

所以角Z被唯一确定，故③正确；

对于④：c=；,b=2,C=V3,

因为bsinC=2Xsiny=V2,

所以bsinC<c<b,

如图，A4BC不唯一,故④错误.

故选B.]

2.在△ZBC中，a,b,c分别为内角Z,B,C的对边，若层一〃=旧曲，sinC

=2V^sin8,则Z=()

AA.—5TTCB.—2TC

63

C.-D.-

36

D[VsinC=2V3sin5,:•c=2Wb,结合〃2一抉=百儿得。=夕儿

由余弦定理的推论可得

,b2+c2-a2b2+12b2-7b2V3

cosA=------=-----尸—=—.

2bc2xbx2\3b2

又•.,ZG(0,兀)，...2=；.故选D.]

6

3.(2023•北京高考)在△48。中，(a+c)(sinAsinC)=Z?(sinA-sinB),则NC

=()

A.-B.-

63

C.-D.史

36

B[由(a+c)(sin/—sinC)=Z?(sinA-sinB)得(a+c)(a~c)=b(a-b),即次+b2

~c1=ab,

.-a2+b2-c2ab1

..cosC=------=——=一,

2ab2ab2

又CG(0,兀),.故选B.]

4.(2024•山东济南模拟)在△NBC中，若希•前=—2,且5=60。，则△NBC

的面积为()

A.2V3B.V3

C.yD.V6

B[因为南•前=—2且8=60°,

所以a•c•cos(180。-60。)=碇cos120。=—2,

所以ac=4,所以品/8。=1。5由5=[*4*?=旧.故选8.]

5.(2024•湖北武汉模拟)已知a,b,c分别为△4BC的三个内角4B,C的对

边，且bcosC+acos5=。，则△48。是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰或直角三角形

D[由Z?cosC+Qcos5=Q及正弦定理，得

sinScosC+sin/cos5=sin4,

所以sinBcosC+sinAcos5=sin(5+Q=sin5cosC+cosBsinC,即cos5(sin

A—sinQ=0,

当cosB=0时，因为0VBV兀，所以5=1，

当cos5W0时，所以sin/—sinC=0,

即sinA=sinC,

因为0<幺<兀，O<C<71,所以N=C,

所以△N5C为等腰或直角三角形.故选D.]

6.已知锐角△4BC的三个内角Z,B,。所对的边分别为a,b,c,且a=l,B

=2A,则b的取值范围为()

A.(V2,V3)B.(1,V3)

C.(V2,2)D.(0,2)

AB=2A,/.sin5=sin2A=2sinAcosA.

:a=1,:.b=2QCOSA=2cosA.

又△ABC为锐角三角形,

(Q<2A<-,

2，

2，,IL<•它Vcos/V坦

0<C<-,64'22

2，

V2，

即V^〈b=2cosZ<VI故选A.]

二、多项选择题

7.（2023•辽宁六校联考）△48C的三个内角4B,C的对边分别为a,b,c.B

知6sin/=（3b—c）sinB,且cos/=1则下列结论正确的是（）

A.a+c=3b

B.tan4=2迎

C.△48。的周长为4c

D.△NBC的面积为手

ABD[由正弦定理及题意得加=(3b—c)b,整理得a=3b—c,即a+c=3b,A

正确；

由cos可得sinZ=Jl_()=乎,

则tan^=—=2V2,B正确；

COS4

一1

由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA,又a=3b~c,可得(3Z)—

整理得”=2c,△NBC的周长为a+6+c=4A=gc,C错误；

由上次口：a=3b-c,3b=2c,可得a=c,b=-ct贝US/^ABC=~bcsinA=—•—a•a•—-

D9乙乙DJ

=~cr,D正确.故选ABD.]

8.在△NBC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2®c=3,A+3C

=兀，则下列结论正确的是()

V3n•Da

AA.cosC=­B.sm5=一

33

C・Q=3D.S/\ABC~yT^

AD[因为Z+3c=兀，故8=2C,根据正弦定理一^=上，得2bsinC=3X2sin

sin8sinC

CcosC.

由于sinCWO,故cosC=亨,sinC=当,所以sin/=sin2c=2sinCeosC=(.

又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,化简得到屋-4a+3=0,解得a=3或a

=1.若Q=3,则/=C=—,故B=—,不合题意，因此a=1.故S/^ABc=~cibsinC

422

=；X1X28X?=V^故选AD.]

三、填空题

9.在△4SC中，若。=2,Z?+c=7,cosB=-7,贝|.

4

4[在△ZBC中，由加=/+02—2acCOSB及b+c=7知，ZJ2=4+(7-Z))2-

2X2X(7—b)X(—；),整理得15b—60=0,所以b=4.]

10.(2022•浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了由三角形三边求面积

的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如

果把这个方法写成公式，就是S=)[卜2a2—其中用儿c是三角

形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边。=应，b=V3,c=2,则该

三角形的面积5=

/3+4-255V3.,V69

法二:cosA=—p—=—F=——，smA=——5=1XV3X2XM]

2V3x24V312'12

四、解答题

11.(2024•山东省淄博实验中学模拟)在△4BC中，bsinZ—acos5=0.

(1)求角8;

(2)若6=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使

△4BC存在且唯一确定，求。及△45C的面积.

条件①：sin4+sinC=2sin5；

条件②：c=B;

条件③：ac=10.

［解］(1)由正弦定理得bsin/=〃sin5,

B

得asin5—(2cos-=0,

c•BBB_

2asm-cos--acos--0n,

222

因为0所以Qcos90.

则sin

22

所以3=也所以

(2)选条件①：sin^+sinC=2sin5.

因为6=3,jB=psin^+sinC=2sin5,

由正弦定理得a+c=2b=6,

由余弦定理得9=a2+c2—ac=(a+c)2—3ac,

etc—9,解得f］CL—3.

(a+c=6,=3,

所以△48。存在且唯一确定，

贝IS^ABc=^acsin8=竽.

Z4

选条件②：c=V3.

已知b=3,c=V3,

由正弦定理得sinC=^sin5=p

因为cVb,

所以C=：A=-,a=V62+c2=2V3.

62

所以△48C存在且唯一确定，

贝I

选条件③：ac=10.

由余弦定理得9=a2+c2—ac=（a-\-c'）2—3ac,

即tz+c=V39,

所以a（d而一a）=10,即小一/为q+io=o,

因为（悌?一4X10=-1V0,

所以不存在a使得AZBC存在.

12.（2023•山东潍坊二模）如图，在四边形48CQ中，/BAD=],ZACD=^,

AD=V3,S为△NBC的面积，且2s=一百瓦？•就.

⑴求角&

⑵若cosD=|,求四边形ABCD的周长.

［解］(1)由2S=-A/^瓦5•前，

在△ZBC中，得2义，B义BCsinB=-KABXBCcosB,

即sin8=—J^cos8,可得tan8=一百，

因为8G(0,71),所以8=§.

(2)因为cos£)=a£>e(0,兀)，所以£>=g,

所以△/CO为等