初等几何研究基础教程

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑内管简介本书是编者多年来在北京师范学院数学系讲授“初等几何研究”课程所使用教材的基础上加以修改、充实而编写成的.全书共分四章:几何公理;初等几何变换的理论与主意;几何轨迹;初等几何新发展简介.本书观点新奇、材料丰盛、立论严谨、讲述简明.全书配备大量典型例题和习题,为方便教者及学者,书末附有较详细的习题解答.本书可作为高师院校、师专数学系学生的教材,也可作为中等小学数学教诲研究人员及中等小学数学教师数学专业进修的参考书.序读了我系胡杞和周春荔两位副教授编写的《初等几何研究基础教程》以后,我觉得写得很好,思路清晰,内容丰盛,立论严谨,讲述简明,是高等师范院校、各省市的教诲学院和教师进修学院数学专业师生讲授或学习初等几何以及中学教师进修这方面内容的一本很好的教材或参考书.我认为,要成为一个好的中学数学教师,必须钻研初等数学.有人认为:初等数学的内容已经定型了,没有什么值得钻研的了.这种看法不对.作为一个中学数学教师,他应该有很好的数学素质,所以他必须有良好的高等数学基础.因此当我们培养一个中学数学教师时，必须首先要求他们学好高等数学基础课,然而学了高等数学以后必须要进一步学会如何运用自己学到的高等数学知识来加深对所教的中学数学内容的理解.从这一点上来说,对初等数学举行研究就十分必要了.有一点需要强调,对初等几何的研究越发重要.因为一些高等数学课程对初等几何往往起不了直接的指导作用.要在中学里教好几何课,钻研初等几何异常重要.我相信:《初等几何研究基础教程》这本书将有助于师范院校、教诲学院、教师进修学院教学专业的师生以及中学数学教师对钻研初等几何产生兴趣.我认为,这本书的编写主导思想是好的,作者提出:用公理化的思想主意研究综合几何的基础问题，用运动和几何变换的观点研究图形的几何性质。这样,将有助于本书的读者们跳出传统初等几何教材的框架,用近代数学的观点探讨初等几何问题,起到了居高临下的作用.本书的另一个特点是理论与实践相结合.每一章有一定数量的典型例题,每一节又配备了一定数量的习题,使读者边学边练,惟独通过大量解题的实践才干更好地控制理论.这大概是学好几何的大家所公认的途径.我希翼这本书的出版会对于高师数学系初等几何课程的数学质量的提高作出贡献。梅向明于北京师范学院数学系1988年3月17日说明“初等几何研究”是高等师范院校数学系的一门重要课程.本书是按照编者在北京师范学院数学系多年来讲授“初等几何研究”课程所用教材的基础上举行修改、充实而编写成的.主要内容有四章.第一章几何公理,主要是系统推荐希尔伯特公理体系的内容,阐明欧几里得几何是在怎样的基础上,用严谨推理的方法展开的,并用公理化的思想主意分析、评述中等小学的几何教材的公理结构.本章内容对于协助读者深入理解欧氏几何有重要作用.第二章初等几何变换的理论与主意,主要是系统推荐了合同变换、相似变换及其乘积、反演变换的理论.用变换群的观点研究了在各类变换下的不变性与不变量,并提供了大量的用几何变换处理几何问题的例子.本章内容对于体现用现代数学的思想主意研究图形的几何性质、用几何变换的主意证实几何题,都提供了丰盛、新奇的材料.第三章几何轨迹,主要是从理论上研究了轨迹的概念和三种类型轨迹命题的证实或探求主意,用综合法和解析法解答轨迹问题.本章内容对于用运动的观点研究几何轨迹命题提供了理论和主意.第四章初等几何新发展简介.主要推荐了近代欧氏几何的一些新发现,并且从直观而不是从公理的观点阐述了初等拓扑变换的某些问题.本章内容对于开辟、深人研究初等几何提供了一些材料.我们编写本书的主导思想，主要是立足于开辟和逐步更新高等师范院校数学系开设的“初等几何研究”课程的内容.我们试图在本书里用公理化的思想主意研究综合几何的基础问题;用几何变换的理论与主意研究综合几何的内容;用运动的观点研究图形的几何性质.我们期待在高师院校数学系开设的“初等几何研究”的课程里，渗透着一些近代数学思想方法的气息.运用几何学的基础知识和基本主意灵便机智地论证几何题是学好几何的重要途径.本书在重视阐明几何基本理论的基础上,注重在论证几何题中的综合、分析、演绎、归纳和运动、变换、化归等思想主意的训练,注重几何题的论证实践.为此,各章都配备一定数量的典型例题及习题.为方便教学及学习本课程起见,在书末都附有比较详细的习题解答与提醒.本书可作为高等师范院校、师专数学系“初等几何研究”课程的教材,也可作为中等小学数学教诲研究人员及中等学校数学教师专业进修参考书.编者曾使用本书的材料与观点分离在高师本科和师专、成人高等小学的数学系的“初等几何研究”课程中举行教学.在使用中针对不同的情况,对本书内容作了某些增删和变动,即使对于同一课题,共深度与广度的要求也有所不同.我们热情地希翼任课教师在使用本书时,也可按如实际情况对教材内容的深度与广度作适当的要求.作者1988.3于北京师范学院目录第一章几何公理体系1$11.1欧几里得的《几何原本:1$22.1结合公理及其推论71结合公理fL−2公理II−3结合公理对于中等小学几何的作用10习题112.2顺序公理及其推论111顺序公理ΠI−2公理I-II的推论133顺序公理对于中等小学几何的作用24习题二252.3合同公理及其推论261合同公理III2公理I-III的推论283合同公理对于中等小学几何的作用46习题三482.4延续公理及其推论491延续公理IV12公理I-IV的推论503绝对几何574延续公理对于中等小学几何的作用60习题四632.5平行公理及其等价命题641平行公理及其推论642平行公理的等价命题68习题五76§3我国中等小学几何教材的公理结构771中等小学几何教材的公理结构772中等小学几何教材的公理结构分析78小结81第二章初等几何变换的理论与主意85$11.1映射861.2变换88小结91§2合同变换922.1合同变换的概念和性质922.2旋改变换及其不变性与不变量98习题1082.3平移变换及其不变性与不变量1092.4直线反射变换及其不变性与不变量111习题二1192.5直线反射变换的乘法1202.6旋改变换的乘法131习题三1432.7旋转、平移.直线反射变换间的乘法144习题四153小结154$33.1相似变换及其不变性与不变量1553.2位似变换及其性质160习题五1763.3位似旋改变换及其性质177习题六189小结190$44.1反演变换的概念1924.2反演变换的性质195习题七2124.3极点与极线214习题八221小结221§5空间几何变换简介2245.1空间合同变换2241空间旋改变换与平移变换2262空间反射变换2285.2空间相似变换2325.3空间反演变换233小结235第三章几何轨迹237$11.1轨迹的概念237习题九2411.2三种类型的轨迹命题2421第1类型轨迹命题的证实z2第II类型轨迹命题的探求与证实2443第III类型轨迹命题的探求与证实252习题十2571.3用解析法解轨迹问题258习题十268§2空间轨迹简介269习题十二279小结279第四章初等几何新发展简介282$1习题十三298$22.1初等拓扑变换的直观概念3002.2网络3022.3容易多面体的欧拉定理307习题十四314小结315习题解答与提醒317第一章几何公理体系本章主要推荐希尔伯特公理体系.目的是用公理化方法,纯逻辑地展开初等几何的内容,以协助读者深刻理解欧几里得几何的研究对象和主意.从而能“居高临下”地看待中等小学几何公理体系的结构,对于指导中等小学几何教学具有一定的意义.$1欧几里得的《几何原本》为了理解希尔伯特公理体系的精神和思想主意,首先要了解历史上第一个几何理论的著作是异常须要的.1.1欧几里得的《几何原本》从公元前6世纪开始,古希腊人在丰盛的经验材料的基础上,逐渐重视用逻辑推理的主意研究几何理论.公元前3世纪,希腊数学家欧几里得(Euclid公元前约330-275)详尽地搜集了当初所知道的一切几何学方面的资料,并把这些凝聚的知识用逻辑推理的链子,把它们编排成为一个有系统的理论,写成了历史上第一部几何理论的著作,这就是《几何原本》(简称《原本》).下面简要推荐《原本》的内容.《原本》共分十三卷.其中第五、第七、第八、第九和第十各卷都是算术方面的内容,具余各卷的内容是几何方面的.第一卷研究三角形相等的条件、三角形边角关系、垂线、平行线理论、平行四边形、三角形与多边形等积的条件、勾股定理等,共48个命题.第二卷研究线段计算(包括黄金分割),共14个命题.第三卷研究圆周角、圆心角、圆的切线、割线,圆幂定理等,共37个命题.第四卷研究圆的内接、外切多边形和正五边形、正六边形、正十五边形的作图,共16个命题.第六卷研究相似多边形理论,共33个命题.第十一卷至第十三卷研究立体几何理论.为了解《原本》的逻辑结构,下面专门研究第一卷的逻辑结构,它是全书逻辑推理的基础.《原本》第一卷给出全书最初的23个定义、5个公设和5个公理.定义:(1)点是没有部分的.(2)线是有长度而没有宽度的.(3)线的界限是点.(4)直线是这样的线,它对于在它上面的所有各个点都有同样的位置.(5)面是惟独长度和宽度.(6)面的界限是线.(7)平面是这样的面,它对于在它上面的所有直线有同样的位置.(8)平面上的角是在一个平面上的两条相交直线互相的倾斜度。(9)当形成一角的两线是向来线的时候,这个角叫做平角.定义(10)-(22)是关于直角和垂线、钝角和锐角、圆、圆的中央、直线形、三角形、四边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、正方形、直角三角形、菱形等的定义.最后一个定义是:(23)平行直线是在同一个平面上而且尽管向两侧延伸也决不相交的直线.公设:1从每个点到每个别的点必然可以引直线.2每条直线都可以无限延伸.3以随意点作中央可以用随意半径作一圆.4所有直角都相等.5一条直线与另外两条直线相交,同侧的内角和小于两直角时,这两条直线就在这一侧相交.公理:1等于同量的量相等.2等量加等量,总量相等.3等量减等量,余量相等.4能重合的量相等.5全体大于部分.欧几里得把公设与公理是这样区别的，公理是适用于一切科学的真理,而公设则只应用于几何.公设无需一望便知其为真,但应从其所推出的结果是否符合实际而检验其是否为真.欧几里得在《原本》的第一卷里提出一些定义和少数公设、公理,是作为后面逻辑推理的根据和出发点,因此叫做几何学的基础.欧几里得是第一个试图建立几何学基础的数学家,并且在《原本》中作了在定义、公设、公理的基础上,逻辑地建立几何学的尝试.因此欧几里得的工作是伟大的.此外,《原本》也是世界上最早的一本内容丰盛的数学书，而且持久为后代人所使用,所以它对数学发展的影响超过任何一本其它的数学书.不过,因为历史的局限性,《原本》并没有彻底解决建立几何学基础的问题,因此《原本》的逻辑系统是不严密的.首先,关于定义方面.欧几里得试图对一切概念都赋予定义,但这是不可能的.例如在《原本》中第一卷里的点、线、直线、面、平面都加以定义,这些定义却用了一些未经定义的概念,如“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”、“同样位置”等等,意义含糊不清,缺乏逻辑性.《原本》中的公理和公设的作用值得研究.倘若把它们作为几何学郑重的逻辑推理的按照,是很不够的.所以在证实某些问题时不得不采取直观默认的主意.主要缺少三类公理。（1）缺少顺序性公理.欧几里得在《原本》中使用了“直线上一点在另外两点之间”、“在直线同侧的两点”、“在直线不同侧的两点”、“在三角形内的一点”等概念,但却未把这些概念反映到公理中去.因此,对于这些语句的意义只能依赖图形的直观来理解.（2）缺少运动公理.欧几里得在《原本》中使用了“运动”的概念.如“把一个三角形叠合到另一个三角形上去……”.但在《原本》中却没有明确“运动”概念的意义,也没有相应的公理,所以在论证中不得不默认图形在运动中,其形状和大小都不变的性质。（3）缺少“延续”性的公理.欧几里得在《原本》中,不自觉的作出直线和圆的延续性的假定,即默认直线和圆,圆和圆若相交,它们一定有交点.但是关于“延续”的概念在《原本》中却没有相应的公理.综上所述,欧几里得的《原本》中的公理系统是不能作为几何学的逻辑推理的基础.应该怎样修改、补充《原本》中的定义、公理才干使几何学成为逻辑上完美无缺的科学呢?怎样建立几何学的结实的逻辑基础呢?这个问题是两千年以来几何学家研究的重要课题.这项工作直到19世纪,由德国数学家希尔伯特(DavidHilbert,1862-1943)所完成.$2希尔伯特公理体系对于欧几里得《原本》的逻辑结构中的缺陷的批评几乎从它写成之日就已开始,许多数学家做了补充与改进的工作.例如古希腊数学家阿基米德(Archimede公元前287-212年）在他的著作《论球和柱体》中曾提出五条公理,其中一条公理是:“两条不等的线,两个不等的面,或两个不等的体,只要把可比较的量中的小的扩大到适当倍数,便会比大的一个更大”.这条公理关于线段的讲述,就是闻名的阿基米德公理.在此后的两千年间,《原本》在逻辑结构方面的缺陷不断得到修正、补充.这些工作实际是重建欧几里得几何的公理系统,以建立稳固的逻辑基础.在几何公理的研究中,德国数学家巴士(Pasch,1843-1930)的工作是极为突出的.他首先提出了顺序公理,并提出了12条公理,对于建立科学的几何公理体系有重大贡献.到了19世纪的末期,在这方面研究已经是异常广泛了,其中最重要的便是德国数学家希尔伯特.他在1899年发表的《几何基础》中提出的公理系统.建立了一个完美的几何学的公理体系,使得《原本》中的缺点都得到修正,并提出了公理系统的和睦性、自立性与完备性.本章推荐的公理系统是取自1930年该书的第七版.对于怎样建立几何学的基础,希尔伯特与欧几里得不同,他研究几何时没有描述几何学的元素,他首先列出不定义概念:点、直线、平面.他把这三种对象看成几何学中的“基本对象”只默认它们的存在.此外,希尔伯特还提出三个“基本关系”,即规定点、直线、平面互相间存在三种基本关系:结合关系、顺序关系、合同关系.结合关系是讲述“点在直线上”(或“直线通过点”),“点在平面上”(或“平面通过点”).顺序关系是讲述“一点在另两点之间”。合同关系是讲述“线段合同”和“角合同”.希尔伯特提出的基本对象和基本关系满意下列五组公理,即结合公理、顺序公理、合同公理、延续公理、平行公理.按照这五组公理就可推导出平面几何及立体几何的所有内容.这种用公理系统定义几何学的基本对象及其关系的研究主意就是数学中的“公理法”,公理法思想的实质是,从一些不定义的术语出发,这些术语的性质由公理规定;工作的目标是导出这些公理的推论.运用公理法的思想研究几何，几何空间就被认为是基本对象所成的集合,对象之间只须满意公理所规定的关系.一切符合公理系统的对象都能组成几何学,几何图形只不过是几何学的一种直观形象,每一个几何学的直观形象不是惟独一种,可能有无穷多个,每一种直观形象都称之为几何学的一种解释或几何学的一个模型.这就使得几何学的含义有了更广泛的意义,具有更大的普通性.在本章推荐的希尔伯特公理组及其推论中的排序与希尔伯特的“几何基础”一书中的排序略有不同,主要是把“延续公理”与“平行公理”的顺序调换了一下.2.1结合公理及其推论在本章中以后用字母A,B,C,⋯表示点;用字母a,b,c1结合公理I1−8我们假定点、直线、平面之间可以有一种关系:“点在直线上”(或“直线通过点”)、“点在平面上”(或“平面通过点”),这是基本结合关系.此外几条直线与一个点也能有一种关系“这些直线相交于一点”(或“这些直线有公共点”)等等。这样的关系都叫结合关系.结合关系受以下各条公理制约.I2对于随意I2对于随意I3.1I3.2至少有三点不在同向来1.1对于不共线的三点,恒有一个平面通过其中的每个点.1.2每个平面上至少有一个点.5对于不共线的三点,至多有一个平面通过其中的每个点.I6倘若直线a的两个点在平面α上,则a的每个点都在αI7倘若I8我们分析一下各条公理的作用.(1)结合公理八条十句话保证了基本概念点、直线、平面的存在.其中I3,2和I8保证了点的存在;I1和I3,2保证了直线的存在;I3,2和公理I2、(2)结合公理刻划了点、直线、平面间的结合关系.I1−I3属于点和直线的结合关系,称为平面结合公理,(3)结合公理保证了我们所研究的公理是三维空间.根据I8,我们研究的几何学的维数不能小于三,而I7表明我们研究的几何学的维数不大于三(在四维或更高维空间中,两平面可以惟独一个公共点).所以结合公理所“点和直线互相结合”及“点和平面互相结合”都是基本结合关系,而“直线和平面互相结合”不是基本结合关系,它可以定义.定义1.1倘若直线a的所有点都在平面α上,则称直线a在平面α上(或与平面α互相结合).推论直线a若有两个点在平面α上,则直线a在平面α上.2公理I1−8的推论按照公理I1−定理1.1两条直线至多有一个公共点.两个平面或者没有公共点,或者有一条公共直线,它们所有的公共点都在这条直线上.一个平面和不在它上面的直线至多有一个公共点.证实假设两条直线a及b除了一个公共点A以外,还有第二个公共点B,则按照I1及I2,点A及点B可决定一条直线,则与a和b定理第二部分的证实.两个平面α及β可能没有公共点也可能有公共点.现设平面α及β有一个公共点A,按照公理I1,它们还应该有第二个公共点B.又按照公理I1−2,过点A及点B可决定直线a.按照定义1.1的推论及公理I6,直线α是平面α和β的公共直线.现在证实平面α和β所有的公共点都在直线a上.假设平面α和β的公共点C不在直线a上,则点A,B,C不共线.按照I5,至多有一个通过A,B,C三个点的平面,所以平面α与定理的第三部分可以直接由I6定理1.2通过不共线的三点恒有一个平面;通过向来线及不在其上的一点恒有一个平面;通过有公共点的两条直线恒有一个平面。这个定理请读者自证.定理1.3每个平面至少有三个不在一条直线上的点.证实已知平面α,按照I4.2,这个平面α上至少有一点A.按照I8,’存在不在平面α上的点B,再由I1−2,过A,B决定直线a.由I2,2,存在点C,并且不在直线a上.不妨设点C不在平面α上.由定理1.2,直线a与C决定平面β.平面α与β有公共点A,按照I7,它们必有第二个公共点,记为D.则平面α上存在不同的两点A及D.再按照I8,存在点E不在平面β上,不妨设E不在平面α上.A,B,E三点必不共线I6.按照定理1.2,A、B、E三点决定平面γ.因为平面α和r有一个公共点A,由I7,则它们必有第二个公共点F,并且F与A不同.由定理1.2,平面现在证实A、D假设F在直线AD上,因为A、D在平面β上,由I6,F也在β上.从而F是平面β与γ的公共点,按照定理1.1,F与A、B共线.但A、F均在平面α上,由I6,点B问题:仅按照公理I1−8是否还可在平面α上找出第四个点?倘若在平面r外任取一点G,是否能保证此点不在平面事实上,在公理I1−3结合公理对于中等小学几何的作用希尔伯特结合公理It−8,是中等小学平面几何与立体几何中有关点、直线、平面间结合关系的理论基础.结合公理I1关于两个平面的结合关系,中等小学几何教材中多采用“倘若两个平面有一个公共点,那么它们有且惟独一条通过这个点的公共直线”作为公理.实际上它是希尔伯特结合公理系统下的一条定理,相当于本章的定理1.1中的第二部分.希尔伯特结合公理组中的I3、I4,1习题一1.设有四个点不在同一个平面上,利用I1−(1)其中任三点不在同向来线上;(2)通过其中的每个点,至少有三个不同的平面.2.利用公理I1−3.已知向来线a,试证至少有向来线b与直线a不在同一平面上.2.2顺序公理及其推论这一组公理将讲述直线上的一个点,可以对于同一条直线上另外两个点有一种位置关系.基本顺序关系是“一点B在另两点A和C之间”,用记号ABC1顺序公理Π2−4II1若点B在点A和C之间,则A,B,C三点是一条直线上的三个不同的点.且点B也在点CII1的最后一句话的意思是AII2对于随意的两点A及B,在直线AB上至少存在一点C,使得点B在点A和Il3在定义1.2无序两点A,B的集合叫做线段,记作AB或BA.AA,B间一切点的集合叫做一开线段,记作AB.点A、B分离叫做线段AB和AB的端点.直线AB上异于A、B且不属于AB定义1.3不共线三点A,B,C的集合叫做三点形;这三点和AB,BC,CA的所有点的集合称为一三角形,记为II4(巴士公理)设A,B,C三点不在同向来线上,直线e在平面A图1-1C中的任何一点,若a过AB的一点,则它必过AC的一点或B巴士公理的另一种讲述是,与三角形共面且不过其顶点的向来线,若与三角形的一边相交,则必与其另一边相交.我们分析一下各条公理的作用.(1)公理II1(2)公理II3不保证存在性.设点A,B,C是同向来线上的三点,在BAC,ABC,ACB中,至多有一种情形成立.如ABC成立,则BAC和ACB(3)公理II2保证线段外部有点,II3保证在共线的三点中至多有一点在另外两点之间.但不保证至少有一点在另外两点之间.公理(4)在公理II4的讲述中,没有一定直线a同时和AB,2公理I-II的推论定理1.4对于随意两点A和C,在直线AC上至少有一点B在A和C证实按照I3.2图1-2在直线AC上的点E(图1-2).由I1−3,决定直线AE.按照定理1.2,A、E、C在同一平面内，把这个平面记为α.由II2,在直线AE上存在点F同理,在直线FC上存在点G,使FCG并且E和G是不同的点.否则,有AEF和FCE.由Π1及11知,A、E、F、C四点在一条直线上,即E在直线AC上,这与点E的选取矛盾.同理,对于△AFC和直线EG,EG不过A、F、C三点并且和△AFC共面,已知EG和AF相交于E,按照现在证实直线EG不交FC假设EG交FC于点H,倘若H和G不是同一点,因为直线EG和FC有两个交点,则和定理1.1矛盾;倘若H和G是同一点,则有FGC和FCG都成立,这和II3矛盾.所以直线EG不交FC,按照II4,直线E定理1.5在向来线的三点中,必有且仅有一点在其它两点之间.证实设A,B,C为向来线上的三点.关于唯一性,已由公理II3言明,现在证实存在性.按照公理II3,共线的三点A,B,如图1-3,按照I3.2,在直线AC外存在一点D,由II2,在直线BD上存在一点G,使BD图1-3对于直线AD和△GBC,据II4对于直线CD和△GAB,据II4对于直线CF和△GAE,据II,有对于直线GB和△AEC,据II4定理1.6直线a与△ABC共面且不过其任一顶点,若证实设直线a与△ABC三边都相交,交点分离为P,Q,R,并且有APB,BQC,CR倘若PQR,对于直线图1-4及△APR,据II4,BC应该交AP或AR,但已知APB,同理可证QPR和Q在共线的三点P,Q,R中∼PQR,∼QPR定理1.6是巴士公理的重要补充.在巴士公理的讲述中并没有一定向来线若交一三角形的一边,该直线和三角形的三边都相交,定理1.6就明确了该直线不能和三角形的三边都相交.定理1.7A,B,C共线,另一点P若在三开线段AB若点P在BC上,即BPC,只要证实APB和证实设P在BC上,即BPC.如图1-5,按照I3.2,存在不在BC上的点Q.由II2,在直线BQ上存在一点D,使BQD.对于直线PQ和△BCD,BPC对于直线PQ及△A图1-5据II4,得点R,使ARD,对于直线PQ及△ABD,据定理1.6,则有∼A若∼若∼APB,对于△ABD及直线PQ,据II4,得点R,使ARD.对于△ACD及直线P综合上述知,A,B,C共线,另一点P若在三开线段定理1.7实际是把巴士公理推广到直线上三点间的情形,为研究直线上四点间的顺序关系打下基础.综合定理1.6和定理1.7与巴士公理,可以得到一个推论.推论直线a与共面的三点A,B,C,直线a不过其中任一点,若a与三个开线段利用公理II1定理1.8设A,B,C(1)ABC且BCD⇒A(2)ABC且ACD⇒BCD且ABD.(3)ABC且ABD证实(1)因为A,C,D共线,且ABC,BCD,可知点B在AC上,不在CD上,按照定理1.7,则有(2)因为A,B,D三点共线,并且ABC,ACD,可知C在AD上而不在AB上,按照定理1.7知,因为ABC,BCD,(3)因为A,B,C,D共线,且有ABC,ABD,即点B在AC,AD上,按照定理1.7知,点B不在由ABC,BCD由ABD,BDC有了这个定理才有可能论证一条线段有无穷多的内点和外部的点.定理1.9线段AB内部的点有无穷多个,线段AB证实设A,B是直线a上的两个点,按照定理1.4,在A与B两个点间存在着点C,即ACB.同理在A与C两个点间存在着点D,即ADC.按照定理1.8(1)有,ADB,也即D是线段AB上与C不同的点.用同样的主意可以证实在线段AD间还有点,并且是线段AB上的点,且与点C用同样的主意也可证实线段AB定义1.4设O,A,B三点共线,若AOB,则称A,B在这直线上点O的异侧;若∼AOB,则称A,B在点O的同侧.定理1.10(剖线定理)直线a证实由1s.1,在直线a上取异于O的一点P图1-6令它属于第一类,并令凡与P在O同侧的点A都属第一类,而凡与P在点O异侧的点B都属于第二类.则a上除点O外的每点均恰属一类,每类不空.现在证实O在异类两点A,B之间.由分类规定知,若A和P是同一点,则AOB;若A和P不是同一点,则对三开线段PA,PB,AB而言,点O不在PA上,在PB上,按照定理1.7,点O在AB上,即再证实O不在同类两点之间.设点A和A′属于一类,且均非P.因为点O不在线段PA,PA′上,按照定理1.7知,O也不得在AA′上.若P和A或P和A′是同一点时,点O不在AA′上,即∼AOA′.同理,若B和B′属于第二类,则点O已在线段定义1.5两点O,A在直线a上,点A以及与点A在点O同侧所有点的集合称做以O为端点(或原点)的一条射线或半直线.记为O说明(1)点O不是射线OA(2)射线的决定与点A没有关系,也即OA与其上点A的位置无关.倘若点A′与A在点O的同侧,则OA与OA′表示同一条射线;(4)按照定理1.10知,直线a上的任一点θ我们可以利用射线上点的顺序关系定义直线上的点的顺序。设O是直线a上的随意一个点,点O把直线分成两条互补射线,我们取定其中的一条称之为第一条,现在规定这条射线上点的顺序.设点A及点B是第一条射线上的两个点,倘若OAB,则称点A在点B的前面或点B在点A现在假设有点A在点图1-7B的前面,就是OAB;点B在点C的前面,就是OBC,按照定理1.8(2),有OAC,就是说点A这样,利用射线上点的顺序就可以定义直线上的点的顺序.规定如下:(1)设A和B是第一条射线上的两个点,倘若对射线来说,点A在点B的前面,对直线来说,点A仍在点B的前面;(2)在直线a上,第二条射线上的点都在点O的前面;(3)在直线a上,第二条射线上的所有点都在第一条射线上的点的前面;(4)在直线a上,点O在第一条射线上所有点的前面.(5)设A和B是第二条射线上的两个点,倘若对射线来说,点A在点B的前面,则对直线来说,点A也在点B的前面.这样,我们就对一条直线a规定了它上面的两个点谁在前面,谁在后面的意义.通常说直线上的点是“有序”的,其意义就是对于直线上的点规定了“前面”和“后面”的概念.至此,我们得到了一个重要结果.定理1.11直线上的点形成一个稠密有序的集合.下面研究平面上和空间点的位置.定义1.6设平面a上的向来线a,点A和B均不在a上,倘若直线a交AB于一点,则称点A和B在平面α上直线a的异侧;若a不交AB,则称A,B在定理1.12(剖面定理)平面α上的每向来线a把α上不在a上的所有点分成两类,使得同类两点在a同侧,异类两点在a异侧.定义1.7在平面α上直线α的同侧的所有点的集为以直线a为边缘的半平面.倘若A是这个平面上的一点,则此半平面可记为Ha,易知,平面α上的随意的一条直线a,把平面分成两个半平面,这两个半平面以a为公共的边缘.定义1.8点O以及以O为端点的无序的两条不共线的射线h、k的集合称为角.点O称为角的顶点,射线h、k各称为角的边.以h、k为边的角可记为∠设A,B分离为h、k上的点,则∠h,k也可记为∠AOB;设h*,k从定义1.8可知,中等小学几何教材中的“平角”和大于平角的角,在这里都不叫做角.定理1.13A,B分离为角的边h和k上的一点,以角顶O为端点的射线l通过角的内部,则必与开线段AB相交;反之,若ACB,则射线O证实已知射线l在∠h,k之内部.取A′,使AOA′.作射线l的补射线l′.对于直线ll′和△图1-8因为射线l属于∠(h,k)的内部,但是A′B⊥.的点不属于∠h,k的内部;然而直线ll′和△A′BA的一边AA′交于内点O,由II4,直线ll′必与AB相交于一点C,并且C与B在直线hh反之,若ACB,则点C在ΠA*,B上,又在Πk*,A上,即点C在∠h,k的内部.设OC上任一点M,有OMC或OCM,则MC与h*,k直线上点的顺序关系,可以推广到共端点共半平面的射线的顺序关系中去.定义1.9。若射线h以角∠l,k的顶点为端点,且在此角的内部,则称h在l,k定理1.14三射线h,k,l共端点O,且k,l同在以h*为边缘的同一个半平面上,则顺序证实唯一性设hkl成立,A和C各为h,l上的一点,衔接线段AC,按照定理1.13,k交AC于一点B,即有ABC.若再设hk成立,由定理1.13又有ACB存在性设∼hl图1-9明hkl成立.在h,l上分别取A,C,取点A′使AOA′(图1-10).对于直线k*和△ACA′,则k*必与AC或A′C交于一点.且知此交点必在k上.现证k不能与A′C相交.假若k交A′C于一点B′,即有A′B′C图1-10于一点D,D在l上,按照定理1.13,可知hik成立.但这与∼hlk矛盾,所以k不交A′C.所以k必交AC于一点B,即在此基础上,我们可以定义折线、多边形、容易多边形等概念.定义1.10有序的n个点A1,A2,⋯,An以及开线段A1A2,A2A3,⋯,An−1An上一切点的集合称为衔接点A1,⋯,An的一条折线,记为A1A2⋯An,定义1.11若一n边形的顶点各不相同,任何一边上不含顶点,任何两边无公共点,则它称为容易多边形.图1-11所表示的多边形都不是容易多边形.「图1-11定义1.12若关于多边形每边所在的直线而言,该多边形的所有顶点都在同一个半平面内时,这个多边形叫做凸多边形.从上述定义可知,每一凸多边形都是容易多边形,但一个容易多边形却不一定是凸多边形.如图1-12中(1)是凸四边形,(2)是容易多边形但不是凸四边形.下面给出空间点的顺序中最重要的结论.定理1.15(剖分空间定理)每一平面α把空间的所有其余点分为两类,具有下述性质:异类两点所成开线段必与α图1-12有公共点,而同类两点所成开线段与α无公共点.定义1.13倘若两点A,B分离属于平面α剖分空间的不同两类,则称A,B在α的异侧;反之,若A,B属于同一类,则称A,B在定理1.16(空间巴士定理)设A,B,C是空间不在向来线上、也不在平面α上的点.若平面α与线段AB相交,则平面α必与线段BC这里讲述的“空间”的意义就是这样的点、直线、平面的集合,它们之间的基本关系相宜希尔伯特的五组公理.3顺序公理对于中等小学几何的作用中等小学几何教材中通常不引入顺序关系及顺序公理,但却渗透顺序关系,所以只能够以直观默认的方式处理.例如,对于直线上点的顺序;对于线段是否存在内点和外点;对于“侧”的概念;对于射线的概念;对于共端点的三射线的顺序;对于角的内部、外部的概念;对于多边形、半平面等概念都是凭直观默认的方式处理的.我们学习了希尔伯特公理I1−8和I1−4,就能够“居高临下”地理解中等小学几何教材,可以用顺序公理解释中等小学几何教材中有关顺序问题.实际上顺序公理II1−4中学平面几何中指出:线段AB可以向随意一方延伸.什么叫“向随意一方延伸”?为什么可以延伸?公理II2则从理论上揭示了“延伸”的意义,保证了“关于两条线段、两个角的大小比较等问题,在中学平面几何的讲述中,因为缺少顺序关系和“内部”与“外部”的概念,因此只能直观描述.此外,在立体几何中的“二面角”的概念,涉及到“半平面”的概念,在教材中也是仅作了直观描述.这些问题惟独在H1−4的基础上才可以从理论上予以郑重讲述.又如在公理I1−8、II1−4的基础上建立的定义1.10、定义1.11、定义1.12、定义1.13都是中等小学几何中有关“多边形”、“容易多边形”、习题二1.利用公理I1−82.半平面λ的边缘p过点O,则共原点O且在λ上的三射线中恒有一条在另两条之间.3.设点A不在直线BC上,平面α不过A,B,C三点,平面α与线段AB相交,则平面α必与线段B2.3合同公理及其推论这组公理将讲述“合同”关系。假设一条线段对另一条线段（或者对自己）可以有一种关系,用“合同”表示这种关系,即“一线段AB合同于另一线段A′B′2,记作AB≡A′B′或BA≡B′A′;还可假设一个角对另一个角（或者对自己）可以有一种“合同”合同关系受合同公理制约.1合同公理IIII1设A,B是直线a上的两点,A′是同一或另向来线a′上的一点,则在直线a′上点A′的指定一侧,存在一点B′,使得线段A因为每一条线段被两点所定义,所以AB和BA表示的是同一条线段.公理III1III倘若A′B′≡AB由公理III1及I倘若AB≡A′B′这是因为,若AB≡A′B′和B′A′≡A′B′III,开线段AB、BC均在直线a上且无公共点,开线段A′B′、B′C′在同向来线或另向来线III4.1已知平面α上一角图1-13a′上向来线a′的一侧以及a′上一点O′为端点的一射线h′,则在α′上恰有一射线h′,使∠h,kIII图1-14III5对于两个三角形△ABC和△A′B′图1-15∠A′我们分析一下公理III(1)公理IH1保证线段可迁移,但在所设条件下并未保证线段迁移的唯一性.在III(2)公理IH3可理解为“合同线段可加性(3)III(4)公理III(5)公理III5是证实2公理I-III的推论按照公理III1−定理1.17线段合同关系满意反身性,对称性,传递性.证实反身性由III1,有AB≡A′B′,它和AB≡对称性设AB≡A′B′,由反身性A传递性设AB≡A′B′,A′B′≡A′′从线段合同关系满意反身性,对称性和传递性,可知合同关系是一个等价关系.在公理IH1−5若将线段AB移到以A′为端点的指定射线上,假设得到两个不同的点B′和B′′,且AB≡A′B′,AB≡A′B′′,按照定理1.17,得A′B′≡A′B′′.按照I3,图1-16III4.1角的迁移唯一性矛盾,所以把线段AB移到以在公理I-III的基础上我们可以论述三角形合同的有关理论.定理1.18若一三角形的两边合同,则这两边所对的角也合同。证实如图1-17,已知CA≅CB,将III5用于△CAB及△图1-17定义1.14三边中有两边合同的三角形叫做等腰三角形.定理1.18可讲述为等腰三角形的两底角合同.定义1.15在△ABC与△A′B′C′中,若AB≡A′B′,BC≡B′C′,AC≡A′C′,∠BA图1-18证实按照III5,有∠B≡∠假设BCèB′C′,按照III1,在B′C′上存在一点D′,使BC≡B′D′.把III5用于△ABC和△A′B′D′定理1.20(三角形合同的角边角定理)在△ABC和△A′B′C′证实主意与定理1.19类似,请读者完成.定理1.21(加(减)角定理)设两组射线h,k,l和h′,k′(1)若hlk且h′l′k(2)若lhk且h′,k′在l′所在直线的同侧,则l′图1-19定理1.22(三角形合同的边边边定理)设在△ABC和△A′B′C′证实现在假设∠BACè∠B′A′C′.按照III4,在A′C′一侧存在一条射线图1-20在射线A′P′上取点B1′,使得AB≡A′B1′.在△ABC和△A′B1′C′中有AB≡A′B1′,AC同样地在A′C′的另一侧作与△ABC合同的△A′B2′C′,使得∠C′A′B2′≡∠BAC且A′B2同理,∠B2因为A′B′和A′B1′是不同的射线,这与公理III,矛盾,所以∠B角的合同关系具有反身性,这是II4.2所讲述的内容.关于角的合同关系定理1.23(角合同的传递性)若∠O≡∠O′,∠O证实在∠O,∠O′,∠O′′的一边上各取一点,分离为A,A′,A′′,使得OA≡O′A′,OA≡O图1-21按照定义1.15,得AB≡A′B′,AB≡A′′B′′.再由定理1.17,有推论若∠O≡∠O′证实已知∠O≅∠O′,按照III4.2,有定义1.16若两个角共顶点、共一边,且不公共的两边互为补射线,则这两个角互称为邻补角.定义1.17若一个角的两边是另一个角两边的图1-22补射线,则这两个角互称为对顶角.定理1.24若二角合同,则其邻补角也合同.证实设∠ABC≡∠A′B′C′且ABD,A′B′D′.在以B′为顶的三射线上取点A按照III3,得由定理1.19,有△ACD≡△A按照定理1.22,有△BCD≡△B′证实对顶角可以看作是同一个角的邻补角(图1-23).因此它们合同。在公理1-III的基础上,我们可以研究两条线段或两个角的“大于”和“小于”关系.定理1.25(减线定理)设ABC.点B′,C′在直线A′B′上点A′的同侧,并且A证实在直线A′B′上取点C1,使B′C1≡BC,且A′B′C1(图1-24).由题设及III2,得AC≡A′C1.按照线段合同的传递性,得A′C′≡A′图1-23图1-24推论已知二线段AB及A′C′,在A′C′上取点B′使AB≡A′B′.在AB上取点C,使A′C′定义1.18已知二线段AB及A′C′,在A′C′上取点B′,使AB≡A′B′.若A′B′C′,则称AB小于A′C′,记为AB<A′C′;若A证实按照公理HI1,在直线AB上,以点A为端点,和点B同侧,总有一个点B′,使得倘若AB′B,则图1-25倘若ABB′,则倘若B′和B是同一点,则AB≡C按照公理II3对于线段的大小关系,还有下面的定理.定理1.27对于随意两条线段AB和CDA证实由定义1.18及定理1.25的推论赶紧可以推得.定理1.28倘若AB<A′图1-26A证实因为A′B′<A′′B′′,在线段A′′B′′中存在点E′′,使得中有点D′,使得A′D′≡AB,并且A′D′B′.按照III1,在A′′E′′上,一定存在D′′,使得A′′D′′≡A′D′(图&1-26).因为A关于角的大小比较,可以彻低模仿线段的比较大小的方法来研究.定义1.19已知二角∠l,h和∠l′,k′.以∠l′,k′的顶点O′为端点作射线h′,使∠l,h≡∠l′,h′且h′和k′在l′同侧.若h′落在∠l′,k′定理1.29对于随意的两个角∠h,k和∠∠中,总有一个成立,而且只能有一个成立.在公理I-III的基础上,可以研究下述重要定理及有关问题.定义1.20三角形每一个角的邻补角都叫做这三角形的外角.定理1.30(外角定理)三角形的每个外角都大于其任一不相邻的内角.证实在△ABC中设∠CAD是其一个外角,假若∠CAD≡∠ACB.由III1,在BA上取点D,使得按照定理1.24,若BCE,则∠CAB≡∠ACE假若∠CAD<∠ACB图1-27∠ACB′.且射线CB′在射线CA,CB之间.按照定理1.13,CB′必交AB于B′使AB′由外角定理可推导出下列重要推论.推论1共面两直线被第三直线所截,倘若截得同位角(或内错角)合同,则此两直线不相交.注重:内错角、同位角等概念,在顺序公理的基础上就可以被定义,请读者自己定义.推论2过已知直线外一点,至少可以引向来线与已知直线共面不交.推论2说明过已知直线外的一点,并且与已知直线共面不交的直线至少有一条.推论3在一三角形中较大的边所对的角也较大,逆之亦真.推论4(三角形合同的角角边定理)两个三角形中,若有两角分离合同,且其中一对合同的角所对的边也合同,则此两三角形合同.推论5(三角形合同的边边角定理)若两个三角形中有两对边合同,且其中较大的一对边所对的一对角也合同,则此两三角形合同.推论6三角形随意两边之和大于第三边,而随意两边之差小于第三边.推论7线段小于随意一条连结它的端点的折线.推论8若两个三角形中有两对边合同而夹角不等,则夹角大者所对的边也大,反之也成立.定义1.21设三点O,A,B共线,且AO≡OB,则点O称为线段线段中点必在它的内部.如若不然,就与线段迁移唯一性矛盾.定义1.22若射线l以∠h,k的顶点为端点且∠(h,l)≡∠l,任一角的平分线也必在图1-28角的内部.定理1.31(中点定理)每条线段恒有一个中点.证实已知线段AB.在直线AB的一侧取一点C,在AB的另一侧取一点D,且使∠CAB≡∠DBA,AC≡O点不能是A或B.假设O和B是一点,(图1-29).因为∠ABD是△ACB的外角,则∠ABD>∠CABO点不能是AB外部的点.假设ABO(图1-30).由于∠ABD是△图1-29图1-30又因为∠BOD>∠CAO,则∴AB同理可证OAB因为∼ABO,且∼OAB,如图1-28,△AOC≡△B现在证实线段中点的唯图1-31一性.设AO≅OB.假设O′AO′≡O′B假设AOO′,按照定理1.8(2),有OO′B.则OB>O′B.因为AOO′,则AO′>AO与同理AO′所以O′仅在AB上,但不在AO和图1-32这与定理1.7矛盾.所以线段AB定理1.32(角的平分线定理）每个角恒有一条平分线.证实已知∠h,k,由III1,在角的两边上各取一点A,B,使OA≡OB(图1-32).连结AB,按照定理1.31,线段AB存在中点E.由定理1.22∠h,k的平分线是唯一的.假设∠h,k还有另一条平分线,则可推出线段AB定义1.23与其邻补角合同的角称为直角.小于直角的角称为锐角,大于直角的角称为钝角.若∠AOB为直角,则称直线AO与BO互相垂直,记为AO请读者定义三角形的中线和角的平分线.定义1.24有一个内角是直角的三角形称为直角三角形;有一个钝角的三角形称为钝角三角形;具有三个锐角的三角形称为锐角三角形.定理1.33(直角定理)直角存在,凡直角皆合同.证实任取一角∠h,k,在其两边上各取一点A、B,且使OA≡OB.设E图1-33三角形合同的边边边定理,得△AOE≅△BOE.从而∠现在证实凡直角皆合同.设∠AOB和∠A′O′B′皆为直角.∠BOC和图1-34假设∠AOB>∠A′O′B′,则在对于直线OB和△ACD,因为AOC,OB和OA在OD的异侧,则OB必交CD于一点E,由定理1.13,OB必在∠DOC的内部,按照定义1.19,有∠DOC>∠BO同理∠AO按照定理1.29,则∠AO定理1.34在一平面上,通过已知点A恰可作已知直线a的一条垂线.证实设点A在直线a与不在a上两种情况证实.(1)设A在直线a上,按照III4,1及定理1.33在该平面内作射线AC,使它与a′图1-35图1-36又因凡直角皆相等,所以在此平面上过点A不能再有直线与a垂直.(2)设A在直线a外.(读者自己完成证实)推论1任何三角形至少有两个锐角.推论2自直线a外一点A引直线a的垂线AB和斜线AC,AD.点B和C,D分离为垂足和斜线足,若此时可定义三角形的高线和中垂线.推论3若C是线段AB中垂线上的一点,则CA推论4等腰三角形顶角之平分线垂直平分底边.在等腰三角形中,由顶点向底边所引的高线、中线及角平分线重合.推论5若C是∠h,k的平分线上的一点,则推论6三角形三内角的平分线共点(此点称为三角形的内心).定理1.35倘若一个三角形两边的中垂线相交,则第三边的中垂线必通过此点(此点称为三角形的外心).下面将研究在公理I-III的基础上建立立体几何的理论.本章在研究结合公理时曾涉及一些立体几何的内容.在这里我们继续研究立体几何的有关内容.对于某些定理的证明,因为和现行中等小学立体几何教材中的证实并无多大区别,所以对于这类问题的证实就不重复.这里仅就某些和中学立体几何中不相同的证法推荐一下.异常请大家注重下面讲述的立体几何内容是在怎样的逻辑基础上展开的.定理1.36在空间可以作两条不在同一个平面上的直线.这个定理保证了“异面直线”的存在.定义1.25若直线AB交平面α于B,并且垂直于α内通过B的任何直线,则称直线AB垂直平面α于B,记为AB⊥α于B,AB称为α的垂线,B称为垂足,定理1.37向来线若与相交二直线垂直于其交点,则此直线必垂直于这两条直线所决定的平面.证实设AB⊥BC,AB⊥BD,并且B,D,C不共线.设BC和BD决定平面α.在α图1-37图1-38定理1.38通过一已知点恰能作向来线垂直于一已知平面.证实设点A在平面α内与不在α内两种情况证实.下面只证实点A不在α内的情况.在α上随意引向来线a,按照定理1.34可作AN⊥a,垂足为N.在α上作CN⊥a于N,再作AB⊥CN于B.延伸AB至A′,使AB=A′B.在a上任取一点M(M和定理1.39自平面外的一个点,作这个平面的斜线和垂线,则(1)垂线段短于一切斜线段;(2)两条斜线合同的须要和充足条件是它们在平面上的射影合同;(3)一条斜线长于其它一条斜线段的须要和充足条件是第一条斜线在平面上的射影长于第二条斜线在平面上的射影.注重一条斜线在平面上的射影的定义,请读者完成.定理1.40(三垂线定理)在平面上通过斜线和平面的交点所作直线和斜线垂直的须要和充足条件是它和这斜线的射影垂直.定理1.41平面α的斜线与其在α上的射影所组成的锐角,比这斜线与α上由斜线足切发的任一射线所组成的角为小.关于直线与平面所成的角,二面角等概念请读者予以定义.定义1.26由二面角的棱上随意一点出发的二射线若分别在二面角的两个面内,并且垂直于棱,则此点和此二射线所组成的角称为此二面角的平面角.定义1.27一个二面角的平面角若为直角,则称为直二面角.定义1.28两平面若相交成直二面角,则称此两平面互相垂直.定理1.42一个二面角的所有平面角都合同.定理1.43两个二面角相等的须要和充足的条件是它们的平面角都合同.定理1.44若一平面通过另一平面的垂线,则此二平面互相垂直.定理1.45若向来线不与已知平面垂直,则通过此直线恰有一平面与已知平面垂直.定理1.46若相交二平面均垂直于同一平面a.则此二平面的交线也垂直于α.3合同公理对于中等小学几何的作用中等小学几何教材中不引入“合同关系”及“合同公理”，而是研究线段和线段、角和角、三角形和三角形、多边形和多边形的“全等”关系.我们可以认为“合同的图形”就是“全等的图形”.合同公理规定了两个图形在怎样的条件下叫做合同图形.在中等小学几何教材中阐述“全等”(或相等)概念时却用到了“运动”的概念.例如:“把线段AB放到线段A′B′上,使点A和点A′重合,AB沿着A′B′的方向落下,若点“把∠AOB叠放到∠A′O′B′上,使顶点O与O′重合,边OA与O′A′重合,另一边OB与O′“把一个图形叠放到另一个图形上,倘若彻低重合,这时两个图形叫做全等形”.这里“叠放”的意义是什么?线段和角的形状、大小在“叠放”的运动中是否改变?这只能凭直观默认.所以,在中等学校几何里有关“相等”或“全等”问题的论述中,在逻辑上是不严谨的.在希尔伯特公理系统下,图形的合同作为基本关系,只承认其存在,不予定义,“迁移”是由“合同”派生出来的概念.在合同公理中只规定了“线段”和“角”互相合同的可能性.关于三角形全等的判定定理,有的中学几何教材是采用叠合法证实的.在公理I-III的基础上证实三角形合同(全等)的判定定理的主意已在本章定理1.19、定理1.20、定理1.23给出,证实的主要论据是公理III1−5.证实过程彻低注重在公理I-III的基础上是可以定义“运动”,这里就不论述了.在科士青著的《几何学基础》第二章$4中,把“运动”作为基本概念,用公理来制约,并用它来定义“合同”在公理I-III的基础上,可以图1-39对中等小学几何教材中的有关问题的论述严谨化.例在一个三角形中,倘若两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大.证实在△ABC中,AB>AC因为AB>AC,在AB上取点D按照定义1.18,有ADB.连CD,由定理1.13,知CD在∠ACB的内部,按照定义1.19,知∠ACB>∠所以,∠AC建议读者运用公理I-III及其推论,对中等小学几何教材中的有关问题的论述予以严谨化.请注重中等小学几何教材的逻辑系统与本章内容展开的逻辑系统的不同点.例如在中等小学几何教材中对于线段的中点存在且唯一性是在“基本作图”中给出的.但在作图中运用了数量关系.这些内容不是公理I−I在中等小学几何教材中三角形的“外角定理”是在“平行公理”的基础上推出的.这种证法在公理I-III的基础上是不能采用的.在中等小学几何教材中关于“直角”的定义及“凡直角皆相等”定理的证实,都涉及数量.如“90∘的角是直角”.因为所有直角都是90∘,因此凡直角皆相等.这种论证主意不是公理I-III的结论.公理I-III及其推论均未涉及角度、长度等数量关系.此外,中等小学几何教材中关于“作已知线段的垂直平分线”、“作已知角的平分线”等作图题的总之,希尔伯特公理体系中公理I-III的结论与中等小学几何教材中的公理系统的结论是有很大区别的.习题三1.试证实:两个三角形中,若有两角分离合同,且其中一对合同的角所对的边也合同,则此两三角形合同.2.试证实:三角形随意两边之和大于第三边,而随意两边之差小于第三边.3.试证实:任何三角形中至少有两个锐角.4.试证实:两个三角形中,有两对边合同而夹角不等,则夹角大者其所对的边也大,反过来也成立.2.4延续公理及其推论1延续公理IV1−IV1(阿基米德公理)设随意两线段AB、CD,则在AB上存在着有限个点A1,A倘若给出线段的倍的意义*，图1-40则阿基米德公理也可以这样表述:对于两线段AB和CD,则一定存在一个天然数n・已知线段AB和DS,若在线段AB内部存在n−1个点A1,A2,⋯,A.,满意下述条件:(1)Ad1A2且AiAiAk(其中1≤i<j<k≤n-1);(2)DE≡AA1≡AiAi+1≡An−1B(其中1≤inIV2(康托儿公理)设在直线a上给了线段的无穷序列A1B1,A2B2,⋯,AnBn,⋯其中每一条后面的线段连端点在内,彻低落在前一条线段内部,设对于随意给定的线段CD,总可以找到一个天然数n,使得AnB图1-41这两条公理都没有涉及新的基本概念.在讲述中用到的名词与术语均在公理I-II的基础上已明确.公理IV1康托儿公理中的点X并未申明是唯一的，其唯一性可以证实.公理IV1和IV22公理I-IV的推论定理1.47(戴德金命题)设线段AB(1)每点恰属一类,A属第一类,B属第二类;(2)第一类中异于A的每个点,在A和每个第二类点之间。则必存在一点C,使A,C间的点都属第一类,而C,B间的点都属第二类.点这里要说明的是,戴德金命题在公理I-III的基础上与阿基米德公理是等价的.定义1.29倘若把一个随意选定的线段OO′对应正数1,并且对于每一条其它的线段都可以(1)合同的线段对应相等的正实数;(2)倘若ABC,线段AB对应的正数是a,线段BC对应的正数是b,则线段AC则每一线段这样对应的正实数,叫做该线段的长度.线段OO′叫做单位线段,它的长度为1.记作d定理1.48倘若选定了长度单位OO′,则每条线段AB有唯一的一个长度定理1.49对于任何给定的正实数a,在给定单位长度后,则存在唯一的线段,它的长度等于a.定理1.48和定理1.49说明了线段与正实数的对应关系.下面说明角的测量.定义1.30倘若把一个随意选定的角作为测量单位,并且对于随意一个角都可以对应一个正实数,使得(1)合同的角对应的是相等的数.(2)倘若hik,而且∠k,l对应的数为a,∠l,k对应的数为β则每一角这样对应的正实数叫做该角的角度.在线段测量中可以把随意一条线段作为长度单位,但在角的测量中,因为一切直角都合同,所以通常取直角作为一个测量单位,使它对应一个决定的正实数,借用数学分析的结果,把它取成π2.这样决定定理1.50取定一角度单位(即角度为1的角),每角必有一个且惟独一个角度.定理1.51取定一角度单位后,若直角的角度是ω,则任一数α0<α<2ω,总对应着一个角∠h,推论任一已知角与其邻补角的角度之和为π.从定理1.48和定理1.49可知，每条线段都有一个对应的正实数,就是它的长度;反过来,每个正实数都有一条线段和它对应,这个实数就是该线段的长度.下面按照线段具有长度的理论建立坐标系.定义1.31两点间的线段长度叫做两个点的距离.先建立一维几何学的坐标,即直线上点的坐标.在直线a上任取一点O作为坐标原点,而且约定以O为端点的一射线为正的方向(图1-42).它的补射线为负向.图1-42再取定一单位的线段OE.则对于直线a上任一点M样规定它的坐标x:当点M在正方向时,x=dOM;当点M在负方向时,x=−dOM;当M=0时,对于随意的实数x(不管是正还是负的),在直线a上正好有一个点,它的坐标等于x;相反地,直线a的每一个点,都对应一个实数作为它的坐标.在直线上建立了坐标系统以后,我们可以把直线上所有点的集合与所有实数的集合建立一个一一对应,且保持它们的顺序关系.例如M1x1和M2x2是直线上的两点,我们规定,而且仅当x1<x2时,就说点M1在点M定理1.52直线上所有点的有序集合与所有实数的有序集合,可以建立这样的一一对应,使得元素间的对应元素间有同样的顺序.定理1.52所表示的性质叫做直线的延续性,它由公理IV1,IV2保证.所以IV1下面建立平面的坐标系统.设a是平面上经过点O的直线;在点O的左侧是负的射线.直线a把平面分成两个半平面,其中的λ为正半平面,λ′为负半平面.对于平面上随意一点M,过M可作直线a的一条垂线.用Mx表示它的垂足(图1-43).我们这样规定点M的坐标x当M在正半平面λ图1-43上时,x是Mx的直线坐标,y是dM当M在负半平面λ′上时,x是Mx的直线坐标,y是−当M在a上时,即M=Mx,其坐标为当M=0时,其坐标为0这样,对于平面上的每一个点,都可以找到一对与它对应的实数x,y,反之,任何给定的一对实数x,y,我们一定能找到一个坐标是同样可以在空间引进坐标系统.在空间取随意平面α.在平面α上取定原点.x轴、单位点及正半平面后,就决定了平面α上的坐标系统.取以α为界面的一个半空间S为正的,另一半空间S′为负的.设任一点M至α之垂线足为M′.取这样的三个有序实数(x,y,z),称为点M的坐标,其中x,y为点M′在平面α上的坐标,当点M在α上,z=0;当点M在S中,z=dM图1-44这样,在取定原点、x轴、单位点、xy平面及正半空间后,空间每个点M恰好有三个有序实数(τ,y,z)从上面的讲述中可看到定理1.49及定理1.50也是建立坐标系统的基础.在公理IV1和IV2定义1.32*设O是一个定点,线段AB是一定长,平面上和点O距离等于AB的点的集合叫做圆;O叫做圆心,*实际上,圆的概念可以在公理I-III的基础上予以定义.叫做半径.对于平面上任一点M1,倘若OM1<AB,则称点M1为圆内部的点,