2024年高考数学重点题型训练：圆的方程（解析版）【艺体生专供】(新高考)

专题19圆的方程

一、考向解读

考向：高考中圆的方程一般与直线结合考查，选择题填空题都有，基础知识点是圆的方

程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等。作为平面解析几何的基础内容，也会

综合圆锥曲线考查，比较重要！

考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系。

导师建议：重视圆的方程的求法，掌握基础知识点即可！

二、知识点汇总

L直线与圆的位置关系

设圆C：（x—a）2+（y—。）2=/，直线/：Ax+By+C=Q,圆心C（a,0）到直线/的距离为d,由

（X—。）2+（y—Z?）2=r2,

\Ax+By+C=0消去〉（或x）,得到关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为4

位置关系相离相切相交

A

图形务、

方程/<0J=0/>0

量化

几何d>rd=rd<r

2.圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R,两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:

位置关系外离外切相交内切内含

g⑨

图形后）

R一r<

量的关系d>R+rd=R+rd=R~rd<R-r

R+r

公切线条数43210

【常用结论】

直线被圆截得的弦长的求法

(1)几何法：运用弦心距小半径厂和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长=户一册

(2)代数法：设直线丁=日+机与圆好+产+,+石丁+R二。相交于点〃，N,将直线方程代入圆

的方程中，消去y,得关于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,则\MN\=

W+pq(%M+%N)2~4XM-XN.

三、题型专项训练

目录一览

①圆的方程的求法

②圆与圆的位置关系

③直线与圆的位置关系

④圆的弦长

⑤关于直线和圆的距离问题

⑥多选题与填空题

高考题及模拟题精选

题型精练，巩固基础

①圆的方程的求法

一、单选题

1.圆2f+2y2+6%—4＞一3=0的圆心坐标和半径分另|J为()

A.和4B.(3,2)和4

C.［一|,1］和叵D.［一|,1］和M

【答案】C

【分析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式，即得解

3

【详解】2犬2+2产+6%一4丁-3=0可化为工2+y2+3x-2y--=0,

由圆心为1半径/=；，9+炉-4尸,易知圆心的坐标为］半径为

故选：C

2.圆心为(1,2),且过(。,0)的圆的方程为()

A.(x+l)2+(y+2)2B.x2+y2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=5D.x2+j2=-s/5

【答案】C

【分析】根据给定条件求出圆的半径，再直接写出方程作答.

【详解】因圆的圆心为(L2),且过(0,0),则圆的半径一小豆=石，

所以所求圆的方程为：(尤-丁+(-2)2=5.

故选：C

3.过A(0,0),C(4,2)三点的圆的一般方程是()

A.x2+y2+8x+6y=0B.%2+y2-8x-6y=0

C.x2+y2+8x-6y=0D.x2+_y2-8x+6_y=0

【答案】D

【分析】设所求的圆的方程为/+/+m+跌+尸=0,代入已知点得方程组，求解可得圆的方程.

【详解】解：设所求的圆的方程为/+/+为+跌+尸=0,因为4(0,0),5(1,1),44,2)三点在圆上，所以

F=0,D=-8,

22

O+E+F+2=0,解得E=6,于是所求圆的一般方程是x+y-8x+6y=0.

4D+2E+F+20=0,F=0,

故选：D.

4.已知ABC的顶点&(0,0),3(0,2),C(-2,2),则其外接圆的方程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

【答案】A

【分析】先设圆的方程为(无-疗+⑶-4=户，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.

【详解】设ABC的外接圆的方程为(x-4+(y-牙一汽

因为ABC的顶点4(0,0),B(0,2),C(-2,2),

a2+b2=r2a=-1

所以卜2+(23=产,解得卜=1,因此(尤+1)2+g)2=2即为所求圆的方程.

—2

(2—a)+(2—by=r~r_

故选：A.

【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.

5.求过两点4(0,4),8(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程是()

A.(x+4)2+(y+l)2=25B.(x+4)2+(j-l)2=25

C.(X-4)2+(J+1)2=25D.(尤-4)2+(y-l)2=25

【答案】D

【分析】由圆心在直线x-2y-2=0上，可设圆心C(2b+2,b),再根据圆心到两点A(0,4)、B(4,

6)的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程.

【详解】设圆心坐标为C(2b+2,b),由圆过两点A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|BC|,

即[(26+2)-0丁+°-4)2=[(22+2)-47+0-6)2,解得b=l,

可得圆心为(4,1),半径为5,则所求圆的方程为(*-4+0-1)2=25.

故选：D.

6.圆(x-iy+(y+2)2=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的方程为()

A.(^-4)2+(y-l)2=2B.(%+4)2+(y+l)2=2

C.(A:-4)2+(J+1)2=2D.(A：+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【分析】首先求出圆(x-丁+(尹2)2=2的圆心坐标与半径，再设圆心(1,-2)关于直线/:无+y-2=0对称的

点的坐标为(。力)，即可得到方程组，求出b,即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；

【详解】解：圆口-吁+(尹2)2=2的圆心为(1,-2),半径一夜，设圆心(1,-2)关于直线/:尤+k2=0对

称的点的坐标为(。,6),

b+27、

h(T=-i

\ci=4.

则，解得〃一，即圆（xT）、（尹2）=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的圆心为（z4,1）,

*+工2=。\U-L

I22

半径r=C>

所以对称圆的方程为（x-4）2+（y-l）2=2；

故选：A

②圆与圆的位置关系

7.已知圆。一与圆Q的半径分别为2和6,圆心距为4,则这两圆的位置关系是（）

A.相离B.外切C.相交D.内切

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用圆心距与两圆半径和差大小关系判断作答.

【详解】依题意，圆与圆4的圆心距4等于圆仪的半径6减去圆的半径2,所以圆。内切于圆仪.

故选：D

8.已知圆C]:尤?+=1和C?:Y+厂-5x+4=。，则两圆的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

【答案】C

【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答

案.

【详解】由题意，知圆G的圆心£（o,o）,半径厂=1.

圆c2的方程可化为[尤一（J+>2=；,则其圆心C2《,0；半径R

53

因为两圆的圆心距IGC2I=2=1+Q=R+r,故两圆外切.

故选：C.

9.已知圆G：无2+丁=1与圆G：（x-3）2+（y-4）2=4,则圆G与C2的位置关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

【答案】D

【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系.

【详解】圆G：f+y2=i的圆心为£(0,0),半径4=1,

2

圆G:(x-3)+(y-4>=4的圆心为G(3,4),半径r2=2,

因为Jee?]=J?。+4?=5>4+弓=3,所以两圆相离，

故选：D.

10,圆。1：/+,2=1与圆O?：》2+>2-4苫+1=0的位置关系为()

A.相交B.相离C.外切D.内切

【答案】A

【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.

【详解】圆。I：V+y2=i的圆心为q(o,o),半径为11.

圆。2：/+/一4.》+1=0的圆心为Q(2,0),半径为

|。02卜2,马口<|GQ|y+弓，所以两圆相交.

故选：A

11.两个圆G：x2+y2+2x+2厂2=。与C2：/+/一4x-2y+l=0的公切线有且仅有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数

【详解】将两圆化为标准式可得£：(x+l)2+(y+l)2=4C：(x-2)2+(y-l)2=4

即两圆的圆心分别是(2,1)泮径分别是2,2

两圆圆心距离：0〈存涯=屈<4,说明两圆相交，因而公切线只有两条.故选：B.

③直线与圆的位置关系

12.圆Y+(y+l)2=l与直线x+2y+3=0的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

【答案】A

【分析】运用几何法d与厂的关系判断圆与直线位置关系即可.

【详解】圆尤2+(y+1『=1的圆心为(0,-1),半径为1,

所以圆心到直线x+2y+3=。的距离4=下空=当＜1,所以直线与圆的位置关系为相交.

故选：A.

13.直线4无一3y+ll=0与圆(x+l)2+(y+l『=4的位置关系是()

A.相离B.相切C.相交D.不确定

【答案】B

【分析】求得圆心到直线的距离和半径之间的关系，进行判断即可.

【详解】圆心坐标为(-1,-1),半径为2,

圆心到直线的距离为斯,』=2,所以直线4x-3y+H=0与圆(x+l『+(y+l)2=4相切.

故选：B

14.已知圆C的圆心为(1,0),且与直线，=2相切，则圆C的方程是()

A.(x-l)2+y2=4B.(X+1)2+/=4

C.(尤-1)2+丁=2D.(x+l)2+/=2

【答案】A

【分析】由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即：d=r,列式可得结果.

【详解】设圆方程为(彳-1『+/，

•.•直线＞=2与圆相切，圆心(L0)到直线y=2的距离为d=|2-0|=2,.•.「=1=2,

二圆的方程为：(x—l)2+y2=4.

故选：A.

15.直线x+机＞一1=0与圆/+_/_2.丫_4、=0的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.不确定

【答案】B

【分析】直线恒过定点。,0),而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.

【详解】直线工+〃沙-1=0恒过定点(L0),

而F+02-2X1-4x0＜0,故点。,0)在圆的内部，故直线与圆的位置关系为相交，

故选：B.

16.设zneR,则直线/：+y-，"—1=。与圆x2+V=2的位置关系为()

A.相离B.相切C.相交或相切D.相交

【答案】C

【分析】求出直线恒过的定点，根据定点与圆的关系可得答案.

【详解】因为〃氏+、一机-1=。，所以l)+y-l=O,即直线恒过定点(1,1)；

因为点(U)恰在Y+丁=2上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.

故选：C.

17.已知直线y+2=。与圆C：/+y2—2y—2机=0相离，则实数机的取值范围是()

1

A.(-<»,0)B.——,+00

2

1

C.—00,-------D.

42，-4

【答案】D

【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.

【详解】由一+产一2y一2根=0,得/+(y_1)2=2m+1,

12m+1>0,

・•••实数m的取值范围是W

•.•匕4>k？解得

故选:D.

18.以点(-3,1)为圆心，且与直线3x+4y=。相切的圆的方程是()

22

A.(x-3)+(y+l)=4B.(尤+3)2+"1)2=4

C.(^-3)2+(y+l)2=l

【答案】D

【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.

|-3x3+lx4|

【详解】由题得圆心到直线的距离d==1=「，所以圆的方程为(％+3)2+(y-1)2=1.

73^

故选：D.

19.已知圆》2+_/+4》=0与直线、=履+1相切,则()

B.

34.、

C.k=—,或左=0D.左二一§,或左二0

4

【答案】A

【分析】由直线与圆相切，根据d=r即可求得，要注意斜率为0的情况.

【详解】将一+丁+4了=0化为标准形式为(x+2>+y2=4,所以圆心将2,0),半径厂=2,因为

/+丁+4.》=0与直线>=丘+1相切，(1)当％=0时，了=1不合题意；(2)当左片0时，由d=嗅+忆2得,

收+1

,3

k=—.

4

故选：A

20.若曲线与直线y=Z(x—2)+4有两个交点，则实数人的取值范围是()

A.I」[B.

C.(1,4-oo)D.(1,3]

【答案】A

【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.

【详解】根据题意画出图形，如图所示.由题意可得，曲线y=67的图象为以(0,0)为圆心，2为半径

14-2fcI

的半圆，直线1恒过A(2,4),由图当直线1与半圆相切时，圆心到直线1的距离d=r,即^^=2,解

得k=J3；当直线1过B点时，直线1的斜率k=4F-0^=l,则直线1与半圆有两个不同的交点时，实数k

42-(-2)

故选：A.

④圆的弦长

21.直线/：3x+4y-1=0被圆UY+j?一2x-4y-4=0所截得的弦长为（）

A.2石B.4C.2#>D.20

【答案】C

【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.

【详解】由题意知，圆心C（l,2）,圆C的半径为3,

故C至！]/：3元+4y—1=0的距离为善日

=2,故所求弦长为253?-2?=2亚.

V32+42

故选：C

22.圆尤2+/+4x-2y+l=0与直线x=-l的相交弦的长度等于（）

A.275B.4C.273D.2

【答案】C

【分析】由圆心到直线％=-1的距离，结合勾股定理得出相交弦的长度.

【详解】圆/+/+4尤一2,+1=0可化为（x+2『+（y-l）2=4,即圆心为（一2,1）,半径厂=2

圆心（-2,1）到直线%=-1的距离d=|-2-（-1）|=1,即所求相交弦的长度为2"1=2曲.

故选：C

23.已知直线/：2无一＞一2=0被圆C:d+y2-2x+4y+〃z=0截得的线段长为乎，贝lj加=（）

A.2B.4C.D.5

【答案】B

【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，根据直线被圆截得的弦长为2户彳可构造方程求得结果•

【详解】由圆C方程得：圆心C（l,-2）,半径r=,J4+16—=

|2+2-2|2石

圆心C到直线/的距离d=万+（以=2\lr2—d1=215—%,=2个,解得:m=4.

故选：B.

24.已知直线/：x-@-5=0与圆。：/+丁=]0交于A、8两点且|AB|=26，贝！|左=（）

A.0B.±1C.±2D.±3

【答案】C

【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.

【详解】圆/+/=10的圆心为(0,0),半径为r=可，

圆心(0,0)到直线工一外一5=。的距离：［=-/『，由/=/+(四］得10=Ey+5,解得人=±2.

y/l+k2I2J1+V

故选：C

25.若直线、=爪+2-3左与圆Y+y2+4y-57=0相交于不同两点A,B,则弦A8长的最小值为()

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】先求出直线过的定点"(3,2),且M在圆内，然后求出圆心C和半径，根据圆的性质得，弦过

加且A3,CM时弦长最短，从而可以求解.

［详解］由直线户区+2-3%—)+2,

令x=3,解得y=2,所以直线过定点M(3,2),

X32+22+4X2-57<0,故M(3,2)在圆内.

由V+y?+4y-57=0=>x?+(y+2>=61,记圆心为C(0,-2),半径r=

所以|CM|=J(3-0)2+(2+2)2=5,

根据圆的性质，当弦AB过股且时弦长最短，此时弦长|48|=2价2_|。刈2=2j61-25=12.

故选：B.

26.直线，:mr+y-w+l=0被圆C:(x+iy+(y—l)2=16所截得弦长的最小值为()

A.472B.372C.272D.尤

【答案】A

【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.

【详解】解：易知直线1过定点A。,T),圆心C(-U),

因为(+1)2+(-1-；1)2<16,所以直线1与圆C相交,

当/J_AC时，1被圆C所截得的弦最短，此时弦长4=2142-|4。2=2，16-8=4后.

故选：A.

⑤关于直线和圆的距离问题

27.已知圆C:d+y2-4x=0和直线/:履-y+1-2左=0,则圆心C到直线/的最大距离为()

A.1B.2C.3D.V2

【答案】A

【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线1的最大距离.

【详解】由直线1得：则直线1恒过定点4（2,1）,

由圆C:（x-2）2+y2=4,则圆心C（2,0）,

故圆心C到直线1的最大距离d=7（2-2）2+（1-0）2=1.

故选：A

28.圆（％-2）2+9=2上动点到直线x+y+2=0的距离的最小值为（）

A.72B.2A/2C.3亚D.472

【答案】A

【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,由d-r即可求解.

【详解】•・•圆（x-2y+/=2,圆心（2,0）,半径r=0,

圆心到直线的距离d=百=2应，.•.圆（x-2）z+y2=2上的点到

直线x+y+2=0的距离最小值为20-72=72,

故选：A.

29.已知M是圆（彳-1）2+产=1上的动点，则加到直线y=6+l（/reR）距离的最大值为（）

A.2B.72+1C.3D.25/2+1

【答案】B

【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据，=履+1供eR）恒

过的定点过圆心A。,。）作直线、=丘+1（壮阳的垂线，垂足为8,得知点8的轨迹为以AC为直

径的圆，则%4mx+1=亚+1求解.

【详解】设圆（x-l『+y2=l的圆心为A（l,0）,点M到直线、=近+1（左eR）的距离为d,过点A作直线

y=丘+1伏eR）的垂线，垂足为B,

则点A到直线>=履+1%eR）的距离为|,所以41ax=|明峰+1,

又因为直线V=履+1伏wR）恒过定点C（0,l）,则垂足B的轨迹为以AC为直径的圆，

则|ML=|AC|=E=3,所以鼠=1皿L+1=0+1

故选：B

30.圆。:/+/一2尤一4=0上一点P到直线/:2x-y+8=0的最大距离为()

A.2B.4C.2^/5D.3也

【答案】D

【分析】根据圆的一般方程写出圆心坐标和半径，则点P到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径

即可求得结果.

【详解】由圆C:尤2+丁_2x_4=0化为标准方程(x-1-+/=5可知，

圆心坐标为C(L0),半径一石；

|2+8|_10

则圆心C(l,0)到直线/:2%-〉+8=0的距离为4=J2；+(T)2-小=2百,

所以，圆C上一点P到直线/：2尤-y+8=0的最大距离为〃+厂=3店.

故选：D.

31.已知直线/：3x-4y+6=0,圆C：(x-4)2+(y-2)2=16,下列结论错误的是()

3

A.直线/的纵截距为:

B.C上的点到直线/的最大距离为5

C.C上的点到点(-2,-4)的最小距离为6立-4

D.C上恰有三个点到直线/的距离为2

【答案】B

【分析】根据直线方程的性质、直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，依次判断选项即可.

【详解】对选项A,直新31>6=。，纵截距为-三总故A正确

对选项B,圆C：(x-4)2+(y-2y=16,圆心(4,2),半径厂=4,

|12-8+6|

C上的点到直线/的最大距离为+4=《+4=6,故B错误.

^32+42

对选项C,因为(-2-4)2+(T-2)2>16,所以点(-2T)在圆C夕卜,

所以C上的点到点(-21)的最小距离为J[4-(-2)++[2-(-4)丁-4=6后-4,

故C正确.

对选项D,圆心(4,2)到直线/：3龙-4y+6=。的距离d=叶上8=2,

V32+42

因为4-2=2,所以C上恰有三个点到直线/的距离为2,故D正确.

故选：B

32.已知A,3分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线2x+y-4=0相切，则该圆面积的

最小值为()

n-2兀八4乃一

A.—B.—C.——D.万

555

【答案】C

【分析】由已知可得以4B为直径的圆过坐标原点0,由。向直线2尤+y-4=。作垂线，垂足为。，当。为

切点时，圆的半径最小，此时直径为点。到直线的距离，进而求解.

【详解】加为直径，ZAOB=90°,

点必在圆上，

由点。向直线2x+y-4=0作垂线，垂足为。，

当点。恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，

此时圆直径为0(0,0)到直线2x+y-4=。的距离]=展?=半，

即半径r=迪，所以圆的最小面积%n="=与，

55

故选：C.

⑥多选题与填空题

二、多选题

33.经过四点(0,0),(U),(2,0),(0,2)中的三点的圆的方程可能为()

A.尤2+y2_2x=0B.尤2+(,_1)-=]

C.x2+(j-l)2=2D.(x-l)2+(j-l)2=2

【答案】ABD

【分析】将点代入各方程，判断是否满足圆的方程，即可得出答案.

【详解】选项A：点(0,0),(1,1),(2,0)在圆/一2x=0上，点(0,2)不在该圆上，故A正确;

选项B：点(0,0),(1』)，(0⑵在圆d+(y-l)2=l上,点(2,0)不在该圆上，故B正确；

选项C点(0,0),(1,1),(2,0),(0,2)都不在圆/+(y-iy=2上，故C错误；

选项D：点(0,0),(2,0),(0⑵在圆(x-l)2+(y_l>=2上，点(1』)不在该圆上,故D正确；

故选：ABD.

34.已知圆C:f+y2-6x+4y-3=0,则下列说法正确的是()

A.圆C的半径为18

B.圆C截x轴所得的弦长为4括

C.圆C与圆E:(尤-6)2+。-2)2=1相外切

D.若圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+”?=0的距离为1,则实数加的取值范围是(19,24)"-26,-21)

【答案】BC

【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长;

圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有

且仅有两点到直线的距离为1

【详解】A：将一般式配方可得：(x-3『+(y+2)2=16,.•.%=4,A错;

B：圆心到x轴的距离为2,弦长为244?-2?=46，B对；

22

C：由题意2=4,七=1,^£|=^(6-3)+(2+2)=5=rc+rE,所以圆C与圆E外切，C对；

D：圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+〃z=0的距离为1,d表示圆心与直线的距离，

:.r-l<d<r+l,则313x3+4x(-2)+叽5,解之：we(14,24)u(-26,-16),D错；

<32+42

故选：BC.

35.已知圆C的方程为(尤-=4,直线/的方程为彳+g-相-2=。，下列选项正确的是()

A.直线/恒过定点(2,1)

B.直线与圆相交

C.直线被圆所截最短弦长为

D.存在一个实数加，使直线,经过圆心C

【答案】ABC

【分析】化简直线/的方程为x-2+见y-l)=O,结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点(2,1)的

距离，得到点尸在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC垂

直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线/的方程，可判定D不

正确.

【详解】对于A项：由直线/的方程x+冲-加-2=0,可化为x-2+加(y-l)=O,

(x—2=0/、

联立方程组.JO,解得x=2,y=l,即直线/恒经过定点P(2,l),所以A正确；

对于B项：由圆C的方程(尤-1?+(y-仔=4,可得圆心C(1,D,半径厂=2,

又由|PC|=l<2=r,可得尸(2,1)在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；

对于C项：由|尸。=1,根据圆的性质，可得当直线和直线PC垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为

2#不阡'=2万=F=2g,所以C正确；

对于D项：将圆心C(l,l)代入直线/的方程工+四-加-2=0,可得1+机-〃?-2=-1工0,所以不存在一个实

数加，使得直线/过圆心C,所以D不正确.

故选：ABC.

36.下述四个结论正确的是()

A.过点B(l,石)与圆/+y=4相切的直线方程为x+返y-4=0

B.直线无-，+左=。与圆V+y2=l相交的充分不必要条件是k=1

C.直线6+、+1=0表示过点(o,-l)的所有直线

D.过点4(1,1)且在坐标轴上截距相等的直线方程是x+y-2=0

【答案】AB

【分析】A选项设过点8(1,g)与圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即可，选

项B利用充分不必要条件进行判断即可，选项C利用反例即可验证，选项D分截距为0,或不为0的情况讨

论求出即可.

【详解】对于选项A,设过点8(1,石)与圆尤2+^=4相切的直线方程为：

y—^3=k(x—1)kx—y+\/3—k=Q,

即3r+2Gt+1=0,解得上=-走,

由题设得:=2,

3

所以过点8(1,6)与圆1+丁=4相切的直线方程为x+"y-4=0,故A正确,

则裳41=一金左40

选项B,若直线x—y+左=0与圆/+/=1相交,

所以k=1是直线x-y+左=。与圆V+y2=i相交的充分不必要条件，故B正确,

选项c,点(0,-1)在>轴上，但是无论。取何值，直线"+>+1=。不能表示y轴上的直线，故c不正确,

选项D,若截距为0时，设直线方程为了=丘,

将点A。』)代入y=依得：k=l,所以方程为：x-y=o,

若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为加，

则设直线方程为：-+2=h将点A。/)代入得：。=2,

aa

所以所求方程为：x+y-2=0.故选项D不正确，

故选：AB.

37.已知圆G：(无一1)2+(k3)2=12与圆C?：(x+l)，(yr〃)2=4,则下列说法正确的是()

A.若圆C?与x轴相切，则能=±4

B.直线丘-丁-2左+1=0与圆G始终有两个交点

C.若机=-3,则圆G与圆C2相离

D.若圆G与圆C2存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为4*+(6-2〃7力+4+2=0

【答案】BC

【分析】选项A：若圆C?与x轴相切，则帆等于圆的半径；

选项B：直线恒过定点(2,1),点(2,1)在圆G内部，故直线与圆G始终有两个交点；

选项C利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；

选项D：若圆G与圆C?有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为.

【详解】对于选项A：圆Cz：(x+l)2+(y-/n)2=4,半径为2,若圆C?与x轴相切，则加=±2,故A错误；

对于选项B：直线区一y一2左+1=0,即了一1=左(％-2),恒过定点(2,1),

又由(2-1)2+(1-3)2=5<12,则点(2,1)在圆G内部，故直线米-〉-2左+1=0与圆G始终有两个交点，故

B正确；

对于选项C：若=-3,圆G为(x+l)2+(y+3)2=4,其圆心为(-L-3),半径r=2,

圆G：(I.+"3)2=12,其圆心为(L3),半径咫三2代,

圆心距d=|C]C2]=^4+36=2^/13>R+r,两圆外离，故C正确；

对于选项D：若圆G与圆&有公共弦，联立两个圆的方程可得4x+(6-2m)y+疗-1=。

即公共弦所在的直线方程为4x+(6-2m)y+m2-l=0,故D错误.

故选：BC.

38.已知圆C:Y+y2+6x=0,直线/:履一y+5左+1=0,下列结论正确的是()

A.直线/恒过点(-5,1)

B.若直线/平分圆C,则A=1

C.圆心C到直线/的距离的取值范围为［o,班］

D.若直线/与圆C交于点A,B,则/1BC面积的最大值为日

【答案】AD

【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答

案.

【详解】尸1=/+5),令x=-5,得y=l,即直线1恒过点(-5,1),A正确.

圆C化为标准方程得(x+3)2+y2=9,所以圆心C(-3,0).

因为直线1平分圆C,所以直线1过圆C的圆心，

所以—3%+5左+1=0,解得上=-；，B错误.

圆心C到直线1的距离的最大值为J(-5+3)2+(l-0)2=6,最小值为0.

因为直线1不能表示x=-5,所以圆心C到直线1的距离不能为2,

故圆心C到直线1的距离的取值范围为［0,2)u(2,指］,C错误.

设圆心C到直线1的距离为d,ASC的面积为gxdx2,2-筋=的储一不,

当屋=:时，AfiC面积的最大值为］,D正确.

故选：AD

39.已知直线/：y=Mx+2)交y轴于点P,圆、：(了-2)2+丁=1,过点P作圆M的两条切线，切点分别为

A,B,直线43与交于点C,则()

A.若直线/与圆M相切，贝|k=±巫

15

B.当左=2时，四边形的面积为2a

C.直线A?经过一定点

D.已知点Q［：。)，则|CQ|为定值

【答案】ACD

【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出左即可判断A；根据左求出尸（。,4）,进而求出伊河|,

根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相

切可知瓦尸四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直

线A3过定点及用fAB可得/MCN=90，即C在以肱V为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点Q,

即可判断D.

【详解】解：对于A,若直线1与圆M相切，则圆心到直线的距离亡?=1,

解得太=土巫，所以A正确；

15

对于B,当左=2时，尸（0,4）,M（2,0）,|PM|=716+4=275,

因为为圆的两条切线，所以NPAM=ZP8M=9O,

所以四边形的面积S=2%丛”=MMJ尸川=1•而皆W=晒，

所以B错误；

对于C,因为尸（0,2左），M（2,0）,S.ZPAM=ZPBM=90,

所以四点共圆，且尸”为直径，

所以该圆圆心为。㈤，半径为亚丁1=仄记，

所以圆的方程为：（x—l）2+（y/）2=l+/,

因为AB是该圆和圆〃的相交弦，

所以直线AB的方程为两圆方程相减，

即（％—1）2+（y—左）2_（%_2）2_y2=]+左2,

化简可得：A5:-2x+2@+3=0,

所以直线AB经过定点所以C正确；

对于D,因为所以NMC4=90,

因为在直线AB上，所以/MCN=90

即点C在以MN为直径的圆上，因为M（2,0）,N1,0）

所以圆心为[8],半径为族=工,

I；-T"4

所以圆的方程为：］工一（：+9=5,圆心为。匕,0）,

11

因为点C在该圆上，所以|CQ|=a为定值I，所以D正确.

故选：ACD

40.已知圆C:/+（y_l）2=i,点。为直线/：丘+y_2左-3=0上的动点，则下列说法正确的是（）

A.圆心C到直线/的最大距离为8

B.若直线/平分圆C的周长，则％=-1

C.若圆C上至少有三个点到直线/的距离为:，则十一同＜、＜一16+回

21515

D.若左=1,过点。作圆C的两条切线，切点为A,B,当点。坐标为（2,3）时，有最大值

【答案】BD

【分析】由圆C:/+（y_i）2=i,知圆心C（0,l）,半径r=1,由直线过圆心可求3从而判断B；

/:丘+y-2"3=0恒过定点尸（2,3），可求点C到直线I的最大距离，判断A；由已知圆心到直线的距离dVg,

r1

可求％的范围判断C；利用sinNAQC=R@=再，从而可求|QC|最小时。的位置判断D.

【详解】由圆C:无2+（y-1）2=1,知圆心C（0,l）,半径厂=1,

对于A,直线/：立+V-2左-3=0恒过定点F（2,3），:.点C到直线/的最大距离为IFC|=*=20,故A不正确；

对于B,直线/平分圆C的周长，则直线过圆心C,1-2左-3=0,解得左=-1,故B正确；

对于C,若圆C上至少有三个点到直线/的距离为1,则圆心到直线的距离d＜\,

z2

/°+能7"弓,解得力-亚QT6+®,故c错误；

〃+121515

r1

对于D,ZAQ8=2ZAQC,要使NAQ8最大，只需要NAQC最大即可，又sin/AQC=n5=画，故需|℃|

最小，此时QC与直线/垂直，故此时Q与定点产（2,3）重合，故Q（2,3）,故D正确，

故选：BD.

三、填空题

41.的三个顶点分别是4（2,0）,0（。,0）,8（0,2）,则其外接圆的方程为.

【答案】（尤一1），（广1）2=2

【分析】求得圆心和半径，进而求得圆的方程.

【详解】由于NAO3=90。，所以43是外接圆的直径，

所以圆心为(1,1),半径为用==

所以外接圆的方程为(x-以+(y-l)2=2.

故答案为：(x-l)2+(y-l)2=2

42.已知圆C:(x-2y+y2=i.若圆心c到直线/的距离为1,则直线/的方程为.(写一个即可).

【答案】％=3(答案不唯一，符合题意即可)

【分析】根据直线与圆的位置关系写出符合题意的答案即可.

【详解】由题意知直线/与圆C相切，所以直线/的方程可以为x=3.

故答案为：x=3(答案不唯一，符合题意即可).

43.早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也.已知。为坐标原点，尸(-1,百).若；O,

P的“长”分别为1，厂，且