如何有效开展高中数学数学活动的实施建议（小课题结题报告）

如何有效开展高中数学数学活动的实施建议（小课题结题报告）海南华侨中学高二数学组薛文新一．

高中数学新课程中数学探究活动的内涵数学探究，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.课题学习是将研究性学习的思想和方法体现在学科学习中，通过教师对教材内容的处理，把教学内容转化成课题，以课题为核心，综合多科教学内容，依靠学生的自主探索来完成“课题”的学习。常见的数学课题学习形式有：数学建模、数学实验、数学探究学习与数学主题阅读。因此数学探究活动是数学课题学习的形式之一，为了与数学建模区别，本文研究的数学探究学习主要是面向课内的学习内容。数学探究学习包括数学课堂中的探究活动与课后学生在教师的指导下，紧扣教学内容，自主进行的探究活动。这里主要指的是课后学生探究活动的实施。课题学习学生探究活动中的“研究”有别于高等院校与研究机构开展的研究工作，后者的最终目的在于发现和揭示新的规律。而基础教育意义下的研究则不能完全用“有所发明，有所创新“的标准去衡量，在中小学，“研究”并不是目的而是手段，是为了培养学生的创新精神和动手实践能力，使学生能相对于自己已有的知识领域有所感悟、有所发现、有所突破、有所创新。其着眼点在于通过“研究”的过程使学生能在中小学阶段体验和尝试学习方式的转变。因此，这种探究不具有严格意义上的科学研究的规范性和严谨性，只是将科学研究的思维方式和研究方法具体应用于中小学教学中而已。二．

在高中数学课程中开展数学探究活动的意义1．有助于培养良好的学习习惯

在高一初始阶段，我们经常埋怨学生的学习习惯差，掌握不了方法，不愿看书，不会复习，甚至不明白老师的例题与当天的作业问题有什么联系，等。我们常要求学生复习，不懂就看书、看笔记，然而学生不懂就问老师、问同学或放弃，无法独立查询资料解决问题。学生独立学习的能力与习惯的培养成了我们面临最急迫的问题。然而学生在老师的或严格要求下仍然不愿总结归纳，不愿看书。一次教学实验让我眼前一亮。中段考的试卷讲评课，我将学生分成12个小组，每2小组分析同一道解答题，从“知识点的分析、错因的分析、找出课本或辅导用书中的相关问题，独立提出新的问题，新的观点”等角度研究。学生利用课后的时间分工合作，有些学生收集全班同学的典型错误，并个别交谈找出错误原因，有的同学翻书，翻练习册搜寻相关的问题。在这过程中，学生非常积极，而让我非常欣慰的是，学生用两分钟的时间翻阅4、5页书查询相关问题，并且能发现不同地方所出现的对同一问题的不同角度的考察，找到知识的联系！学生的总结、归纳能力在这一过程中得到培养，最后自主将问题变式，提出新的问题或结论。因此，数学探究活动可以促进学生自主阅读课本、课外辅导用书，重新归纳总结、建立知识的框架，独立思考问题，提出自己的观点，培养良好的学习习惯。2．有助于培养学习数学的兴趣、提高优秀学生的数学素养

数学尖子生的培养，特别是文科数学尖子生的培养在教学水平中等的学校中是困难的。文科数学优秀生很认真、听话、模仿能力强，但独立思考问题的能力相对薄弱，面对新颖的问题，常不知如何下手，灵活性不够。在高三面对各科的压力，学生常常逃避后三道解答题的训练。调动学生的学习积极性最为关键。在数学探究活动中小组分工合作，无论学习成绩好、坏，都需承担一份力所能及的工作，都有发言的机会，在工作中得到认可，得到信心，培养对数学的学习兴趣。在数学探究活动的分工中，我们看到最难的、最关键的工作还是落到了学习优秀生的身上。现在的优秀生非常讲究学习的效率，课本、老师布置的作业完成得非常认真，但对于这种开放性的作业仍然有惰性。最后在小组成员的压力下，不得不担当最重的担子，为了小组的荣誉，不得不认真钻研，思考问题，通过小组中两、三个优秀生的研讨互相启发，找到问题的突破点，发现新的结论或独立自主的解决高考难点。通过小组探究活动调动文科学生的学习兴趣与积极性比老师的激励更为有效。3．有助于阅读水平的提高4．有助于改进学习方式数学探究活动让学生初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力，有助于学生的终生发展。三．开展数学探究活动的实施建议1．教会学生一些合情推理的方法

新课程教材在编排上就有思考、探索栏目，在课堂上我们常引导学生归纳推理得出新的结论、从具体现象到一般现象抽象概括出数学规律或类比得出新的结论，但学生还是不能自主运用这些推理方法自主研究问题，所以在学生进行探究活动前有必要让学生掌握一些基本的推理方法与基本的数学思想方法。可以通过学生自学、阅读选修教材中推理与证明一章书的内容，或这方面的电子书籍，从整体上了解数学推理发现的一些方法，将来脑海中就可运用这些方法思考出新的问题，大胆提出新的结论。培养归纳合情推理能力，由个别事实概括出一般结论的过程。培养类比合情推理能力，类比方法往往将一类问题的规律类比到另一类事物，从一章如实数运算类比到另一章书如向量运算，从二维平面的规律类比到三维空间。运用类比推理思考问题需要大胆的猜想，提出的问题往往具有创造性，具有一定的深度。类比推理更是发现新的问题，发明创造的常用思维方法。培养发散思维，教师要善于引导学生对同一个问题要多层次、多视角地观察、分析和思考，如研讨能否一题多解？能否推广？能否简化？能否改善条件？能否修改结论？能否倒推？能否反证？如何探讨问题簇？如何追踪问题链？问题的根源在哪里？问题的应用有哪些？此题与彼题之间有何联系，有何区别？等等问题。发散思维的训练应当有意识地从培养思维的独创性，灵活性和流畅性入手，可通过学生自编应用题以发展思维的独特性和新颖性，也可以通过集体讨论的方式培养发散思维和创造力。2．建立探究活动的框架

在法国高二和高三年级的课表中有一门必修课，称为“框架性个人研究”（简称TPE）。这是以学生为主动研究活动为主的课程，和我国推行的研究性学习课程类似。法国并没有让研究性学习的每周两课时完全成为学生或教师随心所欲的时间空间，而是试图在课程行政和教学论与课程论的水平上建立某种框架，来力图使这次教育改革的理念得到落实。为各专业制定了全国性的课题，确定了一种思考的框架，并编写一些教学辅助资料，针对每个全国性课题提出可能的思考线索、具体的问题角度以及可能涉及的学科，为教师提供参考。从全国性课题出发来建构学生的个人研究主题。

学生的探究活动我们需制定一个框架，给他们一个方向，不能凭空要求学生发现新的问题，得出新的结论，否则探究活动就不能落实到每一位学生的身上。希望在这方面能有一定教学辅助资料，针对每个主要的课题提出可能的思考线索、具体的问题角度以及可能涉及的知识，为教师提供参考。教师再指导学生提出个人的研究课题，自主进行探究活动。3．探究内容的选取

探究内容的选取应是递进式的，从易到难，要求学生的创新性不能太高，虽是自主研究也需给出探究材料或背景，指引探究的方向与探究的方法，关键探究内容具有开放性，自主得出结论。教材中的探究素材可分为以下几类：（1）

教材中的探究素材①实验型的探究活动《必修一》：1.第37页，用计算机绘制函数图像探究系数对函数图像的影响.

2．第110页，对牛顿的冷却模型进行验证并探究相关问题.《必修二》：第33页实习作业“画出某些建筑物的三示图和直观图，体会几何学在现实生活中的应用。《必修三》：第96页实习作业“在校中学生每周使用计算机时间的调查研究”。“中学生物理成绩与数学成绩之间的相关关系调查”。《必修四》：第66页B组第2题“一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落时间的？搜集数据并提供理论证据支持你的结论。《必修五》：第22页实习作业“利用解三角形的知识做一个有关测量的实习作业”。②知识深入型的探究活动《必修一》：第75页B组第5题，试举几个满足“对定义域内任意实数，都有”的函数例子，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？《必修一》：第76页，探究互为反函数的两个函数图像之间的关系。《必修二》：第32页第3题，“分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三示图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。《必修四》：第120页B组第9题“以向量为工具研究一下直线的有关问题。（略）

第138页B组第3,4题。

第144页B组第5题“设

利用三角变换，估计在时的取值情况，进而对取一般值时的取值范围作一个猜想。

第147页B组第8题“已知的值，你能根据所给的条件自己构造出一些求值问题吗？《必修五》：第25页，就三角形的面积计算问题作一探索，你现在已经学习了哪些计算公式，还可发现和证明一些新的计算公式吗？

第54页B3，等差、等比数列性质的类比。

第69页B第6题，对一个数列公式的研究。③自主阅读型的探究活动《必修一》：第40页实习作业，了解函数的发展历程及其广泛应用。《必修三》：第48页搜集中国古代数学中的算法。(2)老师设计的探究问题背景①对单元测验卷中的数学问题提出变式问题或类比命题提出新的问题。每一位学生都有能力参与，积极性高。②紧扣教学内容，知识的深入研究。如：《函数奇偶性、周期性及图像对称性关系的研究》③高考试题的改编。如：随着新课改的发展，最近就出现了考察学生探究能力，发现问题能力的试题。【例1】．如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线交于点P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切.”请问：此命题是否正确？试证明你的判断；（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）注：椭圆和双曲线的准线所满足的条件为：曲线上任意一点到一个焦点的距离和到这个焦点所对应的准线的距离的比等于曲线的离心率.我们看到第三问实质上是类比推理得到一个新的结论，只要你写出新命题就得3分，占一半的分数。由此看到命题者着中考察学生是否敢于提出新的问题。是否具有敢于发明创造的潜能。学生只有在平时的学习中经常进行探究性的学习，才会有信心、有方法面对这些新颖的问题。【例2】．(Ⅰ)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥型,另一块拼成一个三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明:(Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(Ⅲ)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

4．探究活动时间的安排

高中新课程标准中明确指出高中阶段全体学生必须进行一次探究活动，但若希望学生的学习方式能有所改进，自学能力、创新能力，独立解决问题的能力有所提高，则需更多的锻炼。建议每个学段一次，由于研究性问题紧扣教材，基本不需建模，不需太多的网上查阅资料，一次活动一至两周时间学生就能完成。如“对单元测验卷中的数学问题提出变式问题或类比命题提出新的问题”，学生一天就能完成。关键老师的重视以及提供学生展示成果的平台。5．探究活动的评价标准

数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果，而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的深度与广度，学生获得了哪些发展，并且特别注意学生有哪些创造性的见解，同时对学生的情感变化也应予以注意。为了使评价能够真实可靠，起到促进学生发展的目的，因此要充分尊重学生自己对自己的评价以及学生之间的相互评价。既要有定量的评价也要有定性的评价。6．建立交流的平台利用课堂时间互相交流、评议；利用网络放在QQ群中互评、交流；黑板手抄报的形式展示研究成果。

四．数学探究活动的教学案例1．案例一：《调查通俗歌曲的流行趋势》调查研究

“必修三”第一章统计的学习过程中同学们需要进行一项课题学习《调查通俗歌曲的流行趋势》。课题要求根据调查的数据分析每首通俗歌曲的喜好程度与年龄有什么关系。在整个实施过程中，课题小组将遇到或将发现各种各样的问题，必须集体讨论，互相启发，分工合作才能解决问题。其中研究成果评价中的一个方面就是有否独到的思考和发现，有否提出有价值的求解设计和有见地的新问题。在这个过程中没有解决模式、解题步骤可套。在整个过程中，学生的思维是活跃的，很多学生追着老师问问题。学生提出的问题有：1）应该找怎样的歌曲才够代表性？2）各个年龄阶段应调查多少人为宜？3）调查表格应如何制作？4）数据怎样分析？5）怎样才能说明歌曲流行趋势与年龄相关或不相关？等等。在问题中学生讨论，思考逐步找到了解决方案，当最后一个问题一直困扰着学生，画了柱状图、扇形统计图后，还是不能很好地说明问题，许多课题组长不断追问老师怎样才能用准确的数据分析说明年龄与流行趋势有关系呢？当时这个问题也在老师中展开讨论。到了第二学期学习了统计学中二维变量独立性检验之后，老师与同学才共同完美地解决了这个问题。教学反思：·学生地提出问题能力并不弱。在课题学习展开的过程中，学生们踊跃地提出问题，提出问题地水平也很高。反而老师没有经历过这个过程，显得忧心忡忡，觉得比学生更困难。·学生的自我评价非常客观。学生在调查中运用了许多书本上学到的数学知识，学生们相信日后再有此类调查，他们能做得更好，而且合作得更好。学生的自我评价：甲同学：这次调查中，我更加体会到一份调查表应有得代表性、随机性、层次性。乙同学：通过分析我们实行了分层抽样的方法去调查。丙同学：我发现了现在的流行歌曲只是一些比较年轻的人喜欢，但是很多旧的歌曲，不止是年老的人喜欢，连我啊，同学等的人都满喜欢的，所以我认为现在的流行歌曲其实并不那么好的。·调查表的数据分析不完善。由于统计部分的许多内容是新课程增加的，许多老师并不了解整个知识结构，所以在数据分析方面对学生的指导不够，学生只能停留在数据的表达方面，当时还不会运用独立性检验的知识分析，所以这次课题学习还不是很成功。·老师对课题研究的经验应整理出一套资料，让下一届的师生进行得更轻松，更好。2．案例二：《函数奇偶性、周期性及图像对称性关系的研究》

1.创设问题:函数的奇偶性、周期性及图像的对称性作为函数的基本性质，大多数同学知道的仅仅局限于教材的内容，即奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于Y轴对称，反之亦然。函数的奇偶性、周期性及图像的对称性三者之间的关系：（1)是偶函数;（2)的周期为;（3）的图像对称轴为2.研究下列问题，提出数学问题:对于抽象函数f(x)(1)函数f(x)为偶函数，且以T(T>0)为周期，则图像关于直线__________对称;(2)函数f(x)为偶函数，且图像关于直线x=a(a¹0)对称，则f(x)为周期函数，且周期为______；(3)若函数的图像关于直线x＝a对称，且f(x)是以2a为周期的函数，则函数f(x)为_____函数。

通过对问题的研究，你能发现什么数学问题或猜想什么结论，并证明你给出的结论。

3.延伸拓展：若函数f(x)的图像既关于直线x＝a对称，又关于直线x＝b(b>a)对称，则f(x)为周期函数，2(b－a)是它的一个周期。请证明。

4．大胆类比联想，能否提出新的数学问题（可将问题中的条件或结论进行适当的变换，不需要严格证明）（1）_____________________________________________________________;(2)________________________________________________________________;(3)__________________________