2024江苏中考数学二轮专项训练：规律探索题 （含答案）

2024江苏中考数学二轮专项训练题型一规律探索题

类型一数式规律探索

典例精讲

例1(1)若一列数：1,3,5,7,9,--依照此规律，则第个数是，这

21)个数的和为；

(2)若一列数：1,-1,1,—1,1,…，依照此规律，则第个数是；

(3)若一列数：1,4,9,16,25,--依照此规律，则第个数是；

(4)若一列数：2,5,10,17,…，依照此规律，则第个数是；

(5)若一列数：4,7,10,13,…，依照此规律，则第个数是；

(6)若一列数4，1,品，…，依照此规律，则第〃(心1)个数是；

(7)按一定规律排列的代数式层，3a35a6,7a8,…，则第个代数式是；

(8)给定一列分式:三，一三,《，一鸟，…，(其中夕片0)根据你发现的规律，试写出第9个分

式;

⑼按一定规律排列的一列数：21,22,23,25,28,2%…，若X、八Z表示这列数中的连

续三个数，猜想X、y、Z满足的关系式是;

(10)观察下列图形中各数之间的规律，则a的值为________；

(11)观察下列数字：

第I爰12

第2层456

第3$91()II12

第1617IX1920

在上述数字宝塔中，第4层的第2个数是17,请问第19层的第20个数是

满分技法

1.对于循环型的数字规律探索题：

⑴先找出循环周期小

⑵用N(设问中给出的第N次变化)除以力当商6余%(0(机＜〃)时，第N次变化对应的数即

为一个循环变化中第m次变化后所对应的数.

2.在求多个分数的和时，常考虑拆项相消法:

⑴1=11；

n(«+1)n〃+1'

(2)----------=1......-；

n("+左)nn~\~k

(3)—-——=(----)X

n(〃+左)nn+kk

3.数阵规律探究求某个数字的位置或者某个位置的数字时需分析数阵中的数字排列方式：

(1)每行、列的个数；

(2)相邻数据的变化特点，并且观察某行或列具有的某些特别的性质(如完全平方数，正整数)

等.

4.对于“杨辉三角”型规律探究，常涉及到以下规律：

(1)每个数等于它上方两数之和；

(2)第"行数字之和为2「1；

(3)(0+〃，的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角形的第(〃+1)行中的每一项.

针对训练

1.美妙的音乐能陶冶情操，催人奋进，根据下面五线乐谱中的信息，确定最后一个音符（即

“？”处）的时值长应为（）

r

3

4耳左丁三口

第1题图

人们把小-这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了

2

黄金分割数.设。=也2，b=也±1,得尤=1,记&

----+----，&=----;+-----

1-\~a1+b1+层1-\-b2

3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是

“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.图中两平行线之间的一列数：1,3,6,

10,15,我们把第1个数记为为，第2个数记为Q2,第3个数记为的，…，第〃个数

记为即,

则。6+。199的值为.

14VV

I55

61520\(5\

第3题图

类型二图形规律探索

典例精讲

例2如图，在平面直角坐标系中，直线/为正比例函数y=x的图象，点小的坐标为（1,

0）,过点小作x轴的垂线交直线/于点。1,以为边作正方形NbBiGDi；过点G作直

线/的垂线，垂足为生，交X轴于点星,以色&为边作正方形/汨2。2r»2；过点G作X轴的

垂线，垂足为外，交直线/于点。3,以，3。3为边作正方形…，按此规律操作下

去，所得的正方形4&GQ0的面积是

例2题图

满分技法

图形成倍递变规律题常考的两种类型：

1.点坐标成倍递变：

⑴根据图形的变换规律分别求出第1个点的坐标，第2个点的坐标，第3个点的坐标，第4

个点的坐标，…，归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的倍分关系；

（2）根据（1）中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标.

2.线段（面积）成倍递变：

已知一个几何图形的边长（周长或面积），通过一定变换确定第M次变换后的图形的边长（周

长或面积）.

解题步骤是：

第一步：根据题意可得出第一次变换前图形的边长（周长或面积）；

第二步：通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后、第四次变换后图形的

边长（周长或面积），归纳出每次变换后的图形的边长（周长或面积）与序数n之间的关系式，

并验证；

第三步：根据第二步中的关系式，得到第"次变换后的图形的边长（周长或面积）.

针对训练

4.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列:

••

第4题图

图中黑色圆点的个数依次为：1,3,6,10,…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的

顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为.

5.如图，多边形/1/必必4^5/16、多边形/7/必9/1必11/12、…、多边形/6"-516"-4^6"-送6”-必60

-14”（〃为正整数）均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n,顶点4、小2、…、4”

均在X轴上，点。是所有正六边形的中心，则也022的坐标是.

第5题图

6.如图，直线y=—x+1分别交x轴、y轴于点/、B,点、Oi、4分别是8。、3/的中点，

连接/Qi、AOi；。2、也分别是801、的中点，连接出。2、小。2，…，按此规律进行下

去，则On到AB的距离是.

第6题图

参考答案

典例精讲

例1解：(1)2〃一1,"2；

(2)(—l)"+i；(3)«2；(4>2+1；

(5)3«+1；

(6卫二【解析】观察这列数，可将1写成3.则这列数为2,3工2,…，从中得到规律：

»+132345

分子是连续奇数1,3,5,7,则第〃个数的分子是2〃一1,分母比其序号大1,则第〃

个数的分母是〃+1,...第〃个数为巨口.

〃+1

(7)(2〃一1)/〃；

19丫3丫579

(8)—v；【解析】根据式子:，p—v，v?发现分母分别是产，y4,俨，歹8,…，

故第9个式子分母是俨'2=^8,分子分别是X3,炉，炉，、9,…，故第9个式子的分子是必

19

、9+i=x?再观察符号发现奇数项为正，偶数项为负，.•.第9个式子应该是餐v.

严

(9)xy=z；【解析】:21X22=23,22X23=25,23X25=28,25X28=213,—,；.x、y、z

满足的关系式是孙=z.

(10)226；【解析】观察发现：2=1X2—0,10=3X4—2,26=5X6-4,50=7X8-6,

/.«=15X16-14=226.

(11)380.【解析】由题目中的数字可知，第1层有2个数，最后的数字是1X2=2,第2

层有3个数，最后的数字是2X3=6,第3层有4个数，最后的数字是3X4=12,第4层有

5个数，最后的数字是4X5=20,…，故第19层的第20个数是19X20=380.

针对训练

1c【解析】根据下面的分数表示，每个节拍上的分数之和都普一.•最后一个节拍上的

时值长为(一；=；.

$=_I__।1=2+—+步2+。"+-

2.10【解析】,：ab=\,

"1+废1+6"（1+。"）（1+勿）1+（ab）n+a"+bn

2+a"+6"

.".Sl=S2=S3="-=S=1,Si+S2+S3+…+Sio=10.

2+a”+〃n

3.19921【解析】ai=l,42=3=1+2,6=6=1+2+3,44=10=1+2+3+4,恁=15

199X(1+199)

1+2+3+4+5,「・。6=1+2+3+4+5+6=21,勿99=1+2+…+199=----------------------

=19900,・・・。6+。199=21+19900=19921.

典例精讲

例2（5"-1【解析】由题意可知，△也。1人和△81&G都是等腰直角三角形，=

2cl=也3Ci，.••第二个正方形的边长是第一个正方形边长的（?+仍）倍，即?

倍，同理可求出第三个正方形的边长是第二个正方形边长的久尼倍，，第〃个正方形的边长

2

是第1个正方形边长的（个2）「1倍，：〃（1,0）,.•.第一个正方形的边长是1,.•.第"个正方

形的面积为学"-1.

针对训练

4.1275【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为^3^=1,第②个图形中的黑

2

色圆点的个数为2*（2+1）=3,第③个图形中的黑色圆点的个数为“匚中二=6,第④

22

个图形中的黑色圆点的个数为生511=10,…，第〃个图形中的黑色圆点的个数为

2

〃C771）

---------,则这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…，其中

2

每3个数中，都有2个能被3整除且为后两个数，33+2=16……1,16X3+2=50,则第

33个能被3整除的数为原数列中第50个数，即为5°义（50+1）=1275.

2

5.（674,0）【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，：2022+6=337,

，点也022是第337个正六边形的顶点，且在x轴上，如解图，连接CUu,则ON”过点4,

•点。是所有正六边形的中心，易得△。/乩6、△041/12…都是等边三