2024年新高考高三数学复习阶段性复习：正、余弦定理综合卷（解析版）

正、余弦定理综合卷（解析版）

本试卷满分150分时量：120分钟

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.在△ABC中,内角AB,C所对的边为a,b,c.若显（sinB-1）=b-垃c,则角C为（）

71兀_p,2兀

A.—D.;或二

433

【答案】B

【解析】"?(sinB-l)=6-岳，.-.y/2csinB=b>由正弦定理，.•.应sinCsin2=sin2，由角B为三角

则sinBwO,可得sinC=也，由0<C<7t,可得C=；或型.

形内角,

244

故选B.

2.在△ABC中,a,b,c为AB,。的对边，若2NA=NB,a=2,b=3,贝!Jc=(

7

A.2BC.3D.-

-i2

【答案】B

ababb

【解析】由正弦定理得,,因为2NA=N3,所以~;一—一■,a=2,b=3,

sinAsinBsinAsin2A2sinAcosA

23'可得COSA]'因为A是三角形的内角'所以如八°'故==守'

代入得

sinA2sinAcosA

oFi]

可得sin5=sin2A=2sinAcosA=-----，cosB=cos2A=2cos2A-l=—,又C=7i—(A+3),所以

88

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2^—+—=%自，由正弦定理,a5

x，得c

484816sinAsinC2

故选B.

c,什2cosAcosBcosC

3.ZAkABC中，若------=------+-----且sinA=2sin5cosC,那么△ABC是()

beabac

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

^272_2

【解析】由sinA=2sin5cosc及正余弦定理，得a=2b---------------，化简得b=c,将b=c代入

2ab

2cosAcos3cosC2cosAcosB+cosC

---+----，得,即2〃cosA=ccos_B+bcosC,由

beabaca

2。cosA=ccos5+bcosC及正弦定理，得2sinAcosA=sinCeos3+sinBcosC=sin(C+B)=sinA,因为

0<A<K,所以sinAwO,所

以2cosA=l,即COSA=L,所以4='，故△ABC是等边三角形.

23

故选B.

4.在ZXABC中，若sinA+sinB=GsinC,贝Ucos2c的最小值是()

।171

A.1B.—C.D.-1

39

【答案】C

【解析】■sinA+sinB=A/3sinC,，由正弦定理得。+6=底，根据余弦定理得

2

/+从―2“2(a+b)-2ab4ab-2ab1

+oc

cosC==------------3-----------=----------L--------2-如皿」,a=b时等号成立，又

lablab6ab6ab3

ii77

因为0<。<兀，所以一WcosCcl,cos2c=2cos2C-l2x——1=——，即cos2C的最小值是——.

3999

故选C.

5.在ZvlBC中，内角AB,C所对的边为a,b,c.已知(sinA+sinB)(a-Z?)=sinC(7?+c),角A的

内角平分线AD的长为4,则6c的最小值为()

A.16B.32C.64D.128

【答案】C

222

【解析】因为(sinA+sinB)(a-6)=sinC0+c),由正弦定理可得(a+6)(a-b)=c(b+c),即a=b+c+bc,

所以cosA=匕匚土=一工，又Ad(O,兀)，所以A=@,由SAMC=，得

2bc23

*=孚〃+所以秘=4(b+c),贝1」秘=49+。)》4・2^^,即仪:>64,当且仅当

b=c=8时等号成立，所以Z?c的最小值为64.

故选C.

6.如图所示，为测量河对岸的塔高A5,选取了与塔底5在同一水平面内的两个测量基点C与。，现测

得tan/AC3=』，CD=50m,cos/BCD=叵,cos^BDC=-^则塔高.为()

455

A.15后nB.204mD.20Bn

【答案】C

【解析】在公BCD中，CD=50m,cos/BCD=@,cos^BDC=-,所以smZBCD=述,sinZBDC=-

5555

所以sinNCBZ)=sin(/B8+N8DC)=¥x|+gxq=¥^,由正弦定理CDBC

,可得

sinZCBDsinZBDC

J"<a3

BC=一金=20A/5,在直角△ABC中，因为tanZACB=士，所以AB=3C•tan/ACB=20^5x-=15君(m),

2V544

即塔高为15gm.

故选C.

7.在，ABC中，B=gBC边上的高等于立BC,贝UcosA=()

66

A.走B.1C.-走D.--

2222

【答案】D

旦

【解析】设3c=a,8c边上的高等于也.，又B=g则43=二=叵，由余弦定理可得,

66sin囚3

6

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=—+a2-2x^-xax^=-a2,所以

9323

3a21

--------1—a2

AB-+AC2-BC2

cosA=93

2ABAC2

故选D.

I2.2

8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是〃，b,c,且满足acosC+J^asinC-Z?-c=0,则---设-的

最大值为（）

42百2

A.2B.C.D.-

333

【答案】A

【解析】因为〃cosC+gasinC-b-c=0,由正弦定理可得：sinAcosC+A/3sinAsinC-sinB-sinC=0,

注意到sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,即

sinACOSC+A/3sinAsinC-(sinAcosC+cosAsinC)-sinC=0,整理得^3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,

且C,则sinCw0,则^3sinA—cosA—1=2sin〔A—q1—1=0,即sin^A——j=—,又因为AG(0,71),

则A-.eJg3],得4一占=3,所以A=S，由余弦定理可得

6y66J663

+「2刃2.2i2.2

2222222

a=b+c-2bccosA=b+c-bc>b+c-^—^=^—^,当且仅当〃=c时，等号成

222

立，

/72+452.2

且">0,可得幺——W2,所以幺一一的最大值为2.

aa"

故选A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.在△ABC中，内角AB,C所对的边为a,b,c,下列四个结论正确的是（）

A.c-acosB+bcosA

B.^a2=b2+c2+be,则B为120

C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰直角三角形

D.若sin?A+sin?5（sin?C,则△ABC是钝角三角形

【答案】ABD

，、,,a-+c~-Z?-.b~+c~~ci~6t2+c~-b~b2+c~~a~2c24A.十,后

LM-UrJacosB+ocosA=ax----------------FOX--------------=----------------1---------------=-----=c,故A止确；

lac2bc2c2c2c

由余弦定理得cosA==Z££=—_L,而0。<4<180。，则A=120。，故B正确；

2bc2bc2

若sin2A=sin23,即sin［（A+3）+（A-3）］=sin］（A+3）-（A-3）］,展开整理得cos（A+3）sin（A_3）=0,

VO<A+B<180,-180<A-B<180,A+5=90或A—6=0,ZvWC为直角三角形或等

腰三角形，故C错误；

272_2

若sin?A+sin?6<sir?。，由正弦定理得M+尸<02,由余弦定理得cosC=^―七J<0,可得C

2ab

为钝角，则△ABC是钝角三角形，故D正确.

故选ABD.

10./XABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,^AB-AC=2,a=2,贝U()

A.bccosA=2B.b2+c2=8

C.角A的最大值为4D.△ABC面积的最小值为石

3

【答案】ABC

【解析】由AB.Ad=2=>AaAC=bccosA=2,故A正确；

由余弦定理结合A项可得/=加+c2-2/JCCOSA=4^>Z>2+c2=8>故B正确；

由上结合基本不等式及余弦定理有b2+c2=S>26c,cosA="+=工，故6c<4,二匚，而Ae(0,兀),

2bcbebe2'"

1TT

y=cosA单调递减，所以由cosAN^nAW^,当且仅当匕=c时取得最大值，故C正确；

23

2]7T

由上可得---7=>^ABC=—besinA=tanA,又所以故D错误.

cosA23

故选ABC.

11.在△ABC中，AB=2,AC=6,ABAC=6Q,。是边5C上的一点，则()

A.ABAC=6B.△ABC外接圆的半径是2互

3

C.若DC=2BD,则AB=3AO-LACD.若AO是NBAC的平分线，则=

222

【答案】ACD

【解析】对于选项A：ABAC=IABllAClcos60°=2x6x1=6»故选项A正确；

2

对于选项B：由余弦定理，得5c2=4+36-2X2X6XCOS6()O=28,解得3。=2近，

由正弦定理，得△ABC外接圆的半径是』x—仁=!、2甘*之=坦，故选项B错误；

2sin60°263

19131

对于选项C：因为Z)C=25Z),所以所以AD=§+§AC,则故选项C正确；

对于选项D：由等面积法，得《x2x6sin60°=1x2xAr».sin30°+1x6xAD.sin30°,即4AD=60，解得AD=M,

2222

故选项D正确.

故选ACD.

12.在△ABC中，内角AB,C所对的边为a,b,c,下列说法正确的是（）

A.若4=乌，sin2A=sinBsinC,则△ABC为等边三角形

3

B.A>B是cos2A<cosIB成立的充要条件

b（a2+c2-b2]兀

C.若的面积为一^-----------则A+5=一

4a2

-1.?

D.若D点满足BD=，BC,且2sinC=sini5,贝！JsinNB4£）=§sinNCA£）

【答案】ABD

【解析】选项A,因为A=W，sin2A=sinBsinC,由正弦定理得到/=6c,

又由余弦定理4=〃+/-2feccos；,得到6c=6?+c?-6c，即（6-c）2=0,

所以6=c,故选项A正确；

选项B,因为cos2A<cos23,所以l-2sin2A<l-2sin28,BPsin2A>sin2B,

又A,Be(CU),sinA>0,sinB>0,所以sinA>sinB,

由正弦定理得，a>b,又由三角形中，大边对大角，得2>6,又以上过程均可逆，故选项B正确；

选项C,因为S=LesinB」"+厂—")=2如ccosB,整理得数也3=尻。$3,

24a4a

TT

又由正弦定理可得sinAsin3=sin5cos5,即sinA=cosB,所以sinA=cos(,-A)=cos5,

故或g_A=_B,得到A+B=g或4_8=g,故选项C错误；

2222

选项D,如图，在ZkADB中，———=———,在ZW)。中，———=———，

sinZBADsinZBDAsinZCADsinZCDA

/口BDsinZCADABsinZCDAE、121八-n-•一.……1八一

两式相比得—一二777，因为BD=：BC,且2sme=sinB,所以2AB=AC,

DCsinZBADACsmZBDA43

AsmZBDA=sinZCDA,所以理------=-,故sinZBAO=—sinNCA。，所以选项D正确.

sinZBAD23

故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在△ABC中，边a,b,c所对的角分别为AB,C,△ABC的面积S满足46s=从+c?-/，若。=4,

则△ABC外接圆的面积为

【答案】16兀

【解析】设△ABC外接圆的半径为R,在△ABC中，S=-bcsinA,b2+c2-a2=2bccosA,由

2

2/?ccosA=4s/3S=b2+c2-a2，所以4A&：6csinA=26ccosA,可知tanA=#，又A«0,乃），所以A=2,

则2R=」一=8,所以H=4,可知△ABC外接圆的面积为167.

sinA

故答案为16兀.

14.如图，在ZXABC中，sin/BAC=N^,AD±ACfAD=2,NABC=工，则sinN5AD=,

34

BD=.

12A/2

【答案】

33

因为ADLAC,所以ND4C=工，所以/2AO=/2AC-£.因为sinZBAC=2^,所以

【解析】

223

2A/2所以cMA人坐，又4W为锐角，所以

sinZBAP+y,

3

、2

11

sinABAD=Vl-cos2ABAD=在中，sinZBAD=-AD=2,^ABC=45°,由正

3*3f

7

BD2

BDADBD碧

弦定理得,即1V2,解得:

sin/BADsinB

32

故答案为:；2五

3

15.在△钿（7中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.如图,ZBAC=->的平分线交BC于

3

点、D,&。=1,则6+C的最小值为

【答案】华

【解析】由SAABC=SAABO+SaAcz），所以,be•sin'='c•1•sin'+•1•sin^,BPy[3bc=b+c,可得

Z_i/IDVL\rlDL-//'八＜，,,cCCrrf

L3ZoZo

11/-（0+c）.（：+!）2+^+-2+2^x-4百b

-+-=V3.所以b+c=-------普==—一2一中工=生色，（当且仅当£=?,即

bc6063bc

2J34^3

6=c=*时取等号），则b+c的最小值为*.

33

故答案为生叵.

3

JT

16.在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,已知Aw—,Z?sin2A=6cosAsinB,则Q的

2

TT

值为；若4=乙，则△ABC周长的最大值为

3

【答案】3,9.

【解析】因为Ax],Ae（0,^）,故COSAHO,贝U6sin2A=6cosAsinB,即加inAcosA=3cosAsin3,也

即6=网畔=亚，又匕HO,则a=3；若4=:,由余弦定理可得cos三=』=-+°2-9,则

sinAa3322bc

Z?c=3+c）2_2bc—9,

即弘c=（6+c『-9V；伍+c『，即（6+°）匕36,解得b+cV6,即6+c的最大值为6,当且仅当人=c时取

得等号，故三角形ABC周长的最大值为9.

故答案为3,9.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA-bsinZ?-csinC-bsinC=O.

（1）求角A的大小；

（2）若AB=5,AC=3,是△ABC的角平分线，求的长.

【解析】（1）由正弦定理可知/二人。，由余弦定理可得cosA==」£=—>,

2bc2bc2

,IT

又所以A=T.

127r171171

（2）由题意知SAABC=S4MD+SAACD，所以5xABxACxsin]=5xABxADxsin3+/xACxADxsin§,

所以工x5x3x=—x5xADx+—x3xADx,解得AD=.

2222228

18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且伫"£=—2——

ca+b-c

（1）求A；

（2）若b—c=2a，证明：△ABC是直角三角形.

3

【解析】⑴由丁=小整理可得历=由余弦定理可得.A='^签W

兀

又OVAVTI,:.A=—.

3

(2)由Z?-c=及正弦定理，可得sinB-sinC=^^sinA=!，

332

•・n•。兀小・n6n1•n1・nbR•J吟1R』C

..SIILO—sin-------B—sinn------cosB--sinn=—sinn---------cosB=sinB-=—,力£U,二

3J2222(3)213

=..B=^,URABC是直角三角形.

3(33)3o2

19.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足/=优一c?+Q一力,。，

1+cosC

sinAsinB=

2

(1)求A；

(2)若a=4,求△ABC的面积S.

【解析】(1)因为。2=0—cF+(2—6)历，所以/+/—。2=百儿，则cosA=〃+，"=®=走.

')2bc2bc2

jr

因为OVAVTT,所以A=：.

6

(2)因为sinAsin5="；sC,则2sinAsinB=1+cosC=1-cos(A+B),所以cosAcos5+sinAsin3=l.

得cos(A—B)=l,则A-3=0,所以3=4=工，C=—,因为a=4,则6=a=4,所以S=^absinC=46.

632

20.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列，且廿二m.

(1)求sinAsinC的值;

(2)若a=VL求△ABC的周长.

【解析】(1)由题意，角A,B,C成等差数列，所以A+C=23,因为A+B+C=;r,可得8=工乃，

3

3

又因为〃=馍，由正弦定理，可得sinAsinC=sin2B=：.

4

(2)由(1)可知，sinAsinC=-1,所以sinAsin(g^—A)=[,整理得sinA1^cosA+；sinA=-|,即

sin2A+—(1-cos2A)=—,即避^sin2A-'cos2A=L所以sin^ZA—」=1,因为。所以

4474442I6J3

2A--=-^解得A=!兀，又由5=」兀，可得△ABC为正三角形，因为。二行，所以△ABC周长为3行.

6233

R

21.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2bcosC=2a+c.

（1）求角B的大小;

（2）若b=2g,D为AC边上的一点，BD=1,且,求△ABC的面积.

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.

①是NABC的平分线；②。为线段AC的中点.

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.）

【解析】（1）由正弦定理知，2sinBcosC=2sinA+sinC,sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosSsinC,

i27r

代入上式得ZcosBsinC+sinC：。，VCG（0,^）,AsinC>0,cosB=--,VBe（0,^）,AB=—

.1.2%I1.冗I1.71

（2）右选①：由BZ）平分/ABC得，S=S4ABD+SABCD，,,—acsin——=—xlxcsin——F一xlxasm—,

232323

24

即改=a+c.在ABC中，由余弦定理得〃=片+。2-2。8。$行，又b=20,Aa2+c2+ac=12,

ac=a+c_,,、2万\Jil

联立7rc得（〃c）——12=0,解得ac=4,etc——3（舍A去），•[S=—acsin—=—x4x—二百.

优2+c+ac=122322

1（BA+BC）,BD2=1（BA+BC）2+2BA-BC+Be"2%

若选②：因为=