2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测五十三第五章三角函数5.5.1.4二倍角的正弦余弦正切公式含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测五十三二倍角的正弦、余弦、正切公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若tanθ+QUOTE=4,则sin2θ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为tanθ+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=4,所以sin2θ=QUOTE.2.已知tanQUOTE=cos2α,则sin2α= ()A.0或1 B.0或-1 C.0 D.1【解析】选A.tanQUOTE=cos2α,可得sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE=2sinQUOTEcos2QUOTE,所以sinQUOTE=0或cos2QUOTE=QUOTE,sin2α=cosQUOTE=1-2sin2QUOTE=2cos2QUOTE-1,所以sin2α=1或0.3.(2024·全国卷Ⅱ)若sinα=QUOTE,则cos2α= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.因为sinα=QUOTE,所以cos2α=1-2sin2α=1-QUOTE=QUOTE.4.若QUOTE=QUOTE,则tan2α= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为QUOTE=QUOTE,整理得tanα=-3,所以tan2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE.5.已知QUOTE=-2,则tanx的值为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.-2=QUOTE==QUOTE=tanQUOTE,所以tanx=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】QUOTE-QUOTE等于 ()A.-2cos5° B.2cos5°C.-2sin5° D.2sin5°【解析】选C.原式=QUOTE-QUOTE=QUOTE(cos50°-sin50°)=2QUOTE=2sin(45°-50°)=-2sin5°.6.(多选题)已知函数f(x)=QUOTEcosx·sinQUOTE,则下列结论中错误的是()A.f(x)既是奇函数又是周期函数B.f(x)的图象关于直线x=QUOTE对称C.f(x)的最大值为1D.f(x)在区间QUOTE上单调递减【解析】选A、C、D.f(x)=QUOTEcosx·sinQUOTE=QUOTEsinxcosx+QUOTEcos2x=QUOTEsin2x+QUOTE=QUOTEsinQUOTE+QUOTE,f(x)为非奇非偶函数,故A错误;令2x+QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),对称轴:x=QUOTE+QUOTEπ(k∈Z),当k=0时,x=QUOTE,所以f(x)的图象关于直线x=QUOTE对称,故B正确;f(x)的最大值为QUOTE,故C错误;当x∈QUOTE时,2x+QUOTE∈QUOTE,所以y=sinQUOTE在QUOTE上不单调,所以f(x)在区间QUOTE上不单调,故D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知tanQUOTE=2,则tanQUOTE=________.

【解题指南】由题意利用二倍角的正切公式求得tanQUOTE的值,再利用两角和的正切公式求得tanQUOTE=tanQUOTE的值.【解析】因为tanQUOTE=2,所以tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE,则tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知sin2α=QUOTE,α∈QUOTE,则cosα-sinα=________.

【解析】因为α∈QUOTE,所以sinα>cosα即cosα-sinα<0,又sin2α=QUOTE,则有cosα-sinα=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)求QUOTE的值;(2)已知α∈QUOTE,β∈QUOTE,tanQUOTE=QUOTE,tanβ=-QUOTE,求2α-β的值.【解析】(1)原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-8QUOTE.(2)tanQUOTE=QUOTE,又tanα=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=1,因为α∈QUOTE,β∈QUOTE,所以2α-β∈QUOTE,则2α-β=-QUOTE.10.已知sinα=QUOTE,α∈QUOTE,求sin2α,cos2α,tan2α的值.【解析】因为sinα=QUOTE,α∈QUOTE,所以cosα=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sin2α=2sinαcosα=2×QUOTE×QUOTE=-QUOTE,cos2α=cos2α-sin2α=QUOTE-QUOTE=QUOTE,tan2α=QUOTE=QUOTE÷QUOTE=-QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知tanQUOTE=QUOTE,则cos2α= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为tanQUOTE=QUOTE,所以tanα=QUOTE,利用三角函数的定义,解得sinα=±QUOTE,故cos2α=1-2sin2α=1-QUOTE=-QUOTE.2.已知α满意cos2α=QUOTE,则cosQUOTEcosQUOTE= ()A.QUOTEB.QUOTEC.-QUOTED.-QUOTE【解析】选A.因为α满意cos2α=QUOTE,则cosQUOTEcosQUOTE=cosQUOTEcosQUOTE=cosQUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcos2α=QUOTE.3.已知锐角α满意cosQUOTE=QUOTE,则sinQUOTE= ()A.QUOTE B.±QUOTE C.QUOTE D.±QUOTE【解析】选C.因为锐角α满意cosQUOTE=QUOTE,所以α+QUOTE也是锐角,由三角函数的基本关系式可得sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,则sinQUOTE=2sinQUOTEcosQUOTE=QUOTE.4.(多选题)若函数f(x)=-sin2x+QUOTE(x∈R),则f(x)是 ()A.最大值为QUOTEB.最小值为-1C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数【解析】选A、D.f(x)=-QUOTE+QUOTE=QUOTEcos2x.所以函数的最大值为QUOTE,最小值为-QUOTE,是最小正周期为π的偶函数.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知α为其次象限角,sinα+cosα=QUOTE,则cos2α=________.

【解析】因为sinα+cosα=QUOTE,所以(sinα+cosα)2=QUOTE,所以2sinαcosα=-QUOTE,即sin2α=-QUOTE.因为α为其次象限角且sinα+cosα=QUOTE>0,所以2kπ+QUOTE<α<2kπ+QUOTEπ(k∈Z),所以4kπ+π<2α<4kπ+QUOTEπ(k∈Z),所以2α为第三象限角,所以cos2α=-QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE6.QUOTE-QUOTE=________.

【解析】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.答案:47.已知sinQUOTE=QUOTE,则sin2x的值等于________.

【解析】方法一:因为sinQUOTE=QUOTE,所以cosQUOTE=1-2sin2QUOTE=1-2×QUOTE=QUOTE,所以sin2x=cosQUOTE=QUOTE.方法二:由sinQUOTE=QUOTE,得QUOTE(sinx-cosx)=-QUOTE,所以sinx-cosx=-QUOTE,两边平方得1-sin2x=QUOTE,所以sin2x=QUOTE.答案:QUOTE8.已知sinαcosβ=-QUOTE,则sinβcosα的取值范围是______.

【解析】因为sinαcosβ=-QUOTE,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-QUOTE+cosαsinβ.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-QUOTE-cosαsinβ.又因为-1≤sin(α+β)≤1,-1≤sin(α-β)≤1,所以-1≤-QUOTE+cosαsinβ≤1,-1≤-QUOTE-cosαsinβ≤1,即-QUOTE≤cosαsinβ≤QUOTE,-QUOTE≤cosαsinβ≤QUOTE,综上可得:-QUOTE≤sinβcosα≤QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知函数f(x)=QUOTE.(1)求函数f(x)的定义域;(2)设α是第四象限的角,且tanα=-QUOTE,求f(α)的值.【解析】(1)函数f(x)要有意义需满意cosx≠0,解得x≠QUOTE+kπ(k∈Z),即f(x)的定义域为QUOTE.(2)f(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2(cosx-sinx),由tanα=-QUOTE,得sinα=-QUOTEcosα,又因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=QUOTE.因为α是第四象限的角,所以cosα=QUOTE,sinα=-QUOTE,所以f(α)=2(cosα-sinα)=QUOTE.10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos2A+6sin2QUOTE=4.求角A的度数.【解析】因为2sin2QUOTE=2cos2QUOTE=1+cosA,所以4=cos2A+6sin2QUOTE=2cos2A-1+3(1+cosA),化为2cos2A+3cosA-2=0,又|cosA|≤1,解得cosA=QUOTE,因为A∈(0,π),所以A=QUOTE.11.已知α为锐角,且cosQUOTE=QUOTE,求sinQUOTE的值.【解题指南】留意到2α+QUOTE=2QUOTE-QUOTE,故把2QUOTE作为一个整体,先由cosQUOTE=QUOTE,依据二倍角公式求出2QUOTE的正、余弦值,再据两角差的正弦公式求出sinQUOTE的值.【解析】因为cosQUOTE=QUOTE,且α为锐角,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE.所以sin2QUOTE=2sinQUOTEcosQUOTE=QUOTE;cos2QUOTE=2cos2QUOTE-1=QUOTE.所以sinQUOTE=sinQUOTE