2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测五十六第五章三角函数5.6函数y=Asinωxφ一含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测五十六函数y=Asin(ωx+φ)(一)(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.把函数y=sinQUOTE的图象沿x轴向右平移QUOTE个单位长度,再把所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的QUOTE,可得函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为 ()A.g(x)=sinQUOTE B.g(x)=sinQUOTEC.g(x)=sinQUOTE D.g(x)=sinQUOTE【解析】选C.先把函数y=sinQUOTE的图象沿x轴向右平移QUOTE个单位长度,得到y=sinQUOTE=sinQUOTE;再把y=sinQUOTE图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的QUOTE,得到g(x)=sinQUOTE.2.要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cosQUOTE的图象 ()A.向左平移QUOTE个单位长度B.向右平移QUOTE个单位长度C.向右平移QUOTE个单位长度D.向左平移QUOTE个单位长度【解析】选C.因为y=sinx=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE,所以要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cosQUOTE的图象向右平移QUOTE个单位长度.3.把函数f(x)=sinx图象上全部点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍(纵坐标不变),再把所得曲线向右平移QUOTE个单位长度,最终所得曲线的一条对称轴是 ()A.x=-QUOTE B.x=QUOTEC.x=QUOTE D.x=QUOTE【解析】选A.由题得经过图象变换,最终得到的解析式为y=sin2QUOTE=sinQUOTE,令2x-QUOTE=kπ+QUOTE,k∈Z,所以x=QUOTE+QUOTEπ,令k=-1,所以x=-QUOTE.4.(多选题)已知曲线C1:y=2sinx,C2:y=2sinQUOTE,则下列结论正确的是()A.把C1上全部的点向右平移QUOTE个单位长度,再把全部图象上各点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍(纵坐标不变),得到曲线C2B.把C1上全部点向左平移QUOTE个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍(纵坐标不变),再把所得图象上全部的点向左平移QUOTE个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再把所得图象上全部的点向左平移QUOTE个单位长度,得到曲线C2【解析】选B、D.先平移变换后伸缩变换:先把C1上全部点向左平移QUOTE个单位长度得到y=2sinQUOTE,又因为ω=QUOTE<1,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线C2,B选项正确.先伸缩变换后平移变换:因为ω=QUOTE<1,所以先将C1上各点的横坐标伸长为原来的3倍,得到y=2sinQUOTE,又因为C2:y=2sinQUOTE,所以再把所得图象上全部点向左平移QUOTE个单位长度,即可得到C2,D选项正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.把y=sinQUOTEx的图象上各点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍(纵坐标不变)得到的解析式是________.

【解析】y=sinQUOTExy=sinQUOTE×(4x)=sin2x.答案:y=sin2x6.将函数f(x)=sin(ωx+φ)QUOTE图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移QUOTE个单位长度得到y=sinx的图象,则fQUOTE=________.

【解题指南】先将y=sinx的图象向左平移QUOTE个单位,再将横坐标伸长为原来的2倍即可得到函数f(x)的图象.【解析】y=sinxy=sinQUOTEy=sinQUOTE,故f(x)=sinQUOTE,所以fQUOTE=sinQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题7.(10分)将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度,纵坐标不变,横坐标伸长到原来的QUOTE倍,然后再向上平移1个单位长度,得到函数y=QUOTEsinx的图象.求y=f(x)的最小正周期和单调递增区间.【解析】函数y=QUOTEsinx的图象向下平移1个单位长度得到y=QUOTEsinx-1,横坐标缩短到原来的QUOTE倍得y=QUOTEsinQUOTEx-1,然后向右移1个单位长度得y=QUOTEsinQUOTE-1,所以函数y=f(x)的最小正周期为T=QUOTE=6.由2kπ-QUOTE≤QUOTEx-QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z⇒6k-QUOTE≤x≤6k+QUOTE,k∈Z,所以y=f(x)的递增区间是QUOTE,k∈Z.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.要得到函数y=sin2x的图象,只需将函数y=sinQUOTE的图象上的全部点沿x轴 ()A.向左平移1个单位长度B.向左平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度D.向右平移2个单位长度【解析】选A.因为y=sinQUOTE=sin2QUOTE,所以只需将函数y=sinQUOTE的图象上的全部点沿x轴向左平移1个单位长度即可得到y=sin2x.2.把函数y=sinx的图象上全部点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向左平移QUOTE个单位长度,这时对应这个图象的解析式是 ()A.y=cos2x B.y=-sin2xC.y=sinQUOTE D.y=sinQUOTE【解析】选A.函数y=sinx的图象上全部点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,可以得到函数y=sin2x的图象,再把图象向左平移QUOTE个单位长度,可以得到函数y=sin2QUOTE=cos2x的图象.3.由y=2sinQUOTE的图象向左平移QUOTE个单位长度,再把所得图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍后,所得图象对应的函数解析式为 ()A.y=2sinQUOTEB.y=2sinQUOTEC.y=2sinQUOTED.y=2sinQUOTE【解析】选A.将函数y=2sinQUOTE向左平移QUOTE个单位长度,得到2sinQUOTE=2sinQUOTE=2sinQUOTE,再把图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sinQUOTE.【补偿训练】设g(x)的图象是由函数f(x)=cos2x的图象向左平移QUOTE个单位长度得到的,则gQUOTE等于 ()A.1 B.-QUOTE C.0 D.-1【解析】选D.由f(x)=cos2x的图象向左平移QUOTE个单位长度得到的是g(x)=cosQUOTE的图象,得gQUOTE=cosQUOTE=cosπ=-1.4.(多选题)假如由函数y=sinx+QUOTEcosx的图象变换得到函数y=QUOTEcos2x-sin2x的图象,那么下列变换正确的是 ()A.纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍B.纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半C.向左平移QUOTE个单位长度,再将横坐标缩短到原来的QUOTED.将横坐标缩短到原来的一半,再向左平移QUOTE个单位长度【解析】选C、D.由协助公式,得函数y=sinx+QUOTEcosx=2sinQUOTE,函数y=QUOTEcos2x-sin2x=2sinQUOTE.若函数y=2sinQUOTE图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sinQUOTE,故A不正确.若函数y=2sinQUOTE图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半,得到y=2sinQUOTE,故B不正确.若将函数y=2sinQUOTE图象向左平移QUOTE个单位长度,得到函数y=2sinQUOTE,再将横坐标缩短到原来的QUOTE,得到函数y=2sinQUOTE,故C正确.若将函数y=2sinQUOTE图象的横坐标缩短到原来的QUOTE,得到函数y=2sinQUOTE,再向左平移QUOTE个单位长度,得到函数y=2sinQUOTE=2sinQUOTE,故D正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.将余弦型曲线y=cos2x向右平移φ个单位长度得到正弦型曲线y=sin2x,则正数φ的最小值为________.

【解析】将余弦型曲线y=cos2x向右平移φ个单位长度得到正弦型曲线y=sin2x,则y=cos2(x-φ)=sin2x,得cos(2x-2φ)=cosQUOTE,k∈Z,所以-2φ=-QUOTE+2kπ,k∈Z,得φ=QUOTE-kπ,k∈Z,当k=0时,φ=QUOTE为所求.答案:QUOTE6.已知函数f(x)=QUOTEsinxcosx+QUOTEcos2x,若将其图象向右平移φQUOTE个单位长度后所得的图象关于原点对称,则φ的最小值为________.

【解析】因为f(x)=QUOTEsinxcosx+QUOTEcos2x=QUOTEsin2x+QUOTEcos2x=sinQUOTE,将其图象向右平移φQUOTE个单位长度后所得的图象的函数解析式为gQUOTE=sinQUOTE,由于函数y=gQUOTE的图象关于原点对称,则gQUOTE=sinQUOTE=0,因为QUOTE-2φ=kπQUOTE,所以φ=QUOTE-QUOTE,由于φ>0,当k=0时,φ取得最小值QUOTE.答案:QUOTE7.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时,其五点的坐标分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,则A=________,周期T=________.

【解析】由题知A=QUOTE,T=2QUOTE=π.答案:QUOTEπ8.要得到y=sinQUOTE的图象,需将函数y=sinQUOTE的图象上全部的点至少向左平移________个单位长度.

【解析】设向左平移φ(φ>0)个单位长度,则y=sinQUOTEy=sinQUOTE(x+φ),令QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),则φ=4kπ+QUOTE,当k=0时,φ=QUOTE是φ的最小正值.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.用“五点法”画函数y=3sinQUOTE,x∈QUOTE的图象.【解析】①列表:2x+QUOTE0π2πx-QUOTEy=3sinQUOTE030-30②描点:在坐标系中描出下列各点:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE.③连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来,得函数y=3sinQUOTE,x∈QUOTE的简图,如图所示.10.将函数y=lgx的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cosQU