2024-2025新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE十七一元线性回来模型及其应用(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)探讨变量x,Y得到一组样本数据,进行回来分析,以下说法正确的是 ()A.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好B.用相关指数R2来刻画回来效果,R2越小说明拟合效果越好C.在回来直线方程=0.2x+0.8中,当说明变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位D.若变量Y和x之间的相关系数为r=-0.9462,则变量Y和x之间的负相关性很强【解析】选ACD.A可用残差平方和推断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故A正确;B用相关指数R2来刻画回来效果,R2越大说明拟合效果越好,故B错误;C在阅历回来方程=0.2x+0.8中,当说明变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位,故C正确;D若变量Y和x之间的相关系数为r=-0.9462,r的肯定值趋向于1,则变量Y和x之间的负相关性很强,故D正确.2.为探讨某种细菌在特定环境下随时间改变的繁殖状况,得到如表试验数据:天数x/天3456繁殖个数Y/千个2.5344.5由最小二乘法得Y与x的阅历回来方程为=x+0.35,则样本在(4,3)处的残差为 ()A.-0.15 B.0.15 C.-0.25 D.0.25【解析】选A.因为QUOTE=QUOTE=4.5,QUOTE=QUOTE=3.5,所以有3.5=4.5+0.35⇒=0.7,当x=4时,=0.7×4+0.35=3.15,所以样本在(4,3)处的残差为:3-3.15=-0.15.3.在生物学上,有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62kg,他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60kg.假如体重是隔代遗传,且呈线性相关,依据以上数据可得说明变量x与响应变量的回来方程为=x+,其中=0.5,据此模型预料他的孙子的体重约为 ()A.58kg B.61kg C.65kg D.68kg【解析】选B.由于体重是隔代遗传,且呈线性相关,则取数据(58,58),(64,62),(58,60),得QUOTE=QUOTE=60,QUOTE=QUOTE=60,即样本点的中心为(60,60),代入=x+,得=60-0.5×60=30,则=0.5x+30,取x=62,可得=0.5×62+30=61kg.故预料他的孙子的体重约为61kg.4.某养殖场须要通过某装置对养殖车间进行恒温限制,为了解用电量Y(kW·h)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某5天的用电量与当天气温,并制作了比照表:气温/℃34567用电量/kW·h2.5344.56若利用阅历回来方程预料x=10℃时的用电量为8.25kW·h,则预料x=12℃时的用电量为 ()A.8.75kW·h B.9.86kW·hC.9.95kW·h D.12.24kW·h【解析】选C.由表中数据得QUOTE=QUOTE=5,QUOTE=QUOTE=4,设阅历回来方程为=x+,所以,解得=0.85,=-0.25,所以阅历回来方程为=0.85x-0.25,当x=12℃时,=0.85×12-0.25=9.95(kW·h).二、填空题(每小题5分,共10分)5.某数学老师身高为176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回来分析的方法预料他孙子的身高为cm.

【解析】设父亲身高为xcm,儿子身高为Ycm,则x173170176Y170176182QUOTE=173,QUOTE=176,=QUOTE=1,=QUOTE-QUOTE=176-1×173=3,所以=x+3,当x=182时,=185.答案:1856.已知变量x,Y线性相关,由观测数据算得样本的平均数QUOTE=4,QUOTE=5,阅历回来方程=x+中的系数,满意+=4,则阅历回来方程为.

【解析】由题知,点(4,5)在回来直线上,则4+=5,又+=4,所以=QUOTE,=QUOTE,即阅历回来方程为=QUOTEx+QUOTE.答案:=QUOTEx+QUOTE三、解答题7.(10分)光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能干脆转化为电能,近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急剧上涨,如表:年份2012年2013年2014年2015年2024年2024年2024年2024年年份代码12345678新增光伏发电装机量Y兆瓦0.40.81.63.15.17.19.712.2某位同学分别用两种模型:①=x2+;②=x+进行拟合,得到相应的阅历回来方程并进行残差分析,残差图如表(注:残差等于yi-).经过计算得QUOTE=72.8,QUOTE=42,QUOTE=686.8,QUOTE=3570,其中ti=QUOTE,QUOTE=QUOTEti.(1)依据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应当选择哪个模型?并简要说明理由.(2)依据(1)的推断结果及表中数据建立Y关于x的阅历回来方程,并预料该地区2024年新增光伏装机量是多少.(在计算回来系数时精确到0.01)附:回来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解析】(1)选择模型①.理由如下:依据残差图可以看出,模型①的估计值和真实值比较相近,模型②的残差值相对较大一些,所以模型①的拟合效果相对较好.(2)由(1)可知,Y关于x的阅历回来方程为=x2+,令t=x2,则=t+.由所给数据可得QUOTE=QUOTEti=QUOTE×(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5.QUOTE=QUOTEyi=QUOTE×(0.4+0.8+1.6+3.1+5.1+7.1+9.7+12.2)=5,所以=QUOTE=QUOTE≈0.19,=QUOTE-QUOTE≈5-0.19×25.5≈0.16,所以Y关于x的阅历回来方程为=0.19x2+0.16预料该地区2024年新增光伏发电装机量为=0.19×102+0.16=19.16(兆瓦).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知变量x,Y的取值如表:x12345Y1015304550由散点图分析可知Y与x线性相关,且求得阅历回来方程为=x-3,据此可预料:当x=8时,的值为 ()A.63 B.74 C.85 D.96【解析】选C.由题得QUOTE=QUOTE=3,QUOTE=QUOTE=30.故样本点的中心的坐标为(3,30),代入=x-3,得=QUOTE=11.所以=11x-3,取x=8,得=11×8-3=85.2.两个线性相关变量x与Y的统计数据如表:x99.51010.511Y1110865其阅历回来方程是=x+40,则相对应于点QUOTE的残差e为 ()A.0.1 B.0.2 C.-0.1 D.-0.2【解析】选B.QUOTE=QUOTE=10,QUOTE=QUOTE=8,所以8=×10+40,所以=-3.2,故=-3.2x+40.当x=11时,=-3.2×11+40=4.8,故e=5-4.8=0.2.3.(多选题)设某高校的女生体重Y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系.依据一组样本数据QUOTE(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的阅历回来直线方程为=0.85x-85.71,则下列结论中正确的是 ()A.Y与x具有正的线性相关关系B.回来直线过样本中心点(QUOTE,QUOTE)C.若该高校某女生身高增加2cm,则其体重约增加1.70kgD.若该高校某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg【解析】选ABC.依据Y与x的阅历回来直线方程为=0.85x-85.71,其中0.85>0说明y与x具有正的线性相关关系,A正确;回来直线过样本中心点(QUOTE,QUOTE),B正确;由回来直线方程知,若该高校某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg,那么若该高校某女生身高增加2cm,则其体重约增加1.70kg,故C正确;若该高校某女生身高为170cm,则可预料其体重为58.79kg,不行断定其体重必为58.79kg,D错误.4.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出阅历回来方程,设z=lny,将其变换后得到阅历回来直线方程=0.2x+3,则c,k的值分别是 ()A.e2,0.6 B.e2,0.3C.e3,0.2 D.e4,0.6【解析】选C.因为y=cekx,等式两边同时取对数可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=kx+lnc,设z=lny,则上式可化为z=kx+lnc,因为z=0.2x+3,则k=0.2,lnc=3,所以c=e3,k=0.2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.某公司调查了商品A的广告投入费用x(万元)与销售利润Y(万元)的统计数据,如表:广告费用x(万元)2356销售利润Y(万元)57911由表中的数据得阅历回来直线方程为=x+,则当x=7时销售利润y的估值为万元.

【解析】由题表中数据可得QUOTE=QUOTE=4,QUOTE=QUOTE=8,所以=QUOTE=QUOTE=1.4,所以=QUOTE-QUOTE=8-1.4×4=2.4,故阅历回来方程为=1.4x+2.4,所以当x=7时,=1.4×7+2.4=12.2.答案:12.26.在探讨两个变量的相关关系时,视察散点图,发觉样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的四周,令z=lny,求得阅历回来方程=0.25x-2.58,则该模型的阅历回来方程为.

【解析】由阅历回来方程=0.25x-2.58得ln=0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58,所以该模型的阅历回来方程为=e0.25x-2.58.答案:=e0.25x-2.58三、解答题7.(10分)生物学家预言,21世纪将是细菌发电造福人类的时代.说起细菌发电,可以追溯到1910年,英国植物学家利用铂作为电极放进大肠杆菌的培育液里,胜利地制造出世界上第一个细菌电池.然而各种细菌都需在最适生长温度的范围内生长.当外界温度明显高于最适生长温度,细菌被杀死;假如在低于细菌的最低生长温度时,细菌代谢活动受抑制.为了探讨某种细菌繁殖的个数Y是否与在肯定范围内的温度x有关,现收集了该种细菌的6组观测数据如表:温度x/℃212324272932繁殖个数Y/个71121245877经计算得QUOTE=550,QUOTE=3946,线性回来模型的残差平方和QUOTE=345.其中xi,yi分别为观测数据中的温度与繁殖数,i=1,2,3,4,5,6.参考数据:e7.446≈1713,e8.0605≈3167,(1)求Y关于x的阅历回来方程=x+a(精确到0.1);(2)若用非线性回来模型求得Y关于x回来方程为=0.075e0.219x,且非线性回来模型的残差平方和QUOTE=319.(ⅰ)用确定系数R2说明哪种模型的拟合效果更好;(ⅱ)用拟合效果好的模型预料温度为34℃时,该种细菌的繁殖数(结果取整数).附:一组数据QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,其回来直线=x+的斜率和截距的最小二乘法估计为=QUOTE,=QUOTE-QUOTE;确定系数R2=1-【解析】(1)由题意得QUOTE=QUOTExi=26,QUOTE=QUOTEyi=33,QUOTE=84,=QUOTE=QUOTE≈6.5,=33-6.5×26=-136,所以y关于x