艺术生专用2025版高考数学总复习第二章函数导数及其应用第11节利用导数研究函数的单调性课时冲关

PAGEPAGE1第11节利用导数探讨函数的单调性1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)解析：D[y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，∴函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(－3,1)．故选D.]2．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[f′(x)＝eq\f(3,2)x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)解析：C[依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．]4．(2024·宣城市二模)若函数f(x)＝eq\f(4,3)x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为()A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2解析：D[若函数f(x)有3个单调区间，则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，故Δ＝16a2－16(a－2)＞0，解得a＞1或a5．(2024·咸阳市模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对随意x∈R满意f(x)＋f′(x)＜0，则下列结论正确的是()A．e2f(2)＞e3f(3) B．e2fC．e2f(2)≥e3f(3) D．e2f解析：A[令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))＜0，∴g(x)单调递减，∴g(2)＞g(3)，∴e2f(2)＞e36．(2024·呼和浩特市模拟)若函数f(x)＝lnx＋ax2－2x在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______.解析：f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax－2，若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间，则f′(x)＞0在x∈(1,2)有解，故a＞eq\f(1,x)－eq\f(1,2x2)，令g(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2x2)，∵g(x)在(1,2)为减函数，∴g(x)＞g(1)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故a＞eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))7．函数f(x)＝eq\f(sinx,2＋cosx)的单调递增区间是________.解析：由导函数f′(x)＝eq\f(2＋cosxcosx－sinx－sinx,2＋cosx2)＝eq\f(2cosx＋1,2＋cosx2)＞0，得cosx＞－eq\f(1,2)，所以2kπ－eq\f(2π,3)<x<2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)8．已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________.解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－eq\f(3,x)＝eq\f(－x2＋4x－3,x)＝－eq\f(x－1x－3,x)，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.答案：(0,1)∪(2,3)9．已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋k,ex)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－k,ex)，又f′(1)＝eq\f(1－k,e)＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－1,ex).设h(x)＝eq\f(1,x)－lnx－1(x＞0)，则h′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2024·渭南市模拟)已知函数f(x)＝x·(lnx＋ax＋1)－ax＋1(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的最大值为2，求实数a的值．解：(1)因为f(x)在[1，＋∞)上是减函数，所以f′(x)≤0在[1，＋∞)恒成立，即f′(x)＝lnx＋2ax＋2－a≤0，∴a≤－eq\f(lnx＋2,2x－1)，设g(x)＝－eq\f(lnx＋2,2x－1)，则g′(x)＝eq\f(2＋\f