辽宁省凌源市第二高级中学2024-2025学年高二数学第四次网上测试试题含解析

PAGE16-辽宁省凌源市其次高级中学2024-2025学年高二数学第四次网上测试试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分留意事项：1.仿答题卡模板自制答题卡，务必把自己班级、姓名、考号写在答题卡上.2仔细审题，规范答卷，数字符号力求规范，表述语言流畅，书写字迹工整，削减涂改.3.遵守时间、诚信答卷，真实检测自己学习现状，杜绝查阅资料或抄袭.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出集合A、B，从而求出即可.【详解】由已知可得，，则.故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算，考查二次不等式的求解以及二次根式的性质，是一道基础题.2.（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由复数的运算法则可得：.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法事实上是分母实数化的过程．3.已知命题：角的终边在直线上，命题：，那么是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】对命题依据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案.【详解】角的终边在直线上或，故是的充分必要条件，故选：C.【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.4.函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧旁边连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数学问来探讨函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．5.下列求导计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据函数求导法则得到相应的结果.【详解】A选项应为，C选项应为，D选项应为.故选B．【点睛】这个题目考查了函数的求导运算，牢记公式，精确计算是解题的关键，属于基础题.6.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771．）A.2.6天 B.2.2天 C.2.4天 D.2.8天【答案】A【解析】【分析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．【详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．则An，Bn，由题意可得：，化为：2n7，解得2n＝6，2n＝1（舍去）．∴n126．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故选A．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理实力与计算实力，属于中档题．7.已知单位向量和满意，则与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】依据，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角.【详解】解：由得：，

，且，

，

解得，

.

故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的求解，考查学生计算实力，是中档题.8.已知等差数列的公差不为零，其前项和为，若，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，得，利用等差数列的求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，知，，成等比数列，所以，即，整理得，所以，解得，所以＝，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中娴熟应用等差数列的通项公式和前n项和公式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.9.平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取轴上的单位向量，则轴与平面所成的角的大小，由公式可求解.【详解】解：设轴与平面所成的角的大小为，在轴上的单位向量，平面的一个法向量为，，．故选：B．【点睛】本题考查用向量方法求线面的夹角，属于基础题.10.若函数在上的非单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得有2个不同实数解，结合二次函数的性质即可求解.【详解】若函数是上非单调函数，又，则，.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的单调性的条件的应用，属于基础试题.11.三棱锥中，相互垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】相互垂直，，是线段上一动点，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大，通过最大值求出，三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥的外接球的直径，即可得出结论.【详解】是线段上一动点，连接，相互垂直，就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大.此时，，在直角中，.三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为.三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的体积为.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的实力，属于中档题.12.已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过变形可将问题转化为对，单调递减；即在上恒成立；通过分别变量的方式可求得的取值范围.【详解】由且得：对，，都有令，则则只需对，单调递减即可即在上恒成立令，则当时，，则在上单调递减当时，，则在上单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查依据函数在区间内的单调性求解参数范围问题，关键是能够将原题中的恒成立的关系转化为函数单调性的问题，从而通过分别变量的方式来求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的标准差是________.【答案】10【解析】【分析】依据方差与标准差的定义与性质，计算即可.【详解】解：一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是.故标准差为10.故答案为：10.【点睛】本题考查了方差与标准差的定义与性质的应用问题，是基础题.14.已知函数的图像在点处的切线过点，则_____．【答案】【解析】【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值．【详解】，，又因为，切点是，切线方程是：，.故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算实力，属于基础题．15.若函数满意，则当趋向于0时，趋向于______．【答案】-12【解析】【分析】由当趋向于时，，再依据的定义和极限的运算，即可求解．【详解】当趋向于时，，因为，则，所以．【点睛】本题主要考查了导数的概念，以及极限的运算，其中解答中合理利用导数的概念与运算，以及极限的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．16.点是抛物线的两点，是抛物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为________.【答案】1【解析】【分析】设，，由题意得与关系，在三角形中由余弦定理得与的关系，求出比值，由均值不等式求出最大值.【详解】设，，则，，，当且仅当时取等号.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，考查学生计算实力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的微小值及单调区间.【答案】（1）；（2）微小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和微小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得微小值，微小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.18.在锐角中，角对应的边分别是且.（1）求角的大小；（2）若的面积，.求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合A的范围，可求A的值；

（2）利用三角形的面积公式可求的值，从而解得的值，由余弦定理可求的值，由正弦定理可求的值.【详解】解：（1）因为.，可得：，解得：或，为锐角三角形，，；（2），可得，又，可得：，在中，由余弦定理可，，，在中，由正弦定理可知：，可得：.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想，属于中档题.19.已知函数，的图像在点处的切线为．（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）求导得到，依据解得答案.（2）令，求导得到，得到函数的单调区间，再计算得到证明.【详解】（1），.由已知，解得，故.（2）令，由得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，从而.【点睛】本题考查了依据切线求解析式，证明不等式，构造函数是解题关键.20.今日你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）耗电度数，汽车的碳排放量（千克）油耗公升数等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例数据如下：小区低碳族非低碳族小区低碳族非低碳族比例1/21/2比例4/51/5（1）假如甲、乙来自小区，丙、丁来自小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；（2）小区经过大力宣扬，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，假如两周后随机地从小区中任选5个人，记表示5个人中的低碳族人数，求和【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）这4人中恰好有两人是低碳族分三类：甲、乙低碳族，丙、丁非低碳族；甲、乙非低碳族，丙、丁低碳族；甲、乙中一人低碳族，一人非低碳族，丙、丁一人低碳族，一人非低碳族，每类中按独立事务求概率，再求和即可；

（2）首先求出两周后小区中非低碳族的概率，听从二项分布，利用二项分布的期望和方差公式求解即可.【详解】解：（1）记这4人中恰好有2人是低碳族为事务；（2）设小区有人，2周后非低碳族的概率，2周后低碳族的概率依题意，所以，.【点睛】本题考查独立事务、互斥事务的概率及二项分布的期望和方差学问，考查分析问题、解决问题的实力.21.设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求全部实数，使对恒成立注：为自然对数的底数【答案】（1）的增区间为，减区间为（2）【解析】【详解】：（Ⅰ）因为所以由于所以的增区间为，减区间为．（Ⅱ）由题意得即．由（Ⅰ）知在单调递增，要使对恒成立，只要解得22.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜