2024-2025新教材高中数学课时检测8点到直线的距离含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE4点到直线的距离[A级基础巩固]1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3 B.eq\f(5,3)C．1 D.eq\f(\r(2),2)解析：选B点P(1，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|3×（－1）－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，选B.2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝()A．0 B.eq\f(3,4)C．3 D．0或eq\f(3,4)解析：选D点M到直线l的距离d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，选D.3．(多选)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为()A．－3 B．3C．－2 D．1解析：选AB由题意得eq\f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或a＝3.4．(多选)与直线l：2x＋y＋1＝0平行且到l的距离等于eq\f(\r(5),5)的直线方程为()A．2x＋y＝0 B．2x＋y＋2＝0C．2x＋y－2＝0 D．2x＋y＋1＝0解析：选AB设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，由题意得eq\f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2.5．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C设AB边上的高为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.|AB|＝eq\r(（3－1）2＋（1－3）2)＝2eq\r(2)，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3或k＝eq\f(17,3).答案：－3或eq\f(17,3)7．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，则m＝________，它们之间的距离是________．解析：∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋eq\f(1,2)＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋3)),\r(32＋12))＝eq\f(7\r(10),20).答案：2eq\f(7\r(10),20)8．经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________．解析：(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满意题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝eq\f(|3k＋4|,\r(k2＋（－1）2))＝3，解得k＝－eq\f(7,24).直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.答案：x＝－3或7x＋24y－75＝09．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．解：法一：∵点A(1，1)与B(－3，1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等，得eq\f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝1.∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)，∴直线l的方程是x－y＋2＝0；当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.综上所述，满意条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.10．已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．(1)求直线l的方程；(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a，8－2a)．又P(0，1)是AB的中点，∴A(－a，2a－6)．∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即B(4，0)．故直线l的方程是x＋4y－4＝0.(2)由(1)，知A(－4，2)．又AD∥l1，∴kAD＝eq\f(2－m,－4－0)＝－2，∴m＝－6.点A到直线l1的距离d＝eq\f(|2×（－4）＋2－8|,\r(22＋12))＝eq\f(14\r(5),5)，|AD|＝eq\r(（－4－0）2＋（2＋6）2)＝4eq\r(5)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)|AD|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(5)×eq\f(14\r(5),5)＝28.[B级综合运用]11．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，5]C．(0，5] D．[0，eq\r(17)]解析：选C当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝eq\r([2－（－1）]2＋（－1－3）2)＝5，∴0＜d≤5.12．(多选)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为()A．(－1，0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8))C．(1，6) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，－2))解析：选AB由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x，3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝eq\f(5,3).故点C坐标为(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8)).13．已知5x＋12y＝60，则eq\r(x2＋y2)的最小值是________．解析：eq\r(x2＋y2)表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在全部这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝eq\f(60,\r(52＋122))＝eq\f(60,13).答案：eq\f(60,13)14．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)．∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形的面积公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，b＝±3.又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.[C级拓展探究]15．已知实数x，y满意x＋y＋1＝0，摸索究S＝eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)的最