2023-2024学年河北省重点中学九年级数学第二学期统考试题

2023-2024学年河北省重点中学九年级数学第二学期统考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业

额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是()

A.2500(1+x)2=9100

B.2500(1+X%)2=9100

C.2500(1+x)+2500(1+%)2=9100

D.2500+2500(1+%)+2500(1+x)2=9100

2.现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3,从每组牌中各摸出一张牌.两张牌

的牌面数字之和等于4的概率是()

2152

A.—B.—C.—D.一

9393

3.如图，A,B,C,D为。O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O路线作匀速运动，设运动时间为

t(s).ZAPB=y(°),则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()

4

4.一张圆心角为a的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为4,已知tana=g,则扇形纸板和

圆形纸板的半径之比是（）

5.如图，直线/"/[〃力，若AB=6,BC=9,EF=6,则DE=()

A.4B.6C.7D.9

6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，贝!JtanNABC的值为（)

「Vio

V-Z•-----D.1

5

7.在平面直角坐标系xOy中，以点（—3,4）为圆心，4为半径的圆（）

A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交

C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离

8.一元二次方程X2-2X+1=0的根的情况是（）

A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

9.如图，中，ZA=30，tanfi=—,AC=2瓜则AB的长为（）

2

B

Ac.

A.3+/B.2+26C.5D.1

1y2+?r+1

10.计算：X（1-与）+"+'X+1的结果是（）

XX

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.若XI、X2是关于X的一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根，贝!]Xl+X2=.

12.写出一个对称轴是直线x=l,且经过原点的抛物线的表达式.

13.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第个图形有94个小圆.

。O©O

oOO0

OOOOOOOOO

OOOOO0ooOO

OOOOOOO

OOOOOOOOooo

0OooOOO

oOoo

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

15…

14.如图，R7VLBC中，ZC=90°,BC=15,tanA=E，则AB二

8

15.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上，若AE=J?,NEAF=45。，则AF的长为

16.如图所示，等边△ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将4ADE沿着DE折叠，点A落在直线

BC上，对应点为F,若AB=4,BF：FC=1：3,则线段AE的长度为.

B

17.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：3的坡面向上前进了10m,此时小球距离地面的高度为.m

18.设为、々是一元二次方程--5%-1=0的两实数根，则占2+/2的值为

三、解答题（共66分）

19.（10分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每

个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可

多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元

的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

20.（6分）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格

点上,点C的坐标为（4,-1）.

（1）作出△ABC关于y轴对称的A]B|G，并写出A1的坐标；

（2）作出△ABC绕点O逆时针旋转90。后得到的A2B2C2,并求出C?所经过的路径长.

，求A/片+Z?2—ab+8•

5x+l>3（x-l）,

22.（8分）已知关于x的不等式组103.恰有两个整数解,求实数a的取值范围.

-x<8——x+2a

[22

23.（8分）用配方法解方程：2炉—4%—8=0

k

24.（8分）如图，已知反比例函数％=5（Jti>0）与一次函数力0）相交于A、B两点,ACLx轴于

x

点C.若小OAC的面积为1,且tanNA0C=2.

（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出5点的坐标，并指出当尤为何值时，反比例函数%的值大于一次函数山的值.

25.（10分）如图，AB为。的直径，PZ）切3。于点C,交AB的延长线于点。，且NZ）=2NA.

⑴求ND的度数.

⑵若）。的半径为2,求的长.

26.（10分）阅读下列材料，完成相应的学习任务:如图（1）在线段AB上找一点C,C把A5分为AC和5c两条线段,

其中AO5C.若AC,BC,"满足关系.则点C叫做线段A3的黄金分割点，这时处=避二1M.618,

AB2

人们把避二1叫做黄金分割数，我们可以根据图（2）所示操作方法我到线段A3的黄金分割点，操作步骤和部分证

2

明过程如下：

第一步，以A5为边作正方形A5CZ>.

第二步，以AO为直径作。F.

第三步，连接8F与。F交于点G.

第四步，连接。G并延长与A3交于点E,则E就是线段A3的黄金分割点.

证明：连接AG并延长，与5c交于点M.

,.•AO为。歹的直径，

:.ZAGD=90°,

・・•方为AD的中点,

:.DF=FG=AF,

/.Z3=Z4,Z5=Z6,

VZ2+Z5=90°,N5+N4=90。，

/.Z2=Z4=Z3=Z1,

"：ZEBG^ZGBA,

:.AEBGsAGBA,

.BG_AB

,,BE-BG'

:.BG2=BE,AB…

任务：

（1）请根据上面操作步骤与部分证明过程，将剩余的证明过程补充完整；（提示：证明5M=5G=AE）

（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.为优选法的普及作出

重要贡献的我国数学家是（填出下列选项的字母代号）

A.华罗庚

B.陈景润

C.苏步青

ACB

图1

图2

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、D

【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可.

【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程得:

2500+2500(1+%)+2500(1+%)2=9100.

故选D.

考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键.

2、B

【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可.

【详解】画树状图得:

123

/T\ZN/1\

123123123

和234345456

则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果,

31

:,两张牌的牌面数字之和等于4的概率为-=-,

93

故选:B.

本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果.

3、C

【解析】根据题意，分P在oc、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是

线段，分析选项可得答案.

【详解】根据题意，分3个阶段；

①P在OC之间,NAPB逐渐减小，到C点时，NAPB为45。，所以图像是下降的线段，

②尸在弧之间,NAP3保持45。，大小不变，所以图像是水平的线段，

③P在。O之间,NAPB逐渐增大，到。点时，NAPB为90。，所以图像是上升的线段，

分析可得：C符合3个阶段的描述；

故选C.

本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而

综合可得整体得变化情况.

4、A

【分析】分别求出扇形和圆的半径，即可求出比值.

【详解】如图，连接OD,

•..四边形ABCD是正方形，

/.ZDCB=ZABO=90°,AB=BC=CD=4,

4AB

tana=-=,

3OB

3

；.OB=—AB=3,/.CO=7

4

由勾股定理得：OD="2+72=J而=n；

如图2,连接MB、MC,

V四边形ABCD是。M的内接四边形，四边形ABCD是正方形,

.\ZBMC=90o,MB=MC,

.\ZMCB=ZMBC=45°,

；BC=4,

.•.MC=MB=20=0

扇形和圆形纸板的半径比是阿：2亚="~

故选：A.

本题考查了正方形性质、圆内接四边形性质；解此题的关键是求出扇形和圆的半径，题目比较好，难度适中.

5、A

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.

【详解】解：・・・/1/〃2〃/3，

.AB_DE

^~BC~~EF'

VAB=6,BC=9,EF=6,

・6_DE

**9一"6~"

.\DE=4

故选：A

本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.

6、B

【分析】根据网格结构找出NABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可.

【详解】解：NABC所在的直角三角形的对边是3,邻边是4,

3

所以，tanZABC=—.

4

故选B.

本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键.

7、C

【解析】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4,到Y轴的距离是3,根据直线与圆的位置

关系即可求出答案.

解答：解：圆心到X轴的距离是4,到y轴的距离是3,

4=4,3＜4,

二圆与x轴相切，与y轴相交，

故选C.

8、B

【解析】A=b2-4ac=（-2）2-4xlxl=0,

二原方程有两个相等的实数根.

故选B.

,本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a加，a,b,c为常数）的根的判别式△=bZ4ac.当△＞（）,方程

有两个不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△＜（）,方程没有实数根.

9、C

【解析】过C作CDLAB于D,根据含30度角的直角三角形求出CD,解直角三角形求出AD,在aBDC中解直角三

角形求出BD,相加即可求出答案.

贝！JNAZ>C=N3Z>C=9O。，

；/4=30。"=26，

.*.CD=gAC=g，由勾股定理得：AD=y［3CD=3）,

J3CD

VtanB=—=—,

2BD

：.BD=2,

.*.43=2+3=5,

故选C.

本题考查解直角三角形.

10、C

【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案.

［详解］解：原式一-—~-T

X（X+1）

_X-1

X+1

故选：C.

此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11,1

【解析】一元二次方程xi-lx-3=0的两个实数根分别为xi和xi,根据根与系数的关系即可得出答案.

【详解】解：•••一元二次方程xi-lx-3=0的两个实数根分别为xi和xi,

,根据韦达定理，Xl+xi=l,

故答案为：L

本题考查了根与系数的关系，难度不大，关键掌握Xi,XI是方程x1+px+q=0的两根时，Xi+xi=-p,Xixi=q.

12、答案不唯一(如y=f—2x)

【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线X=1的抛物线表达式，再化为一般式，

再由经过原点即为常数项c为0,即可得到答案.

【详解】解：•••对称轴是直线x=l的抛物线可为：y=(x—1)2=/—2x+l

又•.•抛物线经过原点，即C=0,

.•.对称轴是直线x=l,且经过原点的抛物线的表达式可以为：y=2x,

故本题答案为：丁=k-2x(答案不唯一).

本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系.关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同.

13、9.

【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为

16；第1个图形中小圆的个数为21；则知第n个图形中小圆的个数为n(n+1)+1.依此列出方程即可求得答案.

【详解】解：设第n个图形有91个小圆，依题意有1?+11+1=91即n2+n=90

(n+10)(n-9)=0

解得ni=9,ii2=-10(不合题意舍去).

故第9个图形有91个小圆.

故答案为：9

本题考查(1)、一元二次方程的应用；(2)、规律型：图形的变化类.

14、17

BC

【解析】VRtAABCNC=90°,AtanA=——,

AC

,**BC=15,tanA=—,AC=8,

8

•,-AB=+=17,

故答案为17.

15、亚

3

【解析】分析：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,贝!]NF=&x,再利用矩形的性质

和已知条件证明AAMEs^FNA,利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利

用勾股定理即可求出AF的长.

详解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,

B£C

•・•四边形ABCD是矩形，

/.ZD=ZBAD=ZB=90°,AD=BC=4,

/.NF=A/2x,AN=4-x,

VAB=2,

AAM=BM=1,

AB=2,

.*.BE=1,

・•・ME=dBM?+BE?:y/2，

■:ZEAF=45°,

:.ZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

ZMEA=ZNAF,

/.△AME^AFNA,

.AMME

•・俞一菽’

.1A/2

<2x4—x

4

解得：x=—

:.AF=y/AD-+DF2=

3

故答案为生®.

3

点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解

题的关键，

13-

16、1或14

【解析】点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线三角的相

似关系求出线段长.

【详解】解：按两种情况分析：①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知

ZA=ZDFE=60°

,/ZBFD+ZCFE=120°,ZBFD+ZBDF=120°NBDF=NCFEVZB=ZC

BDDFBF

/.△ABDF^ACFE,:.——=——

CFEF~CE

VAB=4,BF：FC=1：3

，BF=1,CF=3

设AE=x,贝!]EF=AE=x,CE=4-x

.BDDF1

3x4-x

解得BD=——3,DF=x^

4-x4-x

YBD+DF=AD+BD=4

3%

----1----=4

4-x4-x

解得x=不，经检验当*=不时，4-x/)

13

.••x=M是原方程的解

②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知

ABDF^ACFE

BDDFBF

~CF~~EF~~CE

TAB=4,BF：FC=1：3,可得BF=2,CF=6

设AE=a,可知AE=EF=a,CE=a-4

BDDF2

•**—_—

6a(2-4

12la

解得BD=-------，DF=--------

〃一4〃一4

,:BD+DF=BD+AD=4

12la.

---------1---------=4解得a=14

〃一4。一4

经检验当a=14时，a-4#0

・・・a=14是原方程的解，综上可得线段AE的长为1三3或14

故答案为1或14

本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键.

17、V10

【详解】如图：

B

AC

RtZkABC中，NC=90°,i=tanA=l：3,AB=1.

设BC=x,则AC=3x,

根据勾股定理，得:本+(3刈2=1()2,

解得：X=回(负值舍去).故此时钢球距地面的高度是丽米.

18、27

【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可知再+与=5，因此可知

%；+X；=(芭+%2)2-2X/2=25+2=27.

故答案为27.

hr

此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：王+Z=——，%•/=—，确定

aa

系数a,b,c的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可.

三、解答题(共66分)

19、第二周的销售价格为2元.

【分析】由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即

可.

【详解】解：设降低x元，由题意得出：

200-(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[(600-200)-(200+50x)]=1250,

整理得：X2-2x+l=0>解得：X1=X2=1.

/.10-l=2.

答：第二周的销售价格为2元.

20、(1)作图详见解析；A、(-5,-4)；(2)作图详见解析；叵兀.

2

【解析】试题分析：(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，根据点在坐标系中的位置写出点坐标即

可；

(2)分别作出各点绕点O逆时针旋转90。后得到的对称点，再顺次连接即可，根据弧长公式计算可得C?所经过的路

径长.

试题解析：(1)如图，A|B|G即为所求作三角形A[(-5,-4)；

(2)如图，A?B2c2即为所求作三角形,

22

•,℃2=A/1+4=-\/17>

90兀而屈

:.G所经过的路径CQ的长为------------------71

1802

考点：作图——旋转变换；作图——轴对称变换.

21、1.

【分析】先对已知〃、力进行分母有理化，进而求得H、Q1的值，再对，片+》2—a1+8进行适当变形即可求出式子

的值.

11

【详解】解：・・・〃

百-2'"逐+2，

*,•«=45+2,b=布-2,

ab—1,a-b—4,

,,\ci~+b~-ab+8

_J(a—b)~+aZ?+8

=次+1+8

=1.

本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的

方法.

22、-4<a<-3.

【解析】试题分析：首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关

于。的不等式组求得"的范围.

一一13

试题解析：解：由5x+2>3(x-2)得：x>-2,由一达8x+2a得：x<4+a.

22

则不等式组的解集是：-2〈正4+a.

不等式组只有两个整数解，是-2和2.

根据题意得：2。+°<2.

解得：-4<a<-3.

点睛：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小,

小大大小中间找，大大小小解不了.

23、xi=6+l,X2=-6+l

【分析】先把方程进行整理，然后利用配方法进行解方程，即可得到答案.

【详解】解：4%—8=0,

x*2-2x-4=0,

...(1)2=5,

：•x—l=±非，

Xl=布+1,X2=-A/5+1.

本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法进行解一元二次方程.

2

24、（1）%=—；%=x+l；（2）8点的坐标为（-2,-1）；当0<x<l和x<—2时，刈>及.