2024年中考数学复习圆的基本性质的核心知识点精讲（讲义）（原卷版）

专题23圆的基本性质的核心知识点精讲

1皿|复习目标

1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；

2.理解并运用圆周角定理及其推论；

3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；

4.理解并运用圆内接四边形的性质.

考蔡

考点1：圆的定义及性质

圆的定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径。

圆的表示方法：以。点为圆心的圆记作O。，读作圆。。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2

倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作屈，读作圆弧

AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理B

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。厂

推论1:1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（"

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；c

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造内△,用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

考点4：垂径定理的应用

经常为未知数，结合方程于勾股定理解答

考点5：圆心角的概念

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所

对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。―

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,

那么它们所对应的其余各组量分别相等。

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=:圆心角）

推论L同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，况的圆周角所对的弦是直径。

C

BA

0

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点7：圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即:在。。中,•.・四边4BCD是内接四边形

ZC+Z5y4D=180°Z5+ZD=180°

NDAE=ZC

AMU引领

［题型1：垂径定理及推论】

【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主

桥拱呈圆弧形，跨度约为37%,拱高约为7%,则赵州桥主桥拱半径尺约为（）

37m

,，’R

0

A.20mB.28mC.35mD.40m

声一

1.（2023•长沙）如图，点4B,C在半径为2的。。上，AACB=60°,OD1AB,垂足为E,交。。于

点。，连接04,则OE的长度为

2.（2023•宜昌）如图，CM,OB,OC都是的半径，AC,。2交于点D若4D=CD=8,OD=6,则5

D的长为（）

A

B

A.5B.4C.3D.2

3.（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽45CD是矩形.当餐盘正立且紧

靠支架于点4。时，恰好与5。边相切，则此餐盘的半径等于cm.

二典例即领

【题型2：圆周角和圆心角】

【典例2】（2023•广西）如图，点4,B,C,在。。上，乙。=40。.则乙405的度数是（）

七BD时检测

1.（2023•甘孜州）如图，点4,B,。在。。上，若乙。=30。，则445。的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2023•河南）如图，点4,B,。在O。上，若乙。=55。，则乙4。5的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.110°

■・典例期领

【题型3：弧、弦、圆心角】

【典例3】（2023•广东）如图，A8是。。的直径，48/C=50。，则（）

BD时格91

1.（2023•泰安）如图，是。。的直径，D,C是。。上的点，AADC=115°,则的度数是（）

2.（2023•枣庄）如图，在。。中，弦4B,CD相交于点P.若乙4=48。，AAPD=80°,则42的度数为

)

3.（2023•宜宾）如图，已知点N,B,C在。。上，C为AB的中点.若4R4C=35°,则乙/。5等于（）

A.140°B.120°C.110°D.70°

4.（2023•牡丹江）如图，/,13,。为。。上的三个点，乙AOB=4乙BOC,若乙4。5=60。，则乙氏4C的度

数是（）

A

A.20°B.18°C.15°D.12°

聿

w曲例群福

【题型4：圆内接四边形】

【典例4】（2023•西藏）如图,四边形45CQ内接于£为5。延长线上一点.若乙DCE=65。,则45

OD的度数是（）

---\

/\

A.65°B.115°C.130°D.140°

♦即时检测

1.（2023•朝阳）如图，四边形4BCQ内接于。。，若乙C=120。,。。的半径为3,则面的长为（）

A

C

A.nB.2nC.3nD.6n

2.（2023•宁夏）如图，四边形/BCD内接于。。，延长4D至点£,已知乙/。。=140。那么乙CDE=

3.（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于。。，BC//AD,ACLBD.若4NOD=120。，AD=43,则乙

CAO的度数与BC的长分别为（）

A

C.15°,1D.15°,V2

选择题（共9小题）

1.如图，点/、B、C在。。上，若乙C=38°,则乙NOB的度数为（）

A.38°B,76°C.80°D.60°

2.如图，△/8C的三点都在。。上，是直径，乙BAD=50：则4NCD的度数是（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

3.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知瓦^二⑺二4c冽，则球的半径长

C.3cmD.4cm

4.如图，四边形Z5C。内接于4B是。。的直径，连接4C,若乙C/5=40。，则乙/DC的度数是（

）

B.50°C.110°D.130°

5.如图，△ABC是。。的内接三角形,ABAC=35°,则45OC的度数为（)

B.65°C.70°D.75°

6.如图，是。。的直径，点。、。在上.若乙艮4c=30。.则乙4QC的大小是（)

A.130°B.120°C.110°D.100°

7.如图，已知48是。。的直径，弦CDU8,垂足为£,且乙/CD=22.5°,CD=4,则。。的半径长为

B.2V2C.4D.10

8.如图，四边形A8CD内接于OO,若乙C=130。，则42。。的度数为（）

C.130°D.150°

9.如图，AB,CD是。。的弦，延长CD相交于点E,已知4E=30°,AAOC=100°,则BD所对的

C.50°D.70°

二.填空题（共5小题）

10.如图，四边形4BCD内接于。。，E是3C延长线上一点，若4240=105。，则4OCE的度数是

11.如图，△ABC内接于。。，AD是。。的直径，若乙ABD=62。，则乙。的度数是.

12.如图，某同学准备用一根内半径为5c〃?的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度N3为8cm,则槽的深度C

D为cm.

（（）A

C

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点/,B,C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此

圆弧的圆心坐标为.

14.如图，点N,B,C,。在上，ACAD=30°,乙ABD=50°,贝I］乙/£>C=.

15.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以

锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，⑦为。。的直径，

弦_LCD于点E,C£=1寸，/8=10寸，则直径CD的长为多少？

七虢力展升

一.选择题（共10小题）

1.如图，四边形N3CD是。。的内接四边形，48=128。，则4NOC的度数是（）

2.如图，△4BC内接于O。，E是黄的中点，连接BE,OE,AE,若4A4c=70。，则4。班的度数为（

A.70°B.65°C.60°D,55°

3.如图，PA,依分别切OO于点4瓦点。在上，若四边形/C2。为菱形，则乙/尸3为（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

4.如图，48为OO的直径，点。为圆上一点，将劣弧NC沿弦/C翻折交48于点D,连接C。，点。与

圆心。不重合，ABAC=26°,则4OC4的度数为（）

A.38°B,40°C.42°D.44°

5.如图，是。。的直径，点C为圆上一点，4c=4圾,。是弧NC的中点，AC与BD交于点E.若E

是的中点，则3c的长为（）

D.

C

A.5B.3C.2D.1

6.如图，在半圆/C2中，48=6,将半圆NC2沿弦BC所在的直线折叠，若弧3c恰好过圆心。，则8c

A.3V3B.nC.2nD.4n

7.如图，N8为圆。一条弦，OD工AB交AB于N,劣弧N8于点。，在圆上取一点C,连接/C交。。于

M,连接DC,若乙NCZ>=30°,M平■分ON,且DN=2,则//=（）

A.V13B.273C.275D.373

8.如图，已知四边形/BCD内接于。。，第=篇，AD.3C的延长线相交于点瓦/尸为直径，连接3E若

乙BAF=32°,4E=40°,则乙CAF的度数为（）

A.16°B,24°C.12°D.14°

9.如图，。。是△4BC的外接圆，乙403=36。，则448。的度数为（）

A.36°B.45°C.54°D,72°

10.如图，四边形/BCD内接于。。，连接。OC.若4r>〃BC,乙BAD=70；则4/OC的度数为（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

二.填空题（共4小题）

11.如图，在。。中，弦4B,CD相交于点尸，43=35°,2APD=77°,则乙/的大小是度.

12.如图，已知△48。内接于。。，48是。。的直径，CD平分乙ZC2,交于点。，若48=6,贝UAD

的长为.

13.绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8%,桥拱半径。C为5%,则水面宽/

14.如图，点N是。。中优弧易1D的中点，乙4BD=70：C为劣弧5D上一点，则45。的度数为

A

B

三.解答题（共2小题）

15.如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度/3=3.2米，拱高CD=0.8米（。为的中点，D为

弧48的中点）.

（I）求该圆弧所在圆的半径；

（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的高度.

16.图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一

部分，其展开图是矩形.图2是遮雨棚顶部截面的示意图，源所在圆的圆心为。.遮雨棚顶部是用一种

帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留n）.

O

图2

1.（2023•杭州）如图，在中，半径。4,互相垂直，点C在劣弧48上.若乙480=19。，贝吐血

C=（）

A.23°B.24°C.25°D.26°

2.（2023•淄博）如图，△NBC是。。的内接三角形，AB=AC,ABAC=120°,。是8C边上一点，连接/

。并延长交。。于点E.若4D=2,DE=3,则。。的半径为（）

C.2V10D.3V10

3.（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC）,点。是这段弧所在圆的圆心，3为AC上一点,

02_L/C于D若/C=300aBD=15Qm,则AC的长为()

A