浙江省杭州市2023-2024学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案）

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知：

1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号,

并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。

3.答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项

是符合题目要求的。

2

1.已知复数z=l+i,z2=2-i（，为虚数单位，i=-1）,则复数z=Z2—4对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.命题“*>0,3x—10〉0”的否定是（）

A.Vx>0,x2-3x-10>0B.>0,x2-3x-10<0

C.<0,%2—3x—10<0D.Vx>0,x~—3x—10<0

3.下列函数中，以兀为最小正周期的奇函数是（）

A.y=sin2xB.y=cosxC.y=2|sinx|D.y=2|cosx|

4.若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（）

1123

A.一B.-C.一D.一

4334

5.在正方体45CD—481GA中，P，。分别是棱力4和CG上的点，PA=^AAX,BQ=^BBX,那么

正方体中过点D,P,。的截面形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

6.在同一个坐标系中，函数/（%）=logq/zx（x,）=g£（x）的=图a象—x可,能是（

tan(a-p+/)

8.已知经过圆锥S。的轴的截面是顶角为。的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若

这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切)，且上、下两部分几何体的体积之比是1：7,则COS。=()

74/

BC

9-D.9

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成

绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，

则下列说法正确的是()

A.图中x的值为0.030

B.被抽取的学生中成绩在［70,80)的人数为15

C.估计样本数据的众数为90

D.估计样本数据的平均数大于中位数

10.已知向量2=(-1,3),b=(x,2),且(I一则()

A.11,2)

B.\la-b=25

C.向量2与向量3的夹角是45°

D.向量2在向量b上的投影向量坐标是(1,2)

11.已知zeC,设函数/(z)满足/(z)+d(l—z)=l+z,则()

A./⑴=1

B.当zeR时，/(z)不二室是常数函数

=2,则/1

C.

D.若目=1,贝U力（彳）+/（1—彳）=l+z

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数^=山》与^=6、的图象关于直线对称.

TT7T

13.若某扇形的圆心角为‘，面积为二，则该扇形的半径是

42------

14.记△48C的内角B,C的对边分别为a,b,c.已知sin。=J^cosB,a2+b2-c2-42ab,若

△4BC的面积为3+V3,则a=.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本题满分13分）

已知函数/（x）=2A/3SUIX-COSX+2COS2X.

（1）求/（x）的最小正周期及单调递增区间；

（2）求/（X）在区间-上的最大值、最小值及相应的x的值.

16.（本题满分15分）

如图，在四棱锥P4BCD中，底面48CD为矩形，以，平面48cD,尸。与底面所成的角为45°,E为PD

的中点.

（1）求证：/E_L平面PCD；

（2）若45=百40,求平面48c与平面P3C的夹角大小.

17.（本题满分15分）

已知函数/（x）=ae"+（a-2）e*-x,aeR.

（1）当a=2时，求/（x）在x=0处的切线方程；

⑵讨论/（x）的单调性.

18.（本题满分17分）

5

已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点右焦点凡离心率e=3.

（1）求椭圆C的标准方程;

(2)设直线/与椭圆C交于P,。两点.

(i)若直线/与此垂直，求线段尸。中点的轨迹方程；

(ii)是否存在直线/,使尸恰为△尸QW的垂心？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

19.(本题满分17分)

已知数列｛%｝满足a；-(4+3〃)%—4〃2-4n=0(a.>0,neN*),数列［bn］满足

〃+i=3a+27z-l(〃eN*),4=2.

⑴求｛4｝,｛2｝的通项公式；

(2)定义：已知数列｛g｝,Qn=^c2i,当&eN*时，称｛%｝为“4一偶数项和整除数列”.

04

⑴计算S",Tn,其中S"=gx，*=£(瓯+2i).

Z=1Z=1

(ii)若+/)—4｝(2eN*)为“4-偶数项和整除数列”，求X的最小值.

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是

符合题目要求的.

12345678

DDACBCAC

二、选择题：本题共了小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.AB10.ACD11.ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

12.y=x13.214.a+叵

四、解答题.

15.(1)/(x)=2V3sinx-cosx+2cos2x=V3sin2x+cos2x+1=2sin^2x+^+1

故T="=兀；

2

TTTTTT

由/(x)=2sin2x+—+1,令----F2kji<2x+—<—+2kji,keZ,

262

7171

则----FkitVx<—Fkit，keZ,

36

故函数/(x)的单调递增区间为—g++E,keZ；

/、、,，兀5兀r_LC兀兀

(2)当---,---时，2%H----G---,71

61266

贝(lsin(2x+工]e--,1

即/(x)e[0,3],

I6jL2

即/(x)在区间-上的最小值和最大值分别为0,3,

即2》+巴=—巴时，即x=—四时，/(x)有最小值0,

666

当2x+巴=4,即》=巴时，/(x)有最大值3.

626

16.证明：(1)因为a_L平面/BCD,所以出_LCD,

因为PD与平面/BCD所成的角为45°,功_L平面/BCD,

所以NPZM=45。，且PZ=4D,

又E为尸。的中点，所以

因为CDLAD,又CDLPA,故CD_L平面PAD,所以CDLAE,

所以ZEL平面尸CD

(2)因为a，平面/BCD,所以我J_3C,又AB1BC,故8C_L平面为3,

所以又BCLAB,则NP"即为所求，

由(1)知：PA=AD,则氏4=百02,所以NPA4=巴.

6

17.⑴当a=2时，/(x)=2e2x-x,/,(x)=4e2jc-L/'(0)=3,/⑼=2,

切线方程为：y=3x+2.

(2)/(x)=2T+(a-2)e，-1=(2e、+1)(湛-1),

①若a<0,/'(x)<0,则〃x)在(—8,+8)上单调递减，

②若a>0,当/'(x)=0时，解得x=—Ina,则/(x)在(-lna,+co)上单调递增，在(一叫一Ina)上单调

递减.

52

18.解：(I)由题意得：b=\,e=—,则易得/=2,故椭圆方程为二+/=i.

22-

(2)(i)由题意得：kMF=—1,因为所以左M/•左/=—1,则&=1,

y-x-\-m

22

设直线/:y=x+/〃，尸(X],%),。(%,%)，联立＜xy,可得3x?+4加x+2加2—二0,

丁T一

A=16m2一4x3x(2冽2—2)=8(3—加之)>0,所以—<Z72<-\/3

、/42m2-22

由韦达定理得：再+、2=一§加，X\X2--------，必+%=芭+%2+2冽=§加，

+y1

设线段PQ中点为N(xj),则》=%产二——2m,-Ji----2=—m,

323

'2百

则PQ中点的轨迹方程为了=-g%<x<------

33}

(ii)因为尸恰为的垂心，有尸。

所以话•画=占(％—1)+%(%T)=0

又％=芯+加(z•=1,2),得西(、2-1)+(x2+加)(再+m-l)=0,

即+(再+2

2XJX2x2)(m-l)+m-m=0,

?加2―O4帆c

代入韦达定理得2・3—于(加—1)+加—冽=0，

4、4

解得加=——或加=1.经检验加=——符合条件,

33

4

则直线/的方程为：y=x—-.

3

19.(1)由-(4+3〃)〃“-4〃2-4〃=0可得-(4〃+4)]+〃)=0,

根据%>0可得%=4〃+4,

由2+i=32+2〃一1可得4+i+〃+1=3(2+〃)，且4+1=3,

所以｛"+〃｝是以首项为3,公比为3的等比数列，故〃=3"-〃.

(2)

(12+8〃+4)〃7

(i)Sn=2+%+—a?i+—a2n-------------—劭+陶

9(l-9")i

北=92+2)+…+饱+2z)+…+02〃