半角的正弦余弦和正切

/半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学[教者]王春雷[点评]凌旭球（中学特级教师）一、教学目标掌握半角公式与推导方法。理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。能熟练、合理地运用公式。二、重点、难点分析重点：，，公式的推导、识记与熟练运用。难点：，公式中双重符号的选择、三个公式的灵活运用。三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。四、教学过程设计（一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：（师生合作回答，然后用投影显示）评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。下面，我们一起来看一道习题：，求和的值。（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？生：能，用二倍角公式。师：那好，下面我们就一起来完成这道题：（生集体回答，师板书）评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉与开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。现在，我们再来看另一道习题，已知：，求的值。（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。生：不能。师：但如果我们把看成上题的角，那角就变成了上题的什么角？生：角。师：所以，的值是……（稍作停顿）生：。师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的角换成角，把公式中的角换成角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。（师板书课题）评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情。（二）新课讲授1、公式推导师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。先探讨如何将公式变形得出与角的三角函数关系。生：由，从中解出。师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出，能否用更简洁的方法来求解呢？生：可以利用得出，从而师：（板书）对，但公式中“±”号的确定是关键，是不是两个都要呢？生：（稍作讨论后回答）不是，应根据角所在的范围中正弦的符号来选取。师：具体的说，就是角在第一、二象限时取……（稍作停顿）生：“+”号。师：当角在第三、四象限时取……（稍作停顿）生：“-”号。师：如果没有指明角的范围呢？生：“±”号都要。评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。师：很好。下面我们接着来研究角的余弦。生：利用得出，从而。师：（板书）这里又出现了“±”号，请大家参照刚才的方法总结一下。生：当角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“-”；如果没有指明角的范围时，“±”号两个都要。评：有了“半角正弦”的推导作样板，“半角余弦”的导出自然水到渠成。师：不错。我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗？生：能。由商数关系得：评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。师：（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉？生：不能。师：那么又如何理解结果中的“±”号呢？生：是分子、分母的“±”号搭配的结果——当分子、分母同号时取“+”，分子、分母异号时取“-”。师：由这一搭配的结果，你能根据角所在的范围说出如何选取正切符号吗？生：能。当角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“-”；当没有指明角的取值范围时，应该同时取“±”号。师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论）评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。师：我们能不能利用乘除符号性质来判断与是同号还是异号呢？生：能，是同号。师：那么与呢？生：也是同号。师：根据这种思路，下面我们进一步来研究的公式，使它变得更简单，更便于使用。由于，将的分子、分母同时乘以2或2，使变成，那么会得到什么结果呢？生：或（师板书）2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。（投影显示公式）=1\*GB2⑴（）。=2\*GB2⑵（）=3\*GB2⑶（）=4\*GB2⑷=5\*GB2⑸（）’师：首先明确公式成立的条件，即角的取值范围，先看=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵。生：公式=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵的条件是。师：再看公式=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷。生：对于公式=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷，需满足左、右两式均有意义，即：，且，所以。师：那么公式=5\*GB2⑸的条件呢？生：，且，即：，且，所以，。师：公式=4\*GB2⑷、=5\*GB2⑸都是从式子推出的，为什么成立的条件不相同呢？生：（稍作议论后回答）因为同乘以2时，不能保证它一定不为零，为了保证变形的等价性，需添上条件，即，所以增加了公式的使用条件。师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以注意。（投影显示图表）公式左端取值范围右端取值范围从左到右取值变化未变未变未变变小,缩小范围为师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列这四个式子，，，，（投影显示）进行判断，是否是公式的表达式？生：都不是。师：对，在的表达式中，只含有三种不同的式子：，和，而若出现一定会在分母上，如=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷；若出现则一定出现出分子上，如=3\*GB2⑶、=5\*GB2⑸；而=4\*GB2⑷、=5\*GB2⑸两个公式，一旦分子或分母确定下来，另一个位置肯定就是。同时，根据的性质，我们就可以很容易地建立起与，与的联系。当然，最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、并掌握下来。评：揭示公式成立的条件与内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。这样做可拓展学生的思维领域，提高学生分析问题和解决问题的能力。3、巩固练习师：下面，请大家应用半角公式来解题，看投影：例：已知，根据下列条件求，，的值。=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵为第四象限的角。师：我们应该用什么方法来解这道题呢？生：用半角公式。师：还需要什么条件吗？生：还需要知道和角的范围。师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下=1\*GB2⑴。生：（板书）=1\*GB2⑴解：，师：做得很好。特别值得肯定的是对角范围的指出，因为公式中“±”号的选择要看角的范围。评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是的评价，非常重要，可使学生感受成功的乐趣。师：下面，我们来做=2\*GB2⑵。由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。生：为第四象限，，即。当为偶数时，为第四象限的角；当为奇数时，为第二象限的角。当为第二象限时，为正，为正，为负，为负。当为第四象限时，为正，为负，为正，为负。师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？生：=1\*GB2⑴中的是第四象限的角，=2\*GB2⑵中的角也是第四象限的角，为什么=1\*GB2⑴只有一组解，而=2\*GB2⑵却有两组解呢？师：问题提得好。这是因为=1\*GB2⑴中的角是区间角，只是第四象限角中的一部分，角只有一种可能；而=2\*GB2⑵中的是象限角，角有两种可能。所以我们要在解题时一定要注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。（三）归纳小结这节课我们一起导出了“半角公式”，并做了初步的理解与应用。在这里我们要注意以下几点：=1\*GB2⑴半角与倍角是相对的，也是紧密联系的，是同一种关系的不同表现形式。=2\*GB2⑵对公式的记忆要采取合成记忆的方法，即对比记忆（求同）结合特例记忆（求异）来进行。=3\*GB2⑶要处理好公式中双重符号的选择。（投影显示以上三点）至于对半角公式的进一步综合应用将在下节课继续研究。评：必要的归纳、总结，起到将知识升华与迁移运用，使之转化为能力的作用。则对公式的灵活运用，有待后续课程的强化。（四）布置作业：课本题1、2、3题五、课堂设计说明本节课没有直接给出公式，而是采用启发式教学，注重学生的参与度，通过提问、板演、投影、讨论等多种形式引导学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，培养学生联系转化的辩证思想。六、板书设计§3.3半角的正弦、余弦、正切二倍角公式（略）半角公式（略）作业：1、2、3倍角公式复习题半角公式推导例题（略）总评：本课教者从与新知相关的旧知“二倍角公式”复习入手，设计了两道习题作为探求新知的引子，将所学新知识转化为用旧知识去研究解决，即符合认识规律，又为探求新知起到前期测诊与扫清障碍的作用。在讲授中，采用师生对话、合作讨论的启发式教学方法，全程围绕教学目标开展，从旧知自然引申到新知，有层次地引导学生向深层探索，逐步展开，充分显示了教师的主导作用。而学生始