等差数列的性质 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1(3)等差数列的性质1.由等差数列构造新等差数列2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质简化计算.学习目标例1

已知{an}为等差数列，（1）a1＝8，d＝2，求an.（2）a5＝8，d＝2，求an.（3）a55＝20，a60＝30，求d.一、等差数列通项公式的变形与推广一、等差数列通项公式的变形与推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；(2)an＝am＋

(m，n∈N*)；(3)d＝

(m，n∈N*，且m≠n).(n－m)d例1

已知{an}为等差数列，（1）a1＝8，d＝2，求an.（2）a5＝8，d＝2，求an.（3）a55＝20，a60＝30，求d.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.变式

已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.例2

等差数列{an}的通项公式为an=3n-2，分别求a1+a7，a2+a6，a3+a5的值.a1=3×1-2=1，a7=3×7-2=19a2=3×2-2=4，a6=3×6-2=16a3=3×3-2=7，a5=3×5-2=13a1+a7=a2+a6=a3+a5=20二、等差数列多项间的性质a1+a7=a2+a6=a3+a5=20追问1

三组和相等的项，有什么共同特点？下标和相等的两项，他们的和也相等.追问2

你能证明“当p+q=s+t时，ap+aq=as+at”这个结论吗？①特别地，当p+q＝2s时，ap＋aq＝2as.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….追问3等差数列{an}中，能否有a2+a4=a6？2a4=a2+a6×√下标和相等的两项，他们的和也相等.需满足两个相等：下标和相等，项数相等跟踪训练

已知{an}为等差数列，（1）若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于A.7 B.14 C.21 D.7(n－1)√（2）在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.解∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40， ∴a10＝10.综合运用

在等差数列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，则an的通项公式为____________例3

若数列{an}是等差数列，首项为2，公差为8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，若要使之构成一个新的等差数列{bn}，你能求出它的公差吗？

追问1

若插入k个数，你能求出它的公差吗？三、由等差数列构造新等差数列例3

若数列{an}是等差数列，首项为2，公差为8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，若要使之构成一个新的等差数列{bn}，你能求出它的公差吗？

追问2

b29是不是数列{an}中的项？有其他方法得出此结论吗？an

中的各项，依次是bn

中的第1,5,9,13，……项这些下标构成首项为1，公差为4的等差数列{cn}

，则cn=1+4（n-1）=4n-3.令4n-3=29，解得n=8.所以b29是数列{an}中的第8项.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)三、由等差数列构造新等差数列跟踪训练1

有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为A.15 B.16 C.17 D.18√解析易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，而n∈N*，所以n的最大值为16.变式已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝_______；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是____.12n－125本课小结：本节课我们学习了：等差数列的性质：(1)两项之间的关系：(2)多项之间的关系：等差数列下标和相等两（n）项和相等;

(3)由等差数列构造新等差数列要求下标和相