山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于，，是上的减函数，不合题意；对于，是定义域是且为增函数，符合题意；对于，，定义域是，不合题意；对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.2.已知向量，且，则的值是（）A. B. C. D.6〖答案〗D〖解析〗因为，即，化简，整理得，则，解得.故选：D.3.在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（）A.9种 B.36种 C.38种 D.45种〖答案〗B〖解析〗由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种.故选：B.4.如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（）A.平面 B.平面平面C.平面 D.平面内存在与平行的直线〖答案〗C〖解析〗因为为正方体，设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，同理解得平面的法向量，，故A不正确；，故B不正确；，，所以，又，所以平面，C正确；平面的一个法向量为，，故D不正确；故选：C.5.已知是等差数列，，在数列中，若是等比数列，则的值为（）A.6072 B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设的公差为的公比为，则由题意可得，，即，解得，所以，根据已知又有：，则，得，所以，进而，故.故选：C.6.下列结论正确的是（）A.已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大B.已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4C.50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人D.已知随机变量，若，则〖答案〗D〖解析〗对于A：新数据的总和为，与原数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变，因为，而，即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故A错误；对于B：因为回归直线方程必经过样本中心点，所以，解得，故B错误；对于C：因为一模考试中的数学成绩，，所以，所以，所以的人数为人，故C错误；对于D：因为，所以，，解得，故D正确.故选：D.7.已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（）A2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由椭圆的离心率，双曲线的离心率，可得，令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即，则此时，即，则的最大值是.故选：B.8.已知函数，且，若在上有个不同的根，则的值是（）A.0 B. C. D.不存在〖答案〗B〖解析〗由，得，又，所以，即，若，则，当，所以在上有4个不同的根，且，，即，所以．故选：B.二、多选题：本题共3小题，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列选项正确的有（）A.若是方程的一个根，则B.复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为C.若复数满足，则的最大值为D.若复数，满足，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A：若是方程的一个根，则方程的两个根分别，所以，所以，故A错误；对于B：由题意可知，所以，所以向量表示的复数为，故B正确；对于C：设，若复数满足，则在复平面内点在圆上，圆的圆心，半径，则的几何意义为原点到圆上点的距离，又，则的最大值为，C正确；对于D：因为，所以，，所以，D正确．故选：BCD.10.如图，已知二面角的平面角大小为，垂足分别为，，若，则下列结论正确的有（）A.直线与平面所成角的余弦值为B.点到平面的距离为C.平面与平面夹角的余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，过点作，使得，过点作，使得，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，因为，则，所以即为的二面角，则，同理可得，且四边形为矩形，又因为，且平面，则平面，因为平面，所以，又因为，平面，则平面，所以为直线与平面所成的角，因为，则，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，且，平面，则平面，因为平面，所以，又因为，平面，则平面，由A项知，所以，即点到平面的距离为，所以B正确；对于C中，连接，过点作，垂足为，由B知平面，因为平面，所以，又因为平面，则平面，因为平面，所以，所以为的二面角，又因为，由，可得，所以，所以，所以C错误；对于D中，设三棱锥的外接球球心为，由，取的中点为，取的中点为的中点为，连接，则平面，且平面，，因为平面，则，又因为平面，则平面，同理可得：平面，则四点共面，且，则，，所以，因为，所以，即外接球的半径为，则外接球的表面积为：，所以D正确.故选：ABD.11.函数函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（）A.函数与函数无公共点B.若，则C.D.所有满足的点组成区域的面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A：函数与函数的图象如图所示，由图可得函数与函数无公共点，A正确；对于B：若，则，则，，即，B正确；对于C：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，，C错误；对于D：当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为，综上点组成区域的面积为，D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，集合．则集合中所有元素之和为____________．〖答案〗5〖解析〗由题意，得，则集合中所有元素之和为.13.已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗，则，，当时，；当时，；可知函数在上单调递减，在上单调递增，，当时，，当时，，在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图：可知函数在处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点，当，即时，圆与函数的图象有两个交点，可得的取值范围为．14.已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为____________．〖答案〗〖解析〗如图：，可知四棱锥为正四棱锥，四边形为边长为2的正方形，棱锥的高为1，可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，四棱柱的底面是边长为的正方形，则，同理可得，，则挖去部分的体积为，可得原正方体剩下部分的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知在中，的面积为．（1）求角的度数；（2）若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．解：（1）设，则，又，因此，由为内角，所以.（21）由（1）知，，又，则，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，显然，则有，因此当时，取到最小值，此时，即，所以的值.16.已知函数的图象与轴交于点，且在处的切线方程为，记．（参考数据：）．（1）求的〖解析〗式；（2）求的单调区间和最大值．解：（1）由题意与轴的交点，又，在点处的切线的斜率，在点处的切线方程为，即切线方程为（2）由（1）知，所以，，令得的变化情况列表如下，02+-减函数极小值增函数极大值减函数所以的单调增区间为，单调减区间为和，，又，，的最大值为．17.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.（1）求P；（2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望；（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.（1）解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，，，，，则，解得；（2）解：由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知，，，X的分布列为：X012P随机变量X的数学期望为.（3）证明：由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令当n为奇数时，，则，又∵时，随着m的增大而增大，∴.18.如图，已知为抛物线的焦点，过的弦交曲线于点（与不重合）．（1）求证：点为弦的中点；（2）连并延长交抛物线于点，求面积的最小值．（1）证明：设直线，的中点为且，联立方程组，整理得，则，且，可得，所以中点的坐标为，又由方程组，解得，即，所以点与重合，即为中点.（2）解：由（1）知直线，联立方程组，解得，又由，所以，所以，令，则，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以