辽宁省锦州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省锦州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数的求导正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A项，因，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项错误；对于D项，，故D项错误.故选：B.2.已知等比数列满足，，则（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，，所以.故选：C3.2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队完胜日本队，该事件吸引了大批大学生开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布，若80分以上为达标，则估计能被吸收为正式社员的人数为（）（附：若随机变量，则，，.）A.18 B.13 C.9 D.5〖答案〗C〖解析〗因为X服从正态分布，所以，则估计能被吸收为正式社员的人数为（人）.故选：C4.有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．己知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（）A.0.2 B.0.05 C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意可得：；；由全概率公式可得：；故.故选：D.5.已知数列满足：，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，，，，，，，，可知从第6项起数列为周期为3的周期数列，又，所以.故选：B6.如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B7.现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，，，，则由累加法得，，因此，而满足上式，即，则，所以，.故选：D8.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗显然，，因为，所以；又因为，，令，．则，可知在上单调递增，则，可得，令，，则在内恒成立，可知在内单调递增，则，即，所以；综上所述：．故选：A．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机事件的概率分别为，且，则（）A.事件与事件相互独立 B.事件与事件相互对立C. D.〖答案〗AC〖解析〗对A，根据题意可得由条件概率公式可得，又所以，又易知，所以；即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确；对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误；对C，易知，即C正确；对D，由条件概率公式可得，所以D错误.故选：AC10.已知函数，下列选项中正确的是（）A.在上单调递增，在上单调递减B.有极大值C.无最小值D.若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以A正确，对于B，由选项A可知在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以B正确，对于C，当时，，当时，，当时，，所以当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，综上，的值域为，所以有最小值0，所以C错误，对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，，，所以的大致图象如图所示由，得，令，则，由的图象可知，要使有6个零点，则方程有两个不相等的实数根，不妨令，若，则由图可知有6个零点，但，所以不符合题意，所以，因为，所以，解得，即实数的取值范围是，所以D正确，故选：ABD11.已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A.当时， B.C.数列是等差数列 D.〖答案〗BCD〖解析〗对A，由题意可知，所以，则，所以，故A错误；对C，由，故C正确；对C，所以，则，故B正确；对D，易知，令，则，则单调递增，所以，即，故D正确.故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，，且，则__________.〖答案〗〖解析〗因为且，所以，则，又，所以，因为，所以，解得.故〖答案〗为：13.已知数列满足，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，，则，因为，显然，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则.故〖答案〗为：14.已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是__________.〖答案〗〖解析〗构造函数，则；因为，所以当时，，即，此时在上单调递增；当时，，即，此时在上单调递减；又，所以，即；所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即函数图像关于直线对称，不等式变形为，即；可得，又在上单调递增，在上单调递减，所以，解得.则不等式的解集为.故〖答案〗：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因为，所以，则.因为，所以切点坐标为，所以的图象在点处的切线方程为.令，得，又，所以，所以.（2）由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.令，解得，所以在上单调递减，又，，，所以在上的值域为.16.记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）记为在区间中项的个数，求数列的前项和.解：（1）因为，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，即，则，两式相减得，即，所以，因此的通项公式为.（2）由题可知，则，所以，，两式相减得，所以.17.2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．（1）在100名受调人群中，得到如下数据：年龄了解程度不了解了解30岁以下162450岁以上1644根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的〖答案〗，但不知道另外2个的〖答案〗．求该受调者答对题目数量的期望．参考公式：①．独立性检验常用小概率值和相应临界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②随机变量X，Y的期望满足：解：（1），根据小概率值的独立性检验，认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异；（2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，则，所以，则可取则，所以，，，所以，由，该受调者答对题目数量的期望为.18.某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.（1）求，；（2）求的表达式；（3）设，证明：.解：（1），，；（2）由已知，∴，即，∴是以为公比的等比数列，∴，∴.（3）.设，，∴，∴在上单调递增，显然，则，∴，则，即，∴.19.固定项链两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求的最小值．解：（1）求导易知,.（2）构造函数，，由（1）可