辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列中，，则（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗由等差数列的性质得，所以.故选：A．2已知集合，则（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗不等式的解集为，，，所以，A错误；，B错误；，故C错误，D正确.故选：D．3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由得，所以，故可得；当时，取，则不成立；故“”是“”的充分不必要条件.故选：A4已知函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C．5.已知，且，则的最小值为（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，，又，，当且仅当即，时等号成立.故选：B．6.已知直线是曲线的切线，则实数（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗，则，设切点坐标为，则①，又点既在直线上，又在曲线上，②，③，由①②③解得，.故选：A．7.若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法1：不等式化为，使成立，则，故选：A.方法2：将两边平方整理得，对恒成立，则有，解得，故选：A．8.若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为在区间上存在单调递减区间，所以在区间上有解，即在区间上有解，当显然不出来；当时，，即，故选:C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的公差为，前项和为，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由得，，，由，即，解得，故A正确；所以，，故B正确；所以，则，故C错误；因为，，，故D错误．故选：AB.10.已知数列满足，则（）A. B.数列是递增数列C. D.数列的最小值为〖答案〗AC〖解析〗由得，所以，故A正确，所以，设函数，则，令得，令得，从而在上单调递减，在上单调递增，结合，得当时，数列是递减数列，当时，数列是递增数列，故B错误，由当时，数列是递增数列知，所以，故C正确，当时，，当时，，所以，故D错误．故选：AC.11.已知与x轴的三个交点依次为，且在这三个交点处的切线斜率分别记为，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，由或；由.所以函数，上单调递增，在上单调递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值，又.所以函数的图象关于点中心对称.对A：因为，所以，故A正确；对B：因为的对称中心为，所以，又因为在上单调递增，所以，所以，故B不正确；对C：令，是方程其中的一个根，所以，则另两个根分别为和，所以有，因为，又因为在上单调递增，所以，故C正确；对D：设A，B，C对应的横坐标分别为，，，且，所以，，，则，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为_______．〖答案〗〖解析〗根据题意得到，即，解得.故〖答案〗为：.13.在等比数列中，，则_______.〖答案〗〖解析〗由于，由等比数列性质知道，则；由于，由等比数列性质知道；则.故〖答案〗为：.14.已知函数，若恒成立，则的最小值为_______；则若在的图象上有且仅有一对点关于轴对称，则实数的取值范围为_______．〖答案〗①②〖解析〗①由题意，当时，对于恒成立，满足条件；当时，由得对于恒成立，令，则，在时，，即，所以在单调递增，故，所以的最小值为.②在的图象上有且仅有一对点关于轴对称，转化为函数与有且仅有一个交点，则在有唯一解，令，两边取对数，所以，令，恒成立，所以在单调递增，且，所以在有唯一解，令，则，令，则，即单调递增；令，则，即单调递减；如图所示，在单调递增，在单调递减，所以实数的取值为.故〖答案〗为：①，②.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在点处的切线与x轴平行．（1）求a的值；（2）求的单调区间与极值．解：（1）因为，所以，即，（2）因为的定义域为，由（1）知，所以，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得极小值，函数无极大值．16.设为数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设的前n项和，求证：．解：（1）因为，所以，故，当时，，所以，所以，则数列是公比为2的等比数列，所以．（2）因为，所以，①②①②得，所以所以．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：不等式有实数解．解：（1）因为.①当时，，所以在上单调递减；②当时，，所以，若，，所以在上单调递减，若，，所以在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）要证不等式有实数解，只需证明即可.由（1）得，则只要证明即可，即证.令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以当时，不等式有实数解.18.已知数列满足．（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）设，求使数列取得最大值时n的值．解：（1）由题意得，，猜想，式子可化为，因为，所以，因此数列的通项公式为，得证．（2）由得，，所以，若，当且仅当成立，则当时，，当时，，故时，取最大值.19.已知函数，数列满足正整数（1）求的最大值；（2