吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期联合考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以的虚部为1.故选：A.2.某纺织厂4月份生产了三种类型纱线，分别为大卷纱线､中卷纱线和小卷纱线，其中大卷纱线有2000卷，中卷纱线有8000卷，小卷纱线有20000卷.为检查该纺织厂4月份生产的这三种类型纱线的质量，按比例用分层随机抽样的方法从中抽检240卷，则被抽检的小卷纱线有（）A.120卷 B.150卷 C.160卷 D.200卷〖答案〗C〖解析〗依题意，被抽检小卷纱线有（卷）.故选：C.3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（）A.海里 B.海里 C.50海里 D.海里〖答案〗A〖解析〗由题可知，海里，在中，由正弦定理可得，则海里.故选：A.4.小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（）A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72B.小唐这7天每天运动时长的极差是42C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92〖答案〗D〖解析〗，A错误；B选项，小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误；C选项，将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为，则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，错误；D选项，因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确.故选：D.5.若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设该圆台的高为，则该圆台的体积，因为该圆台的体积不小于，所以，解得.故选：B.6.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（）A. B. C.12 D.18〖答案〗A〖解析〗如图，交于点，则是中点且，由题意可得.故选：A．7.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗连接，因为在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，故，即四边形为平行四边形，所以，则即为异面直线与所成角或其补角；直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长2，连接，则，而平面，故平面，平面，故，是棱的中点，故，则，而，又，故在中，，由于异面直线所成角的范围为大于，小于等于，故异面直线与所成角的余弦值是.故选：D.8.如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗（方法一）设，则，在中，，因为，所以，四边形的面积为，当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为.（方法二）四边形的面积.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A. B.C.为实数 D.〖答案〗BC〖解析〗由，得，A错误；，B正确；因为，所以为实数，C正确；D错误.故选：BC.10.在正三棱锥中，，则下列结论正确的是（）A.若，则二面角B.若二面角是，则正三棱锥的体积是C.荅，则正三棱锥内切球的半径是.D.若，则正三梭锥外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗如图，取的中点，连接，则是二面角的平面角，作平面，垂足为，点在上，且，对于A，由，得，则，从而，故A正确；对于B，二面角是，即，得，则3，从而三棱锥的体积，故B正确；由，得，对于，设三棱锥内切球的半径为，则，所以，故C错误；设三棱锥外接球的半径为，球心为，且在上，连接，则，即，解得，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心､垂心和重心，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，连接并延长，交于点，则是的中点，，于是，当时，不共线，即，A错误；对于B，由欧拉线定理得，有，则，B正确；对于C，是的垂心，即，则，于是，即，C正确；对于D，由欧拉线定理知，则，即，D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.12.已知复数在复平面内对应的点分别为，若，则实数__________；若，则实数__________.〖答案〗〖解析〗依题意得，则，若，则，解得；若，则，解得.故〖答案〗为：.13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________.〖答案〗20〖解析〗依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为，方差.故〖答案〗为：.14.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得，则周长的最小值即的最小值，将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，过点作⊥于点，则，其中，如图②，则，故的周长的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.解：（1）连接，因为，，故四边形为平行四边形，设与交于点，则为的中点，连接，因为为的中点，所以为的中位线，则，因为平面平面，所以平面.（2）延长交于点，连接，取的中点，连接，则，而，故四边形为平行四边形，故，因为四边形为菱形，故，故，故为等边三角形，所以且，因为平面，平面，所以，而平面，所以平面，因为平面，则点到平面的距离为，，因为，所以，设点到平面的距离为，则，由，得，解得，故点到平面的距离为.16.在中，角的对边分别是，已知，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，解得或，因为，所以，则.（2）因为，所以，即，则，因为，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，则的面积，故面积的最大值为.17.近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.（1）求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.解：（1）由题意可知，解得，设中位数为，则，解得，所以中位数为74，平均数为（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，方案二受到奖励的商家的个数为，因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多.18.对任意两个非零向量，，定义：（1）若向量，，求的值；（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；（3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．解：（1）因为，，所以，所以，故的值为.（2）因为向量、是单位向量，所以，，由，可得，解得，由，可得，，故向量与的夹角的余弦值为.（3）设向量与的夹角为，由题意可知，则，因为，所以，，因为，所以，，因为是整数，所以，所以，，而，即，所以，因为，，所以，即，故的取值范围为.19.如图，在四棱锥中，在线段上（不含端点