湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，1.已知向量，若，则等于（）A9 B.3 C.-1 D.-3〖答案〗C〖解析〗因为，所以，得.故选：C.2.已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为.故选：B.3.已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C.-2 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，复数为纯虚数，所以得.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，又，则可得.所以，故选：A.5.已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意可知双曲线的渐近线为，从而，即，所以，所以的离心率.故选:B.6.在中，角所对的边分别为，若，则的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，由正弦定理得，得，所以，即，因为，所以，所以，或，所以，或（舍），所以，所以.故选：D.7.已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，联立可解得，所以，所以.所以曲线在点处的切线方程为，故所求的切线方程为.故选：C.8.如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，取的中点，记为，，根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点在正六边形的中心，且平面，当圆锥底面内切于正六边形时该圆锥的底面积最大，设此时圆锥底面圆半径为，因为，所以，所以，圆锥底面积为，圆锥顶点为处，圆锥体积.故选：C.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数据，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A.中位数不变B.若，则数据的第75百分位数为13C.平均数不变D.方差变小〖答案〗ACD〖解析〗原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确；当时，数据按从小到大顺序排列：.因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数15，故B错误；由于，故，原来的平均数为，去掉后平均数为，平均数不变，故C正确；原来的方差为，去掉后的方差为，方差变小，故D正确.故选：ACD.10.已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值､极小值分别记为.则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.实数的取值范围为C.D.〖答案〗ABC〖解析〗因为，其中，则，所以函数的图象关于直线对称，所以选项A正确；因为在上单调递减，在上单调递增，因为在上有两个极值点，且，所以，解得，所以选项B正确；因为存在，使得，当或时，；当时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极大值点为，极小值点为，又因为函数的图象关于直线对称，则，所以.所以选项C正确，D错误.故选：ABC.11.已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（）A.若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为B.若是动点，则的值恒为2C.若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是D.若是动点，则的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若点是椭圆的短轴顶点，则，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选项A正确；对于B，设，由题意可知①，因为，所以，即②，又③，由②③及得，又由①知，所以.故选项B正确；对于C，由②③得，所以，从而，故.所以椭圆的离心率，故选项C错误；对于D，由椭圆定义可得，即的取值范围为，即选项D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________.〖答案〗1〖解析〗由已知得，所以.13.已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为是奇函数，所以等价于，又函数在定义域上是减函数，需满足，解得，即的取值范围为.14.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件10203040天数36156该超市存货管理水平高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为__________.（以样本估计总体，将频率视为概率）〖答案〗〖解析〗由题设第一天营业结束后不补货的情况为事件销售10件}，补货的情况为事件销售20件，30件，40件，所以，令事件第二天营业结束后货架上有20件存货，则，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期国院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表：月份6月7月8月9月10月月份代12345产值（百亿元）1620273037（1）求出关于的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值；（2）该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量，求的分布列和数学期望.参考公式：；参考数据：.解：（1）所以，所以关于的经验回归方程为，当时，，故明年3月份该企业的产值约为62.4百亿元.（2）由题设随机变量的可能取值为，，，.随机变量的分布列如下表：3040505565800.090.300.250.120.200.04（万元）.16.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围.解：（1）因为在拋物线上，所以，得；因为，所以，即，解得，所以抛物线的标准方程为.（2）易知抛物线的准线为，则可得；设，由可得，如下图所示：设直线，代入到中得，所以，即可得，联立两式并整理可得，又由可得递增，即有，即，又中点坐标为，可得直线的垂直平分线的方程为，令，可得，所以点的横坐标的取值范围为.17.如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.（1）证明：设，因为，由余弦定理可得，即；可得四边形为正方形，所以，且，又是侧棱的中点，连接，因为，又，则，因为为的中点，所以，由平面，且，可得平面，又因为平面，可得平面平面.（2）解：由直棱柱的性质与已知，得，以为原点，以垂直于平面的直线，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，可得，且是中点，则.可得，设平面的法向量为，则令，则，可得，由（1）可知平面的一个法向量为，可得，所以锐二面角的余弦值为.18.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设函数.证明：（i）函数有唯一极值点；（ii）若函数有唯一零点，则.（1）解：由函数可得：，且，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数减区间是，增区间是.（2）证明：（i）因为的定义域为，所以，设，则，当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，所以，所以，即，所以，又，所以存在唯一，使得，即，当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数有唯一极值点.（ii）由（i）得，因为函数有唯一零点，所以，所以，即，所以，设，所以，所以在单调递减，因为，所以.19.给定整数，数列，且，为整数.在中去掉一项，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.（1）已知数列，写出的值及的特征值；（2）若，当，其中，且时，证明：；（3）已知数列的特征值为，求的最小值.