湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因为，可得，解得.故选：A.2.复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.边长为的正三角形的直观图的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为正三角形的边长为，所以原图形的面积为：，因为直观图和原图的面积比为，所以直观图的面积为：.故选：A.4.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面半径为，则球的半径为圆锥母线长，由圆锥的侧面展开图是一个半圆，则有，即，即有，解得，则，故球的表面积为.故选：C.5.下列说法正确的是（）①已知为三条直线，若异面，异面，则异面；②若a不平行于平面，且，则内的所有直线与a异面；③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；④若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则，三点共线．A.①② B.③④ C.①③ D.②④〖答案〗B〖解析〗对于①，直线异面，异面，则可能平行、相交或异面，所以①错误；对于②，由题设知，a与相交，设，在内过点P的直线l与a共面，所以②错误；对于③，两条相交直线确定一个平面，第三条直线与前面两条直线的交点在此平面内，所以③正确；对于④，设平面平面，因为平面，所以，同理，故三点共线，④正确.故选：B．6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，可得，设收集的个准确数据分别记为，则，，所以．故选：A．7.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（）A. B. C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗∵是的重心，，又，结合题意知，因为三点共线，当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确.故选：A.8.某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗法一：设，，则，，在中由正弦定理，即，所以，在中，（其中），所以当时，所以最小值为．法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上，圆的直径为，由圆周角的性质可得，所以，，连接，可得（当为与圆的交点时取等号），在中，，，，根据余弦定理可知，即，所以的最小值为．故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A.平均数为3 B.标准差为C.众数为2 D.85%分位数为5〖答案〗AD〖解析〗由平均数的计算公式，可得，所以A正确；由方程的公式，可得，所以标准差为，所以B错误；由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，所以第85百分位数为5，所以D正确.故选：AD.10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（）A. B.与相互独立C.与相互独立 D.与相互独立〖答案〗ACD〖解析〗对A：，故A正确；对B：，，则，故与不相互独立，故B错误；对C：，，则，故与相互独立，故C正确；对D：，则，故与相互独立，故D正确.故选：ACD.11.正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（）A.平面B.直线与平面所成的角为60°C.若点为棱上动点，则的最小值为D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值〖答案〗AC〖解析〗A选项，连接，由对称性可知，⊥平面，且相交于点，为和的中点，又，故四边形为菱形，故，又平面，平面，所以平面，正确；B选项，连接，则相交于点，因为四边形为正方体，故，由A选项，同理可得四边形为菱形，故，又，平面，故平面，故直线与平面所成的角为，且由题意得，，故，故，错误；C选项，由题意得，，故只需最小，在等边三角形中，当为的中点时，⊥，此时最小，且，故若点为棱上动点，则的最小值为，正确；D选项，，其中到平面的距离为，设菱形的面积为，则，，若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为______.〖答案〗〖解析〗由图知，青年教师的比例为，所以青年教师被抽出的人数为．故〖答案〗为：.13.抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为__________.〖答案〗〖解析〗抛两枚骰子，所有的情况有36种，由x，y，3构成三角形的三边长，得，当，有5种情况：；当（的情况只需与互换即可，即两种情况相同）时，若；若，；若，；若，；若，，因此符合条件的共有（种）情况，所以所求概率为.故〖答案〗为：.14.在中，点分别在边和边上，且交于点，设.用表示为__________；若为上一动点且，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗对于①，如图①，因为，，所以，，设，则，设，则，由平面向量基本定理得，，解得，所以；对于②，如图②所示，以原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，则，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，故设点的坐标为，，所以，，所以，所以当时，有最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.解：如图，，，，∴合速度的方向与水流的方向成150°的角，设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，，∴小船航行速度的大小为.16.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率．解：（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手”，则，，事件与相互独立，与相互独立，则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手”，，即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是.（2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则，依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥，，，，故“”的事件的概率为.17.为了落实提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图可得，又，则，，该市居民用水的平均数估计为：.（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，则月均用水量不低于2吨的频率为：，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）.（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正切值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）∵平面，平面，∴，又四边形是矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，又是的中点，，∴，∵，所以平面.（2）∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，由（1）得平面，∴平面，∵平面，∴，∴为直角三角形，又是的中点，，∴，∴在中，即为异面直线与所成角，故，∴异面直线与所成角的正切值为.（3）取中点为，连接，，在中，分别为线段的中点，故，∵平面，∴平面，∴，由（1）得平面，∵平面，∴，∵，∴，又，∴，∴，设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，则，解得：，故，所以直线与平面所成角的