河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为集合，，则或，又因为全集，则.故选：A.2.全称量词命题“”的否定是（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“”的否定是.故选：B.3.下列对应是集合A到集合B上的映射的个数是（）（1）A=R，B=N*，对应关系f：对集合A中的元素取绝对值，与B中的元素相对应；（2）A={1，-1，2，-2}，B={1，4}，对应关系f：f：x→y=x2，x∈A，y∈B；（3）A={三角形}，B={x|x＞0}，对应关系f：对集合A中的三角形求面积，与集合B中的元素对应.A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由题意，对于（1）：A中元素0取绝对值后还是0，B中元素全部是正整数，没有对应元素，故不是A到B上的映射；对于（2）：A中四个元素分别平方后所得值，都有B中元素与之对应，故是A到B上的映射；对于（3）：A中每个三角形的面积，都有B中的一个正数与之对应，故是A到B上的映射.故选：C．4.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）.A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数的定义域是，所以，且，解得.故选：A.5.汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案——甲：每次加油的总金额固定；乙：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（）A.甲方案实惠 B.乙方案实惠C.哪种方案实惠需由两次油价决定 D.两种方案一样实惠〖答案〗A〖解析〗设两次加油的油价分别为，且.甲方案：设每次加油总金额为，则平均油价；乙方案：设每次加油量为，则平均油价.则，因为，且，所以，，所以.所以，甲方案实惠．故选：A.6.函数的图象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，函数的定义域为，选项AC都不满足；而当时，，选项B不满足；函数的图象是直线在的部分与直线在的部分组成，D满足.故选：D.7.已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对称轴为，∴在单调递增，在，单调递减.∴当时，的取值范围为，若函数的值域是，则当时，，即恒成立，∴即.故选：D.8.已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为对任意的，都有，此时，则，所以在单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，所以当和时，；当和时，.由，即，所以或或或，所以或或或无解，所以原不等式解集为.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a，b，c，下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，当时，，故A错误；对于B，由，且，所以，故B正确；对于C，由，可得，故C正确；对于D，由，又，所以，，，所以，即，故D正确.故选：BCD.10.已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗幂函数的定义域为，，，∵函数在单调递增，，∴，即，故A正确；，，∵函数在单调递减，，即，∴，即，故B错误；∵幂函数上单调递增，，∴，，即，∴，故C正确；，∵，∴，即，故D正确.故选：ACD.11.已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗关于的不等式的解集是，所以，且是一元二次方程即的两根，所以，选项A正确；，选项B正确；，选项D正确；由，可得：是错误的，即选项C错误．故选：ABD．12.若正实数，满足，则下列结论中正确的有（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为2. D.的最小值为.〖答案〗AB〖解析〗对于A项，因为，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为，故A项正确；对于B项，因为，当且仅当即时取等号，故B项正确；对于C项，，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故C项错误；对于D项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为_________.〖答案〗〖解析〗由于幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，符合题意.当时，，图象关于原点对称，不符合题意.所以的值为.故〖答案〗为：.14.命题“，”为真命题，则实数a的取值范围__________________．〖答案〗或〖解析〗由题意，解得或.故〖答案〗为：或．15.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．〖答案〗〖解析〗因为是偶函数，所以所以，又因为在上单调递增，所以，解得：.故〖答案〗为：.16.已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗作出的函数图象如图所示：①当时，，存在唯一的整数x，使得成立，只有1个整数解，又，；②当时，则，存在唯一的整数x，使得成立，只有1个整数解，又，，；当或时，只有1个整数解．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数的定义域为A，集合.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.解：（1）由题意可得，，解得，即，当a=2时，，故.（2）若，则①时，②时，，，综上，的取值范围为.18.设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.解：依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数的取值范围是.19.已知，都是正数，且．（1）求的最小值及此时x，y的取值；（2）不等式恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为，都是正数，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为．（2）由，得，故，又，当且仅当，即，时等号成立，取得最小值，故的取值范围为．20.某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a个单位（且）的治污试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m的最小值．解：（1）因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为，当时，，解得；当时，，解得；综上，，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．（2）设从第一次投放起，经过天后浓度为．因为，则，，所以，即，令，，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2.21.已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）求的值，并证明为奇函数；（2）求证在上是增函数；（3）若，解关于的不等式.解：（1）令，得.，所以函数为奇函数.（2）证明：在R上任取，则，所以.又，所以函数在R上是增函数.（3）由，得，.由得.因